豎直面內桿連小球做圓周運動的桿中彈力方向分析*

謝祿橋 張軼炳

(寧夏大學物理與電子電氣工程學院 寧夏 銀川 750021)

圓周運動一節是選擇性必修2第一章曲線運動中的重要內容，其桿模型下桿中彈力方向分析一直是教學的難點.學生在學習了豎直面內繩連小球做圓周運動的繩中彈力方向后，很容易類推得出桿模型下桿中彈力方向也沿桿的結論.顯而易見，這種類推過渡方法極不嚴謹與準確.為了更好地利于一線物理教師教學及物理拔尖生的學習，以下將以桿連小球在豎直面內做圓周運動為例，將桿分為輕質桿與普通桿，進行桿中彈力方向分析的推理論證，希望能帶來些啟示與參考.

1 問題引入——桿施加給小球的彈力的方向是否一定沿桿

如圖1所示，一桿連接小球在豎直面內做圓周運動，桿長為L，質量為m1，小球可視為質點，其質量為m2.小球現從最高點a處靜止釋放，經過圖中b位置時，桿與豎直方向的夾角為β.試問：

圖1 桿連小球做圓周運動

(1)若桿為普通桿，則桿施加給小球的彈力方向是否沿桿，并給予證明；

(2)若將桿視為輕質桿，桿施加給小球的彈力方向是否沿桿，并給予證明.

1.1 普通桿施加給小球的彈力方向的推理論證

在第(1)問中，若桿為普通桿，即桿的質量不為零.現將桿與小球視為剛體，設桿的轉動慣量為J1，小球的轉動慣量為J2[1]，則

桿與小球作為整體并進行受力分析，如圖2所示，則繞O點轉動過程中的合力矩為

圖2 整體受力分析示意圖

根據力矩、轉動慣量、角加速度間關系

M=(J1+J2)α

可得桿與小球整體的角加速度為

根據切向加速度與角加速度的關系

aτ=Lα

可得桿與小球整體的切向加速度為

(1)

現隔離小球，并假設桿施加給小球的彈力的方向沿桿收縮方向，如圖3所示，分解重力得小球的切向加速度為

圖3 小球受力分析示意圖

a′τ=gsinβ

(2)

比較式(1)與(2)得

當β=0或π時，sinβ=0

ατ=α′τ

所以假設成立，即在最高點與最低點時，桿施加給小球的彈力的方向沿桿.

當β≠0或π時，sinβ≠0

ατ≠α′τ

所以，假設不成立，即在此過程中，桿施加給小球的彈力的方向不沿桿，且

即

ατ>α′τ

故小球從最高點向最低點運動過程中，桿給小球彈力不沿桿方向，與小球運動方向呈銳角，對小球做正功；當小球從最低點運動到最高點過程中，桿給小球彈力方向與運動方向呈鈍角，對小球做負功.

綜上可得，普通桿連接小球在豎直面內做圓周運動時，除最高點、最低點外，桿給小球彈力方向不沿桿，桿施加給小球的彈力要做功.即普通桿連接小球在豎直面內做圓周運動時，桿施加給小球的彈力的方向不一定沿桿.

1.2 輕質桿施加給小球的彈力方向的推理論證

在第(2)問中若將桿視為輕質桿，則桿的質量視為0，現對小球進行受力分析，如圖4所示，證明如下：

小球的轉動慣量為

J2=m2L2

桿與小球繞O點轉動的力矩為

M2=m2gLsinβ

根據力矩、轉動慣量、角加速度間關系

M2=J2α

可得桿與小球整體的角加速度為

由切向加速度與角加速度間關系

aτ=Lα

可得桿與小球整體的切向加速度為

aτ=gsinβ

(3)

現隔離小球，對其受力分析如圖5所示，并假設桿施加給小球的彈力的方向沿桿，分解重力易得小球的切向加速度

圖5 小球受力分析示意圖

a′τ=gsinβ

(4)

由式(3)與(4)可得，無論β為何值，總有

aτ=a′τ

所以，假設成立.即在圖1模型中，若將桿視為輕質桿，整個過程中桿施加給小球的彈力的方向始終沿桿方向[2].

1.3 桿施加給小球的彈力方向的結論

在圖1所示的模型中，我們將桿分為普通桿與輕質桿，并借助整體法、隔離法、假設法及討論法，對桿施加給小球彈力的方向是否沿桿進行了推理論證，得出了如下結論：(1)普通桿連小球在豎直面內做完整圓周運動時，桿施加給小球的彈力的方向除最高、最低點外，一定不沿桿方向；(2)輕質桿連小球在豎直面內做完整圓周運動時，桿施加給小球的彈力的方向一定沿桿方向.

2 問題升華——輕質桿施加給小球的彈力方向是否一定沿桿

由以上圖1模型及證明可知，普通桿施加給小球的彈力的方向不一定沿桿，那輕質桿施加給小球的彈力方向一定沿桿嗎？我們以圖6模型為例進行推理論證.

如圖6所示，一輕質桿連接兩小球在豎直面內做完整圓周運動，桿中點處小球編號為1，質量為m1，桿最外端小球編號為2，質量為m2；桿長為L，桿可繞O點自由轉動；小球的半徑相對于桿長較小，可將小球視為質點.現將小球從圖中a位置順時針輕輕擾動下，當桿與小球經過圖中b位置時，此時桿與豎直軸線間夾角為β.試問：輕質桿施加給小球的彈力方向一定沿桿方向嗎？并給予證明.

圖6 輕質桿連兩小球做圓周運動

2.1 輕質桿施加給小球的彈力方向的推理論證

將兩小球視為剛體，設小球1的轉動慣量為J1，小球2的轉動慣量為J2，則

現將兩小球及輕質桿視為一個整體，如圖7所示，對O點取力矩，則

圖7 整體受力分析示意圖

整體的轉動慣量為

J=J1+J2

根據力矩、轉動慣量、角加速度間關系

M=Jα

可知兩小球及輕質桿整體的角加速度為

由切向加速度與角加速度間關系

aτ=Rα

可得，在b位置時，小球2的切向加速度為

(5)

小球1的切向加速度為

(6)

現分別隔離m2和m1，并假設桿施加給小球的彈力方向均沿桿，如圖8所示，分解重力易得兩小球的切向加速度為

a′τ2=a′τ1=gsinβ

(7)

(a)球2受力示意圖 (b)球1受力示意圖

對比式(5)、(6)、(7)可知，當β=0或π時

aτ1=a′τ1=aτ2=a′τ2=0

故假設成立，即在最高點、最低點時，桿施加給兩小球的彈力方向均沿桿方向.

對小球2分析，當β≠0或π時，由于

即

aτ2>a′τ2

故小球2從最高點向最低點運動過程中，桿給小球2彈力不沿桿方向，與小球2運動方向呈銳角，對小球2做正功；當小球2從最低點運動到最高點過程中，桿給小球2彈力方向與運動方向呈鈍角，對小球2做負功.

對小球1分析，由于

即

aτ1

故小球1從最高點向最低點運動過程中，桿給小球1彈力不沿桿方向，與小球1運動方向呈鈍角，對小球1做負功；當小球1從最低點運動到最高點過程中，桿給小球1彈力方向與運動方向呈銳角，對小球1做正功.

綜上可知，在圖6所示的模型中，除最高點、最低點外，輕質桿施加給兩小球的彈力方向均不沿桿.即整個過程中，輕質桿對兩小球的彈力方向不一定沿桿.

3 結論與建議

通過對桿連小球在豎直面內的圓周運動的桿中彈力方向分析的推理論證，我們意識到，在豎直面內的圓周運動的動力學問題中，輕質桿與普通桿對連接體的彈力方向都不一定沿桿.當組成系統的兩個物體之間有機械能相互傳遞時，通過桿中彈力做功實現這種機械能的傳遞，故桿中彈力方向不沿桿；當組成系統的這兩個物體的角速度有最大值或最小值時，桿的彈力方向才沿桿或為零.

因此，物理一線教師在進行桿模型在豎直面內做圓周運動的教學時，應根據具體情況具體分析，合理設置物理情景，讓學生理解性地掌握桿中彈力方向的特點.如教師在講解繩、桿連接一小球在豎直面內做圓周運動一節知識時，如何能有效地讓學生從繩模型順利地過渡到桿模型，并理解輕質桿施加給該小球的彈力的方向時刻沿桿方向，往往成為該堂課教學成敗的關鍵.再如教師在講解輕質桿連兩小球在豎直面做圓周運動系統機械能守恒時，如何讓學生理解“除最高、最低點外，桿施加給兩小球的彈力方向不沿桿，單個小球機械能不守恒，但系統的機械能守恒.”這部分核心知識也成為該節課成敗的關鍵.所以，一線教師在進行物理學科教學及針對物理拔尖生的培養時，應進行專門輔導、適度拓展，注意引導學生理解性掌握，忌機械灌輸，只重視知識的熟記；教師應立足學生長遠發展，重視論證、探究方法的掌握，培養學生的物理學科核心素養，多為國家輸送基礎學科的優秀拔尖人才.