深埋隧道開挖引發的應力與位移非線性解

王文州，傅鶴林，安鵬濤，李 鮚

(1.廣東省南粵交通投資建設有限公司，廣東 廣州 510000；2.中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075)

隧道開挖破壞了隧址區的應力平衡，導致圍巖應力及位移場發生復雜變化，引發圍巖變形過大及支護體系開裂失穩等問題，是地下工程研究的重點問題[1-2].

針對圍巖應力及位移場復雜計算問題，朱艷峰等[3]提出將Hoek-Brown強度準則的應變軟化模型應用于隧道塑性區分析中，推導了隧道塑性區半徑表達式.陸曉清等[4]針對巖體開挖導致應力重分布問題，以深埋軸對稱圓形硐室為研究對象，推導了理想彈塑性解析解.賀耕夫等[5]依據Hoek-Brown破壞準則，推導了寒區圓形隧洞理想彈塑性圍巖的塑性區半徑解析解.夏才初等[6]基于三維非線性Hoek-Brown強度準則，構建了考慮應變軟化特性的圓形隧道開挖后圍巖非線性力學響應的求解方法.文獻[7-8]基于Hoek-Brown本構模型，推導了圓形隧道的彈塑性解，探討了其適用性.Massinas等[9]在雙極坐標的基礎上，利用Mohr-Coulomb強度準則推導了圓形隧道圍巖應力和塑性區的解析解.Exadaktylos等[10-11]推導了半圓形隧道的應力及位移計算表達式.李培楠等[12]和施有志等[13]分析了工程中常用的單心圓仰拱馬蹄形隧道的解析解.程長清等[14]根據水工隧洞運行期的受力情況，運用Mohr-Coulomb與Hoek-Brown破壞準則，對無限大均質體中圓形水工隧洞在有無襯砌兩種情況下的最小覆蓋層厚度進行了彈塑性力學分析.

綜上所述，針對服從Mohr-Coulomb準則時圍巖的應力及位移解研究較多，對Hoek-Brown準則下應力及位移的求解研究較為有限，但在高圍壓條件下巖體節理裂隙發育，此時Hoek-Brown強度準則更合適.基于此，本文利用非線性Hoek-Brown強度準則對深埋隧道開挖產生的彈塑性區進行求解，探討塑性區影響半徑的影響因素，并對特征參數進行敏感性分析，以期為隧道開挖考慮非強度準則的應力及位移求解提供理論基礎.

1 計算模型

構建無限大均質彈性體內圓形隧道開挖問題的簡化計算模型，如圖1所示.

圖1 地下隧道開挖計算分析模型Fig.1 Calculation and analysis model of underground tunnel excavation

圖中：σθ、σr分別為環向應力及徑向應力；σ0為作用在巖土體上初始靜置土壓力；pi為隧道開挖邊界上支護壓力；r0為隧道開挖的半徑；rp為隧道開挖后圍巖的塑性區半徑.

2 Hoek-Brown強度準則

Hoek-Brown強度準則的屈服條件為

(1)

式中：系數m、s及a為表征巖石的基本特征的半經驗參數，與參數GSI關系為

(2)

(3)

(4)

式(3)和(4)中D是巖石應力松弛程度或破壞程的參數，取值在0～1之間；mi取值分別為5，10，13，16和24.

軸對稱問題中，巖體平衡微分方程為

(5)

式中，k=1，2，分別為洞身和掌子面附近區域，即圖1中的(a)與(b).

3 應力及位移求解

3.1 彈性區中應力位移求解

考慮軸對稱問題時，彈性區中的應力和位移解為

(6)

式中，R為影響區半徑.

則彈塑性交界處的徑向應變為

(7)

將式(6)代入式(1)，求得彈塑性交界處的徑向應力σrp的計算表達式為

(8)

式中，σ0為原巖應力.

式(8)可以通過Newton-Raphson法求解，假定初始值σr0，則

(9)

3.2 塑性區中位移求解

在塑性區采用非關聯流動準則

(10)

式中,參數h與剪脹角ψ有關，計算表達式為h=(1+sinψ)/(1-sinψ).

在塑性區，環向和徑向總應變包括彈性應變和塑性應變兩部分，表達式為

(11)

(12)

考慮小應變問題時，根據徑向位移可求得應變表達式為

(13)

據式(10～13)中的徑向位移微分方程，可得

(14)

彈性塑性區交界處的徑向位移邊界條件為

(15)

式中，G為圍巖的剪切模量.

將式(15)代入(14)，解得

(16)

為獲得式(16)的積分值，可根據彈性應變的三種形式進行求解.

(1)第一種情況

假設在塑性區中彈性變形為定值，則彈性應變表達式為

(17)

(18)

則函數f(r)表達式為

(19)

(2)第二種情況

考慮到塑性區內壁上r=a受到內壓力pi-p0的作用，外部r=c受到外部壓力p1y-p0的作用，可得彈性應變為

(20)

(21)

式中，v為巖土體的泊松比；

此時，f(r)表達式為

(22)

(3)第三種情況

考慮靜水壓力時，彈性應變表達式為

(23)

(24)

此時函數f(r)表達式為

(25)

根據M-C強度準則，求得函數f(r)的表達式為

(26)

式中：D1=(1+β)(1-2v)(A-p0)；

D2=[(1-v-βv)+αr(β-βv-v)]B.

求得式(16)中徑向位移表達式為

(27)

3.3 塑性區應力場求解

將Hoek-Brown強度準則代入式(5)中，可得

(28)

求解式(28)，可得

(29)

式中：r0為開挖輪廓線距離隧道中心的距離；pi為隧道支護反力.

將Hoek-Brown強度準則與式(29)聯立，可獲得環向應力的解析解.將σr=σR代入式(29)，可求得塑性區半徑計算表達式為

(30)

對于特殊情況k=1時，式(29)～(30)則可簡化為式(31)和式(32)，即

(31)

(32)

4 算例分析

為驗證本文理論的有效性與可靠性，取文獻[15]的實驗參數進行分析.具體為：r0=5 m，D=0.參數a、mb和S的值則根據式(2)～(4)求得，結果為：a=0.011，mb=5.128，S=0.037，其他參數如表1所示.

表1 計算參數取值Tab.1 Calculation parameter values

求解參數k為不同參數的應力值，繪制應力與塑性區半徑的關系曲線，如圖2及圖3所示.

圖2 應力與rp/r0的關系圖Fig.2 The relationship between stress and rp/r0

圖3 應力與開挖半徑的關系Fig.3 The relationship between stress and excavation radius

圖2及圖3表明，應力隨著rp/r0的增加呈先增后減的趨勢，環向應力遠小于徑向應力，開挖半徑和rp/r0對環向應力的影響較徑向應力顯著.

開挖半徑對塑性區半徑的影響如圖4所示，不同mi值時，rp/r0與隧道開挖半徑的關系如圖5所示.

圖4表明，塑性區半徑隨著開挖半徑的增大而增大.圖5顯示，當mi≤20時，rp/r0隨著開挖半徑的增大非線性增大；當mi=25，rp/r0隨著開挖半徑的增大呈現先增后減趨勢，rp/r0與GSI的關系如圖6所示.

圖4 塑性區半徑與隧道開挖半徑的關系Fig.4 The relationship between the radius of the plastic zone and the radius of tunnel excavation

圖5 rp/r0與隧道開挖半徑的關系圖Fig.5 The relationship between rp/r0 and the radius of the tunnel excavation

圖6 rp/r0與GSI的關系圖Fig.6 The relationship between u/r0 and GSI

圖6表明，不同mi值時，rp/r0隨GSI增大而非線性增大，其敏感性逐漸減弱.

利用本文推導公式，繪制u/r0隨著剪脹和開挖半徑的分布規律如圖7所示.

圖7 u/r0與剪脹系數的關系圖Fig.7 The relationship between u/r0 and the dilatancy coefficient

由圖7可知，剪脹和開挖半徑對u/r0的影響中，開挖半徑對位移的影響更加顯著.

5 結論

(1)本文基于非線性Hoek-Brown強度準則，求解了隧道開挖后塑性區的應力和位移解析解；

(2)利用本文推導公式，對影響應力和位移解的多個因素進行了特征參數敏感性分析，探討了參數間的耦合影響及作用機制；

(3)塑性區半徑隨開挖半徑的增大而增大；

(4)應力隨塑性半徑的增加呈現先增后減的演化趨勢，同時環向應力遠小于徑向應力.