利用頻率定義推導多普勒效應公式

楊軍偉

(浙江金華第一中學 浙江 金華 321015)

多普勒效應首先由奧地利物理學家多普勒研究，發現波源與觀察者互相靠近或者遠離時，接收到波的頻率會發生變化.本文通過頻率定義導出波源頻率與觀察者接收到的頻率之間的關系，得到多普勒效應的定量公式.

1 非相對論情形下多普勒效應公式

圖1 推導多普勒效應公式示意圖

由幾何關系得

u[(t+dt)-(t0+dt0)]=u(t-t0)-vSdt0cos α+vPdtcos β

(1)

式(1)整理得

(u-vPcosβ)dt=(u-vScosα)dt0

(2)

根據頻率定義，波源發出波的頻率和觀察者測得波的頻率分別為

(3)

式(2)、(3)聯立可得

(4)

式(4)即為非相對論情形下多普勒效應公式.

在應用式(4)直接觀察者感受到的頻率時，特別注意SP為不同時刻的波源與觀察者位置，因為α,β并不能直接從初或末時刻獲得，從而導致在很多情形下直接應用公式并不方便.反而從式(4)推導的基礎，即頻率的定義出發，倒不失一般性，且方便.譬如如下實例場景.

【實例】(第22屆全國中學生物理競賽復賽試題)如圖2(a)所示，兩輛汽車A與B，在t=0時從十字路口O處分別以速度vA和vB沿水平的、相互正交的公路勻速前進.汽車A持續地以固定的頻率ν0鳴笛，已知聲速為u，且有u>vA,vB，求解任意時刻汽車B的司機所檢測到的笛聲頻率[1].

(a)

解析：如圖2(b)所示，t時刻時笛聲傳播到汽車B，汽車B位于B(t)處，距O點的距離為vBt.汽車A發出此笛聲時為t0時刻，位于A(t0)處，距O點的距離為vAt0.此笛聲由發出點到接收點(t時刻B車所在點)所傳播的路程為u(t-t0)，由幾何關系可知

(vBt)2+(vAt0)2=[u(t-t0)]2

解得

兩邊取微元

因此

2 相對論情形下多普勒效應公式

(5)

根據式(2)、(5)，得

注：式(2)中u為介質中的光速，因此

(6)

式(6)即是相對論情形下多普勒效應公式，其中α,β為介質參考系中光源發出光時其速度與發光方向的夾角,觀察者接收光時其速度與光束的夾角.

同樣我們可以依照式(6)推導過程來解決如下問題.

問題：如圖3所示，慣性系中的宇宙飛船A,B同時從P處出發，A沿直線lA方向以勻速度vA運動，B沿直線lB方向以勻速度vB運動，直線lA與lB的夾角為銳角φ，兩者在兩直線交點P同時出發之后，A向對方連續地發射本征系計時系統頻率為ν0的球面光波.對方B可連續地接收到光波.考慮相對論效應，探討B于固有時時刻τB接收到的頻率νB(τB)[1].

圖3 宇宙飛船發射信號接收信號過程

解析：由幾何關系可得

(vAtA)2+(vBtB)2-2vAtAvBtBcosφ=

[c(tB-tA)]2

解得

對上式兩邊微分得

根據頻率定義

綜合解得

3 結束語

多普勒效應在生產生活中有非常重要的應用，從頻率定義出發，我們可以從本質上去理解多普勒效應的實質，更加深刻地理解其機制.