淺析以層層遞進(jìn)的方式建立合理模型在物理教學(xué)中的作用
——以“電磁滑軌中的雙桿問(wèn)題”為例

鄔揚(yáng)杰

(浙江省寧海中學(xué) 浙江 寧波 315600)

1 課堂引入

教學(xué)片段1:以單桿模型為例.

【例1】如圖1所示，兩條平行的光滑金屬軌道置于水平桌面上，軌道足夠長(zhǎng)，軌道間距為L(zhǎng)，金屬棒P置于軌道上，始終與軌道垂直且接觸良好，金屬棒P的質(zhì)量為m，速度為v，方向向右，磁場(chǎng)方向垂直水平桌面向下，大小為B.距金屬棒P很遠(yuǎn)的位置有一電阻，阻值為R2，此時(shí)軌道與金屬棒P、電阻R2構(gòu)成閉合回路，金屬棒P接入閉合回路的電阻為R1，所有軌道電阻忽略不計(jì).

圖1 例1題圖

提出問(wèn)題,學(xué)生回答如下：

(1)金屬棒P將做什么運(yùn)動(dòng)？

學(xué)生回答：金屬棒向右做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)直至靜止.

(2) 若此時(shí)金屬棒P的速度為vP，則加速度是多少？

學(xué)生回答：

電流

加速度

(3)整個(gè)過(guò)程產(chǎn)生的焦耳熱是多少？

學(xué)生回答：根據(jù)能量守恒定律

(4)整個(gè)過(guò)程流過(guò)金屬棒P或R2的電荷量為多少？

學(xué)生回答:可以用動(dòng)量定理來(lái)計(jì)算[1]，對(duì)金屬棒P分析

(5)計(jì)算出金屬棒P運(yùn)動(dòng)多少距離后停下？(師提示：q與磁通量的變化量有關(guān))

學(xué)生回答:

所以有

設(shè)計(jì)意圖:抓住由簡(jiǎn)入難的思想，以單桿模型為鋪墊，為了引出雙桿模型；題目設(shè)計(jì)一環(huán)扣一環(huán)，難度按梯度上升，使學(xué)生投入課堂，積極思考并解決相關(guān)問(wèn)題.

教學(xué)片段2:引出電磁滑軌類問(wèn)題中的多種模型,如圖2所示.

圖2 電磁滑軌類問(wèn)題多種模型

設(shè)計(jì)意圖 使學(xué)生清楚電磁滑軌問(wèn)題復(fù)雜多樣，題目千變?nèi)f化，并正式引出“雙桿模型”.

2 分析多種雙桿模型

教學(xué)片段3：雙桿模型——等長(zhǎng)同一磁場(chǎng).

【例2】(在例題1的基礎(chǔ)上稍做改變)如圖3所示，若電阻R2換成一根阻值同樣為R2的不固定的金屬棒Q，質(zhì)量為m2，初速度為零，金屬棒P的質(zhì)量為m1，其他條件不變.

圖3 例2題圖

提出問(wèn)題，學(xué)生回答如下：

(1)金屬棒P，Q將分別做什么運(yùn)動(dòng)？

學(xué)生回答：P做減速運(yùn)動(dòng)，Q做加速運(yùn)動(dòng)，最終兩者以共同的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng).

(2) 若此時(shí)金屬棒P和Q的速度分別為vP和vQ，則加速度分別是多少？

學(xué)生回答：

加速度都逐漸在減小.

老師補(bǔ)充：若vP=vQ，兩根棒加速度都為零，接下來(lái)一起做勻速直線運(yùn)動(dòng).

(3) 最終共同速度是多少？(師提示對(duì)金屬棒P,Q運(yùn)用動(dòng)量定理求解)

學(xué)生回答：

m1v=(m1+m2)v共

(4) 整個(gè)過(guò)程流過(guò)金屬棒P或Q的電荷量為多少？(師提示對(duì)某一金屬棒運(yùn)用動(dòng)量定理求解)學(xué)生回答對(duì)棒Q分析，利用動(dòng)量定理

BLq=m2v共

得

(5) 整個(gè)過(guò)程產(chǎn)生的焦耳熱是多少？

學(xué)生回答:利用能量守恒定律

總結(jié) 整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中可以分為兩部分，金屬棒P和Q做變速運(yùn)動(dòng)與勻速運(yùn)動(dòng).整個(gè)過(guò)程產(chǎn)生的焦耳熱其實(shí)是金屬棒P和Q做變速運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的，金屬棒P和Q做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)不會(huì)產(chǎn)生焦耳熱.不會(huì)產(chǎn)生焦耳熱意味著這個(gè)過(guò)程中回路中無(wú)電流.為什么會(huì)沒(méi)有電流？這是因?yàn)榻饘侔鬚和Q產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等大反向，BLv1=BLv2，得出v1=v2=v共，所以我們可以利用感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等大反向來(lái)判斷出勻速時(shí)兩根金屬棒的速度大小關(guān)系.

3 學(xué)以致用

【習(xí)題1】(2018年溫州新力量聯(lián)盟期中試題)如圖4所示，NQ和MP是兩條平行且傾角為θ的光滑金屬軌道，在兩條軌道下面，在Q,P處接著QT和PS兩條平行光滑的金屬軌道，軌道足夠長(zhǎng)，所有軌道電阻忽略不計(jì).金屬棒ab,cd放在軌道上，始終與軌道垂直且接觸良好.金屬棒ab,cd的質(zhì)量均為m，長(zhǎng)度均為L(zhǎng)，且金屬棒的長(zhǎng)度恰好等于軌道的間距，它們與軌道構(gòu)成閉合回路，金屬棒ab的電阻為2R，cd的電阻為R.磁場(chǎng)方向均垂直于導(dǎo)軌向上(不考慮PQ交界處的邊界效應(yīng)，可認(rèn)為磁場(chǎng)在PQ處立即變?yōu)樨Q直向上)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.若先保持金屬棒cd不動(dòng)，ab在沿導(dǎo)軌向下的力F的作用下，開(kāi)始以加速度a沿傾斜軌道向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng).經(jīng)過(guò)t0時(shí)間，ab棒恰好到PQ位置，此時(shí)撤去力F，同時(shí)釋放金屬棒cd，重力加速度為g，求：

圖4 習(xí)題1題圖

(1)棒ab勻加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，外力F隨時(shí)間t變化的函數(shù)關(guān)系；

(2)兩金屬棒從撤去F，直到最后達(dá)到穩(wěn)定后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，金屬棒cd產(chǎn)生的熱量Q；

(3)兩金屬棒從撤去F，直到最后達(dá)到穩(wěn)定后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，通過(guò)金屬棒cd的電荷量q.

得

(2)

v1=at0mv1=2mv2

則

v2=0.5at0

則

(3)

則

教學(xué)片段4:雙桿模型——不等長(zhǎng)同一磁場(chǎng)

【例3】(在例2的基礎(chǔ)上稍作改變)如圖5所示，水平面內(nèi)固定兩對(duì)足夠長(zhǎng)的平行光滑金屬導(dǎo)軌，左側(cè)兩導(dǎo)軌間的距離為L(zhǎng)1，右側(cè)兩導(dǎo)軌間的距離為L(zhǎng)2，左、右側(cè)的兩導(dǎo)軌間都存在大小為B，方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其他條件不變.

圖5 例3題圖

提出問(wèn)題，學(xué)生回答如下：

(1)金屬棒P與Q將分別做什么運(yùn)動(dòng)？

學(xué)生回答：金屬棒P做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)直至勻速.金屬棒Q加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)直至勻速.

(2) 若此時(shí)金屬棒P和Q的速度分別為vP和vQ，則加速度分別是多少？

學(xué)生回答：

(3) 最終勻速(穩(wěn)定)的速度滿足什么關(guān)系？(師提示感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等大反向)

學(xué)生回答:

BL1v1=BL2v2

則

(4) 金屬棒P和Q的穩(wěn)定速度分別是多少？

老師推導(dǎo):對(duì)金屬棒P和Q，由動(dòng)量定理

-BL1q=m1(v1-v)

BL2q=m2v2-0

(5) 整個(gè)過(guò)程流過(guò)金屬棒P或Q的電荷量為多少？(師提示對(duì)某一金屬棒運(yùn)用動(dòng)量定理求解)

學(xué)生回答:對(duì)棒Q分析，利用動(dòng)量定理

BL2q=m2v2-0

得

【習(xí)題2】(河北省武邑中學(xué)2019屆高三上學(xué)期第一次調(diào)研物理試題)如圖6所示，水平面內(nèi)固定兩對(duì)足夠長(zhǎng)的平行光滑金屬導(dǎo)軌，左側(cè)兩導(dǎo)軌間的距離為2L，右側(cè)兩導(dǎo)軌間的距離為L(zhǎng)，左、右側(cè)的兩導(dǎo)軌間都存在大小為B，方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng).兩均勻的導(dǎo)體棒ab和cd分別垂直放在左、右兩側(cè)的導(dǎo)軌上，棒ab的質(zhì)量為2m,有效電阻為2r，而棒cd的質(zhì)量為m、有效電阻為r，其他部分的電阻不計(jì).原來(lái)兩棒都處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)給棒ab一大小為I0,方向平行導(dǎo)軌向右的沖量使棒ab向右運(yùn)動(dòng)，在達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，兩棒均未滑出各自的軌道.求：

圖6 習(xí)題2題圖

(1)棒cd中的最大電流Im；

(2)棒cd的最大加速度；

(3)兩棒達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，各自的速度大小.

(3)穩(wěn)定時(shí)

2LBvab=BIvcd

-2LBIt=2mvab-2mv0

BILt=mvcd-0

則

教學(xué)片段5:雙桿模型——等長(zhǎng)不同磁場(chǎng)，如圖7所示.

圖7 雙桿等長(zhǎng)不同磁場(chǎng)

雙桿模型——不等長(zhǎng)不同磁場(chǎng)，如圖8所示.

圖8 雙桿不等不同磁場(chǎng)

提出問(wèn)題，學(xué)生回答如下：

(1)兩根金屬棒最終勻速(穩(wěn)定)的速度滿足什么關(guān)系？運(yùn)用什么方法？

學(xué)生回答：兩根金屬棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等大反向.

(2) 金屬棒P和Q的穩(wěn)定速度分別是多少？可以如何計(jì)算？

學(xué)生回答：分別對(duì)兩根金屬棒列動(dòng)量定理表達(dá)式.

設(shè)計(jì)意圖：從等長(zhǎng)同一磁場(chǎng)到不等長(zhǎng)同一磁場(chǎng)再到等長(zhǎng)不同磁場(chǎng)和不等長(zhǎng)不同磁場(chǎng)，模型在發(fā)生變化，題目難度和復(fù)雜程度在不斷加大，但我們的解題思路和方法手段有很大的相似之處，讓同學(xué)們感受到這些相同之處，并且加深理解，有助于他們解決這類題目.

4 課堂總結(jié)

從以上模型我們可以得到一些結(jié)論，在沖量型雙桿模型中最終的電流會(huì)趨近于一定值——零，導(dǎo)體棒的加速度也會(huì)趨近于一定值——零.其實(shí)不管是單桿還是雙桿，不管是沖量型還是拉力型，不管是等寬還是不等寬，最終電路中電流會(huì)趨近于一個(gè)定值(可以為零，也可以不為零)，導(dǎo)體棒的加速度趨近于一定值(可以為零，也可不為零).

雙桿模型在處理最終速度時(shí)，緊扣電流這條主線，再結(jié)合動(dòng)量定理或動(dòng)量守恒，能量守恒，一般情況下可以解決問(wèn)題.

為什么雙桿電路中的電流或加速度會(huì)趨近于一個(gè)定值？這是因?yàn)閷?dǎo)體棒的速度與時(shí)間關(guān)系是一個(gè)以e為底的指數(shù)函數(shù)，現(xiàn)在筆者簡(jiǎn)單推導(dǎo)如下：

以沖量型等長(zhǎng)雙桿模型為例，如圖9所示，金屬軌道光滑，棒a質(zhì)量為m1，電阻為R1，棒b質(zhì)量為m2，電阻為R2，現(xiàn)給棒a初速度v0，求棒b速度與時(shí)間的關(guān)系.

圖9 沖量型等長(zhǎng)雙桿模型

設(shè)某時(shí)刻t，棒a速度為v1，棒b速度為v2,則

(1)

再根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)量守恒得

m1v0=m1v1+m2v2

(2)

(3)

將式(3)帶入式(1)，整理可得

(4)

化簡(jiǎn)得

(5)

(6)

整理可得

(7)

積分可得

(8)

式中C1為積分常量，則

(9)

式中τ為某常量.

沖量型雙桿模型中最終兩棒中的速度不變，電流不變，導(dǎo)體棒的加速度不變.

拉力型雙桿模型中最終兩棒中的速度差不變，電流不變，導(dǎo)體棒的加速度不變.

筆者以“電磁滑軌中的雙桿問(wèn)題”為例，從雙桿運(yùn)動(dòng)情況、加速度、穩(wěn)定狀態(tài)、電荷量、動(dòng)量、能量等幾個(gè)角度多方位地剖析整個(gè)運(yùn)動(dòng)情形，并且從最簡(jiǎn)單的等長(zhǎng)同一磁場(chǎng)雙桿模型入手，一步步改變題目的條件，使題目的難度逐步增加.從等長(zhǎng)同一磁場(chǎng)雙桿模型到不等長(zhǎng)不同磁場(chǎng)雙桿模型，以層層遞進(jìn)的方式建立合理的物理模型，由簡(jiǎn)入難，使學(xué)生盡可能地掌握電磁滑軌中的雙桿模型；同時(shí)，可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力與探究精神.