基于Bayes-Bootstrap法確定土力學參數及可靠性分析

魏德永，阮永芬，孟 濤，劉高林，王雨潔

(1.昆明理工大學建筑工程學院，云南 昆明 650500；2.中鐵三局集團廣州公司，廣東 廣州 510000)

由于在巖土工程中存在大量的不確定和不確定性因素,應用可靠性理論解決巖土工程中的問題一直比較困難,但有很好的應用前景[1].

土工試驗后采用經典統計學方法給出巖土參數值.在巖土工程分析中一般認為：若樣本量n≤38，即可認為是小樣本[2].Keaton JR[3]王桂林[4]、朱煥珍[5]、蘇永華[6]、Luis-Fer nando Contreras[7-8]、阮永芬[9]等采用經典統計學方法和Bayes法去推斷巖土參數，并取得很好的成果.

1 Bayes大樣本方法確定的巖土參數

對滇池湖湘沉積的特殊軟土如泥炭質土、粉土及黏土等力學指標c、φ進行收集，因為巖土參數會隨取樣場地不同而存在較大的變異性[1]，故把數據收集范圍局限在昆明滇池會展中心，分地層對參數進行收集及相關計算.

對收集的樣本，采用宮鳳強[10]等提出的同時考慮峰度和偏度的方法對參數進行調整，調整后的樣本量作為先驗信息作出樣本頻率直方圖如圖1所示.根據張繼周[11]等提出的方法，把巖土參數視為隨機變量，確定了樣本分布的最佳概率分布類型，檢驗結果如表1.從圖1和表1可看出，三種土c、φ的先驗分布都符合N(μ,σ2)正態分布，μ、σ分別為均值及方差.

圖1 先驗信息分布圖Fig.1 prior information distribution

表1 巖土參數概率分布的K-S檢驗Tab.1 K-S test of probability distribution of geotechnical parameters

1.1 Bayes-Bootstrap法擴大樣本及超參數計算

由圖1可知三種土的力學參數樣本量最大的為粉土，n=90；泥炭質土的最小n=66.與文獻[9]相比樣本量還較少，因此需對巖土參數進行擴充，使樣本量n≥200.駱飛[12]、孫慧玲[13-14]、何成銘[15]等對Bayes- Bootstrap法下的數據的重構提出了不同的方法.綜合對比各種方法下的數據重構，最后發現基于插值法改進的Bayes-Bootstrap法比一般的Bayes法或者Boot- strap法的數據重構不僅存在效率較高，而且也能逐步擴展到取樣之外的樣本信息的優勢.故本文把勘察得到的小樣本作為先驗信息，基于插值法改進的Bayes- Bootstrap法對樣本進行擴充.方法如下：

設x1,x2,x3，…，xn是從某層土的總體樣本中隨機抽取的有限樣本，并將這些樣本按照某一步距h隨機分為k組(h，k都為整數)，其中h=n/k.每組樣本里有h個數據，B1=(x1,x2,…,xh),…,Bk=(xk,xk+1,…,xn).其中k=n-h+1.則樣本量矩陣為

(1)

此時僅對原樣本分組，樣本容量沒有得到改變.改變樣本量的方法是對每組數據進行從小到大排序：

B(1)=(x(1),x(2),…,x(h)),…,B(k)=(x(k),x(k+1),…,x(n))，就得到巖土參數樣本數據的順序的統計量為

(2)

對x(i)的觀測值的做鄰域可得

(3)

經筆者試算取不同的m值時采用式(3)擴展形成的樣本與原始數據的相似度很高，不足以表征地層的總體信息，因此把式(3)加以改正，采用另外一種方式去對樣本量進行擴展，如式(4).

(4)

此時x(0)便可從式(5)中確定(取區間的左端點值)：

(5)

x(h+1)從式(6)中確定(取區間的右端點值)：

(6)

每次計算結束后樣本增加2個，之后對第2組到第k組的樣本量進行重復操作，完成之后樣本總量擴充為n1+2k個，依次重復上述步驟，直至樣本達到各個參數的樣本量n≥200.之后做出各個參數樣本頻率直方圖如圖2.同理可做出K-S檢驗表，也能驗證圖2也是符合正態分布的.但限于篇幅問題，不再一一列舉.

圖2 插值改進Bayes-Bootstrap擴充后的樣本分布圖Fig.2 The sample distribution after extended Bayes-Bootstrap

表2 超參數計算表Tab.2 Calculation table of super parameters

表2中n0、μ0、σ0和n、μ、σ分別為先驗分布圖1中及改進Bayes -Bootstrap擴展后的分布圖2中樣本的樣本量、均值和標準偏差.得到超參數后，通過MATLAB做出三種土六種參數的先驗、樣本、后驗分布圖，如圖3.

從圖3可以看出，三種土六個參數的先驗分布與樣本分布的形式基本一致.因為在數據重構過程中某個值的頻率如果很大，該值在數據重構時所占比重會很大，故先驗分布與樣本分布均值很接近，一定程度上對原始先驗樣本的依賴性較高，故兩者的相似性較高.另外隨著樣本增加參數均值也是逐漸收斂的，也說明巖土參數不需要達到200以上，僅需要一個合適的樣本量，此時既能得到準確的參數取值，也可節約成本.另外比較三種土c的后驗分布都較先驗分布、樣本分布集中，取值更加方便；而三種土φ的后驗分布則表現出與樣本和先驗分布之間區別不是很大，從表1可知三種土φ的先驗與樣本分布中標準偏差σ2都較小(最大為1.77)，故數據間的離散性不是很強，導致Bayes大樣本法的后驗分布與樣本和先驗分布相比的效果不是很明顯，尤其4-0-0層粉土φ的(σ2=0.34)后驗分布的擬合效果遠不及樣本和先驗分布，但是由于樣本的增加，最大后驗分布密度可信區間是在減小的，這與分布的形式無關.圖3也在一定程度上說明了樣本的增加，確實可更準確、更方便地確定巖土參數的取值.隨著樣本的增加，各地層參數取值是逐漸收斂的，但是樣本應該取為多少？也就是說沒必要把樣本量勘察很大，需要一個合理的樣本量，它既能節約成本，又能帶來準確的地層信息.

圖3 力學參數樣本、先驗、后驗概率分布圖Fig.3 Sample, prior and posterior probability distribution of mechanical parameters

1.2 巖土參數Bayes法最大后驗密度可信區間

通常情況下一個區間的選擇是否合理，區間的精度即區間長度是可以通過可信度1-α來反應的.理論上區間可信度1-α越大，區間越短效果越好.通常尋找最優可信區間的方法是給定一個α，控制可信度(本文中α=0.05，即可信度為95%)，尋找長度最短的區間.通常可獲得的可信度為1-α的區間不止一個，但必定會有一個是最短的[2].等尾可信區間[16]在實際中應用較為廣泛，且計算方便，但是不是最好的，即區間長度還不是最短.若后驗分布是單峰對稱，則等尾可信區間是最好的.要使可信區間最短，并且把后驗密度的點都包含進去，而在區間外的點的后驗密度值都不會超過區間內的點的后驗密度值，這樣的區間就稱為最大后驗密度可信區間，如圖4所示.

圖4 最大后驗密度可信區間示意圖Fig.4 Schematic diagram of confidence interval of maximum posteriori density

其中，kn=n+k.

此時參數μ的最大后驗密度可信區間為

(8)

μk=γsμ

(9)

式中：μk為土體參數標準值；γs為統計修正系數，即

(10)

考慮到不利組合，對于抗剪強度指標γs取負號[1]，式中n、μ、σ分別為Bayes -Bootstrap擴展后的樣本分布圖3中樣本量、均值和標準偏差.據此就可得到三種土c、φ的最大后驗密度可信區間、標準值、經典統計學區間等，如表3.

表3 力學參數的后驗密度可信區間Tab.3 Posterior density confidence interval of mechanical parameters

2 Bayes法巖土參數最小樣本量的確定

隨著樣本數的增加，樣本的特征參數值是逐漸收斂的.但要獲得大量數據，需要花費巨大成本，統計分析的目的就是在花費成本與可靠值之間尋找一個平衡點，力求最小費用情況下獲得最準確參數.

2.1 巖土參數的變異性與達到收斂值時最小樣本量確定

傳統的經典統計學方法指出，確定巖土參數的取值時，樣本一般取件不超過20件，但是這樣巖土參數概率分布的特征參數是否收斂，這值得考驗，因此本文從大樣本角度論述了巖土參數取值達到收斂時所需的最小樣本量并給出建議值.

土體的變異系δ由下式確定：

(11)

式中，μ、σ分別為樣本分布均值及標準方差.

計算出各土層參數的變異系數、各參數在樣本趨于無窮時參數的最后收斂值及該值在95%可信區間內的變動范圍作為土體強度參數的包絡線，為尋找樣本數量時提供參照標準.

(12)

在樣本量為200時，巖土參數是收斂的，故式(12)中的μ0、k、λ等參數可以保守地取表2中的值.此時 對(12)式取極限為

(13)

據式(13)便可繪出樣本量與收斂值間的關系.以泥炭質土φ為例，為了與經典統計學方法比較，也在同一個圖中標注了經典統計學方法的95%及Bayes法的最大后驗密度的可信區間為其包絡區間，為尋找合適的樣本量提供依據，如圖5所示.

由圖5清晰可見，采用經典統計學方法確定的95%最大后驗密度可信區間比Bayes法確定的寬，這是過于保守的.在參數取值上來說，一定程度上Bayes法比經典統計學方法更具優勢，但從取樣樣本角度來看，經典統計學方法又比Bayes方法更具優勢，從圖5可知，經典統計學方法達到樣本量為95%的可信區間時，所需要的樣本量僅僅只需要10個左右，而Bayes方法達到最大后驗密度可信區間的范圍則需要40個左右.泥炭質土φ的樣本選取上本文提取到了66個(圖1b圖)，但是采用Baye s-Bootstrap擴充后樣本為500個(圖2b圖)故擴充后的樣本是遠遠大于Bayes法的最大后驗密度可信區間個數的，本文確定的參數取值是能代表本地層實際情況的，也是可以為小樣本

圖5 后驗均值與樣本量之間的關系圖Fig.5 Relationship between posterior mean and sample size

方法提供檢驗的.同理可做出其余土體指標的收斂值和樣本量的關系圖，從而確定個土體指標達到收斂值時的最小樣本量.同時將經典統計學方法以及Bayes法下的標準值收斂值等整理歸入表4中.

表4 巖土參數取值和最小樣本量確定Tab.4 Determination of soil parameters and minimum sample size

3 滇池衛城深基坑開挖有限元分析

3.1 基坑模型的建立及參數取值

Bayes法所確定的收斂值和標準值與經典統計學方法所確定的方法是不同的，為了檢驗何種方法確定的參數取值的準確性更高，以昆明某地鐵基坑開挖過程為案例，結合開挖過程中的監測數據，通過maids-GTS NX有限元軟件對基坑開挖過程進行模擬，代入不同方法下確定的土力學參數模擬計算開挖過程中基坑深層水平位移的變化，并和實際監測數據對比分析，以驗證方法的可行性.

滇池衛城站位于環湖東路與紅塔東路交叉口的西南象限.地表以下依次分布著廣泛的素填土、泥炭質土、粉土、黏土等.具體開挖順序如圖6：

通過對勘察報告的數據整理，結合本文的算法得出滇池衛城基坑各個地層的Bayes法收斂值以及經典統計學方法c、φ的標準值，采用參數見表5和表6.

圖6 基坑開挖流程圖Fig.6 Flow chart of foundation pit excavation

表5 基坑開挖模擬分析時不同地層巖土參數指標取值Tab.5 Values of geotechnical parameters of different strata in foundation pit excavation simulation analysis

表6 模擬計算時巖土參數c、φ取值Tab.6 Values of geotechnical parameters c and φ during simulation calculation

擬建車站為地下二層島式車站，車站主體總外包長度為205.9 m，端頭井段外包寬度25.5 m，基坑深度標準段深度18.49～18.86 m，端頭井段19.19～21.58 m.

擬建工程圍護結構采用地下連續墻與內支撐相搭配的圍護體系，其中地下連續墻采用800 mm厚的墻體為圍護結構.基坑第一道支撐采用800×800現澆鋼筋混凝土支撐，支撐在冠梁上.其他三道支撐為Φ800，t=16 mm的鋼支撐，支撐在連續墻上.地下連續墻、冠梁、混凝土支撐、混凝土角撐、導墻采用C30混凝土.鋼筋采用Q235.施工工序如圖6所示，圍護結構布置及斷面選擇如圖7.

圖7 基坑深層水平位移監測點布置和斷面選擇圖Fig.7 Layout of monitoring points and section selection for deep horizontal displacement of foundation pit

力學參數的本構模型的選擇對計算結果也影響較大.修正摩爾庫倫準則能模擬包括軟土和硬土在內的不同類型的土體行為的雙硬化(壓縮硬化和剪切硬化)彈塑性模型，它考慮了土體的剪脹特性，引入了屈服帽蓋，土體剛度隨應力變化而變化，與實際情況更加符合，故本文參數的本構模型為修正摩爾庫倫模型.

根據實際情況選取監測數據比較全面的6個監測點斷面進行有限元建模分析，監測點布置及斷選擇如圖7所示.本基坑開挖深度H=16 m，因基坑左右兩側3倍深度范圍內影響較大，故基坑左右各取50 m，深度方向取圍護地下連續墻深度的2倍，取60 m，按照土層信息對地層進行劃分共計50 468個節點，基坑網格模型如圖8所示：

圖8 滇池衛城站有限元二維基坑模型Fig.8 Finite element model of foundation

3.2 監測結果與模擬結果對比分析

如果規定圖9中紅色部分表示開挖過程中基坑深層水平位移方向向右為正，則左側藍色部分為負，兩者數值接近，變形方向不同則顏色也不同.通過提取得到不同開挖階段基坑個某點的深層水平位移、地表沉降等數據與實際監測結果對比，如圖10所示.

圖9 截面19開挖完成后水平方向位移云圖Fig.9 Horizontal displacement nephogram of section 19 after excavation

從圖10可以看出，基坑水平位移的有限元計算結果與實際監測結果相比有如下特點：有限元計算曲線與實測曲線發展規律基本一致，均表現為中間部分最大，兩頭較小，在深度26 m范圍內，三種曲線的最大值基本出現在相同的位置處；模擬結果均比實測結果小，用經典統計學方法確定的結果計算所得的水平位移最小，Bayes方法次之.但Bayes法計算值模擬所得的結果與實際監測情況更加接近.

圖10 基坑水平位移對比曲線Fig.10 Comparison curve of horizontal displacement of foundation pit

4 結論

本文從Bayes大樣本統計法角度出發，采用Bayes -Bootstrap法對勘察所得小樣本進行模擬抽樣并且對樣本進行擴充，分析巖土參數的收斂取值，并反過來給出達到參數收斂時的最小樣本量，以一個實際基坑工程為例，對所得參數進行檢驗，可得出主要如下結論：

(1)巖土參數在小樣本時，把勘察樣本加以修正可作為先驗信息.樣本不足時可通過基于插值法改進的Bayes-Bootstrap法對樣本進行擴充，結合先驗分布，樣本分布推導的后驗分布，得出的最大后驗密度可信區間比經典統計學所得區間更窄，c、φ的標準值就落在最大后驗密度可信區間內.且最大后驗密度可信區間與分布的形式無關，樣本量越大，對樣本總體的認識越充足，最大后驗密度可信區間越窄，取值越方便；

(3)Bayes法所確定巖土參數取值區間較小，但是所需樣本量較大.而經典統計學法給定巖土參數區間較大，精度不高，所需樣本量較少.用Bayes法所確定的參數取值在基坑開挖時基坑深層水平位移明顯比用經典統計學方法確定取值效果好，Bayes法的計算結果與實際結果更加吻合.