天體運動教學中應該重視的拉格朗日點*

呂俊君

(九江市同文中學 江西 九江 332000)

近年我國成功發射了人類歷史上第一顆地月中繼衛星，并賦予其極具中華傳統文化特色的名字“鵲橋”.后續，“鵲橋”將進入環繞地月拉格朗日L2點的使命軌道，完成嫦娥四號與地球之間中繼通訊的任務.一時之間拉格朗日點成為學術界熱烈討論的話題，在中學的天體運動教學中，也出現了大量以拉格朗日點為背景素材的試題.那么拉格朗日點具備怎么樣的特征，“鵲橋”為什么能夠繞L2點做勻速圓周運動，教學中應該如何處理這類問題呢？

1 平面圓形限制性三體問題

如圖1所示為一孤立的雙星系統，設兩星體質量分別為M和m,星體間距離為R，雙星靠著相互的萬有引力圍繞系統的質心做勻速圓周運動.質心O到星球M距離為x1，到星球m距離為x2，則有

圖1 雙星系統

如果在該雙星系統中，放入第3個質量為m0的小物體，小物體不影響M與m的受力情況與運動狀態，但小物體同時受到M與m的萬有引力作用并能夠與他們保持相對靜止，以共同的角速度繞質心做勻速圓周運動，小物體應該放在什么位置？這就是“平面圓形限制性三體問題”，該問題有5個特解.1767年數學家歐拉根據旋轉的二體引力場推算出其中的3個點(特解)L1，L2，L3，1772年數學家拉格朗日推算出另外兩個點(特解)L4和L5；但后來習慣上將這5個點都稱為“拉格朗日點”[1].如圖2所示，L1點、L2點與L3點均在兩星體的連線上，L4點與L5點則分別與兩星體構成等邊三角形.下面對這5個點進行討論.

圖2 拉格朗日點

1.1 拉格朗日L1點的位置

設拉格朗日L1點處放置一質量為m0的小物體可以在M與m共同的引力作用下繞O點做勻速圓周運動，并和M，m保持相對靜止.

設L1點到星體m的距離為x，令x=kR，對物體m0分析，由牛頓運動定律可得

(1)

對m分析，由牛頓運動定律可得

(2)

其中

(3)

由式(1)～(3)聯立解得

(4)

可以看出，式(4)即為拉格朗日L1點的通解方程，只要知道M與m的質量之比，就可以求出k值，下面以日地系統為例計算.

y=(1-k3)(1-k)2-333 445[k2-k2(1-k)3]

通過賦值方法尋找到y為零時k的數值，利用MICROSOFT OFFICE EXCEL工作表對k賦值，計算出以下結果[2]，如表1所示.

表1 日地系統L1點賦值

當k≈0.009 97時，y≈0.因此拉格朗日L1點距離地球約x=kR=1.49×109m處，即拉格朗日L1點在距離地球約149萬公里處.

在地月系統中，地球質量

M=5.965×1024kg

月球質量

m=7.349×1022kg

兩者質量之比

地球與月球距離R=3.844×108m，構造函數

y=(1-k3)(1-k)2-81.2[k2-k2(1-k)3]

同樣通過賦值法求出k數值，如表2所示.

表2 地月系統L1點賦值

當k≈0.151時，y≈0.因此拉格朗日L1點距離月球約x=kR=5.80×107m處，即拉格朗日L1點在距離月球約5.80萬公里處.

1.2 拉格朗日L2點的位置

設L2點到星體m的距離為x，令x=kR，對物體m0分析，由牛頓運動定律可得

(5)

對m分析，由牛頓運動定律可得

(6)

其中

(7)

由式(5)～(7)聯立解得

在日地系統中，通過賦值法可得k≈0.010 03，因此拉格朗日L2點距離地球約x=kR=1.50×109m處，即拉格朗日L2點在距離地球約150萬公里處；在地月系統中，通過賦值法可得k≈0.168，因此拉格朗日L2點距離月球約x=kR=6.46×107m處，即拉格朗日L2點在距離月球約6.46萬公里處.

1.3 拉格朗日L3點的位置

設L3點到星體m的距離為x，令x=kR，對物體m0分析，由牛頓運動定律可得

(8)

對m分析，由牛頓運動定律可得

(9)

其中

(10)

由式(8)～(10)聯立解得

在日地系統中，通過賦值法可得k≈2.000，因此拉格朗日L3點距離地球約x=kR=2.99×1011m處；在地月系統中，通過賦值法可得k≈1.993，拉格朗日L3點離月球的距離x=7.66×108m.

1.4 拉格朗日L4和L5點的驗證

物體m0同時受到M與m的引力作用，設合力方向交M與m的連線于O點，O點距離M的距離設為x，如圖3所示.

圖3 拉格朗日L4和L5點

在力三角形中，由正弦定理可得

通過計算整理,得

(11)

在幾何三角形中，由正弦定理得

(12)

將式(11)代入(12)并約去sinθ解出

可以發現，O點的位置就是M與m系統的質心位置，說明，m0將圍繞M與m系統的質心做勻速圓周運動，與M和m保持相對靜止.

2 “鵲橋”繞地月系統L2點的運動

為了探測月球背面的情況，必須在月球背面放置探測器，然而探測器的信號無法直接傳輸給地球.為了解決這一問題，需要一顆中繼衛星傳遞信號，構成地球和探測器間的橋梁，這就是“鵲橋中繼衛星”(簡稱“鵲橋”).它的運動可以簡化為繞地球公轉的同時圍繞拉格朗日L2點自轉.然而L2點沒有任何物體，為何會繞其運行呢？不妨從動力學角度進行分析.

設地球質量為M，月球質量為m，“鵲橋”質量為m0.L2點距離月球為x，地月間距為R.m0的受力情況如圖4所示，其中地球對m0的引力大小為

圖4 鵲橋在旋轉參考系中的受力示意圖

月球對m0的引力大小為

按照圖中所示建立x,y坐標軸并將各個力正交分解，在x軸方向有

Fx=F離cosβ-F1cosα-F2cosθ=

由于地月系統的質心O離月球很近，且L2點到月球的距離遠大于月球的半徑，只需要很小的θ角就可以避開月球的阻擋實現中繼信號傳輸[3].可以近似認為cosα≈1，cosθ≈1，可以化簡為

由1.2中方程(5)可知Fx=0.

在y軸方向有

Fy=F離sinβ-F1sinα-F2sinθ=m0ω2(x+x2)

由于α與β極小，故tanβ≈0，cosα≈1，cosθ≈1，可得

考慮到sinθ≈tanθ，可以求得

這就是“鵲橋”的自轉周期大小，可以發現其周期為一定值.

3 天體運動教學中的拉格朗日點

上面的分析均基于系統圍繞質心做圓周運動，事實上在日地系統中，由于太陽的質量遠遠大于地球質量，系統的質心相當靠近太陽.因此在中學階段，可將太陽看成靜止狀態，地球繞太陽做勻速圓周運動，地月系統中也是同理.在此基礎上，可以歸納出天體運動教學中常見的拉格朗日點模型特征如表3所示.

表3 常見的拉格朗日點模型特征

基于模型特征，中學物理對拉格朗日點通常有如下考查.

3.1 考查拉格朗日L1點

【例1】如圖5所示，拉格朗日點L1位于地球和月球的連線上，處在該點的物體在地球和月球引力的共同作用下，可與月球一起以相同的周期繞地球運動.據此，科學家設想在拉格朗日點L1建立空間站，使其與月球同周期繞地球運動.以a1,a2分別表示該空間站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步衛星向心加速度的大小.則以下判斷正確的是( )

圖5 例1題圖

A.a2>a3>a1B.a2>a1>a3

C.a3>a1>a2D.a3>a2>a1

解析：由于空間站和月球的角速度相同，月球軌道半徑大于空間站軌道半徑，根據a=ω2r可知，a2>a1.同步衛星的周期為1天，月球周期約27天，而且兩者均只受到地球的吸引力，說明同步衛星的軌道半徑小于月球.

3.2 考查拉格朗日L2點

【例2】如圖6所示，地月拉格朗日L2點在地球與月球的連線上，若衛星在L2點，受到地球與月球兩大天體的引力作用，能與月球保持相對靜止.已知地球質量和地月距離，若要計算L2點與地球的距離，只需要知道的物理量是( )

圖6 例2題圖

A.月球的質量 B.衛星的質量

C.月球繞地球的運行周期 D.引力常量

解析：設地球質量為M，月球質量為m，衛星質量為m0，月地距離為R，拉格朗日點到地球距離為x，其中只有M與R為已知量.

衛星以角速度ω繞地球運動，衛星同時受到太陽與地球的引力.據萬有引力定律和牛頓定律，得

(13)

月球繞地球運動的角速度也為ω，根據萬有引力定律和牛頓定律，有

(14)

由式(13)與式(14)聯立解得

(15)

由式(15)可知，在M與R已知的情況下，只需知道月球質量m，即可求出x，正確答案為A.

點評：本題對衛星和地球分別列出動力學方程，學生需要去思考，為了求出x，需要知道哪些物理量，考查了逆向思維能力.

3.3 考查拉格朗日L4與L5點

【例3】兩個靠得很近的天體繞著它們連線上的一點(質心)做勻速圓周運動，構成穩定的雙星系統.雙星系統運動時，其軌道平面上存在著一些特殊的點，在這些點處，質量極小的物體(如人造衛星)可以相對兩星體保持靜止，這樣的點被稱為“拉格朗日點”.現將地-月系統看作雙星系統，如圖7所示，O1為地球球心，O2為月球球心，它們繞著O1O2連線上的O點以角速度ω做圓周運動.P點到O1與O2距離相等且等于O1O2間距離，該點處小物體受地球引力FE和月球引力FM的合力F，方向恰好指向O，提供向心力，可使小物體也繞O點以角速度ω做圓周運動.因此，P點是一個拉格朗日點.現沿O1O2連線方向為x軸，過O1與O1O2垂直方向為y軸建立直角坐標系；A,B,C分別為P關于x軸、y軸和原點O1的對稱點.D為x軸負半軸上一點，到O1的距離小于P點到O1的距離.根據以上信息可判斷( )

圖7 例3題圖

A.A點一定是拉格朗日點

B.B點一定是拉格朗日點

C.C點可能是拉格朗日點

D.D點可能是拉格朗日點

解析：根據題中條件可知，P點處小物體受到地球和月球吸引力的合力指向地月系統的質心，和月球以相同的角速度繞地球做勻速圓周運動.根據對稱性可知，A點必然是拉格朗日點.B點和P點受到地球的引力大小相等，但受到月球引力比P點處受到月球引力小，其合力方向不可能指向地月系統的質心，考慮到對稱性可知，B點與C點均不可能是拉格朗日點.物體如果放在D點，同時受到地球和月球的吸引力，而地球在D點產生的引力加速度大于在月球處產生的引力加速度，說明放在D點處的物體的加速度一定大于月球，因此不能與月球保持相對靜止.因此答案為A.

點評：質心是中學階段不做要求的知識點，本題先介紹了質心的概念并解釋了P點是拉格朗日點的原因，要求學生運用所學的知識判斷其他點是否為拉格朗日點.學生需要理解新的知識并學會應用它解決新的問題，很好地考查了知識遷移能力.

3.4 鵲橋中繼衛星的運動情景

【例4】2019年1月3日，嫦娥四號成功著陸在月球背面開始了對月球背面區域的科學考察之旅.由于月球在繞地球的運行過程中永遠以同一面朝向地球，導致地球上的任何基站信號都無法直接穿透月球與嫦娥四號建立聯系，為此，我國特意于2018年5月21日成功發射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，如圖8所示，若忽略除地球和月球外其它天體的影響，運行在地月引力平衡點(地月第二拉格朗日點)的“鵲橋”的運動可簡化為同時參與了以L2點為中心的自轉和與月球一起繞地球的公轉兩個運動，以確保嫦娥四號和地球之間始終能夠正常地進行通訊聯系.以下關于月球和中繼星“鵲橋”運動的認識中正確的是( )

圖8 例4題圖

A.月球的自轉周期與其繞地球的公轉周期一定是相同的

B.“鵲橋”的公轉周期一定大于月球的公轉周期

C.“鵲橋”自轉的周期一定等于其繞地球公轉的周期

D.“鵲橋”繞L2點自轉的向心力一定是地球和月球對其萬有引力的合力

解析：題干中明確指出，月球在繞地球的運行過程中永遠以同一面朝向地球，因此月球的自轉周期與其繞地球的公轉周期一定是相同的，故A正確；“鵲橋”的公轉周期與月球相同，故B錯誤；題干中沒有給出“鵲橋”自轉周期的信息，因此“鵲橋”自轉周期不一定等于其繞地球公轉的周期，故C錯誤；“鵲橋”同時參與了以L2點為中心的自轉和與月球一起繞地球的公轉兩個運動，“鵲橋”繞L2點自轉的向心力由地球和月球對其萬有引力、慣性離心力三者的合力，故D錯誤.因此答案為A.

點評：“鵲橋”同時參與了繞地球的公轉與繞L2點的自轉，除了學習過物理競賽的同學，大部分同學都無法轉換參考系分析這類問題.但考慮到“鵲橋”同時參與了兩個圓周運動，可以定性得到D選項是錯誤的.A選項也具有隱蔽性，需要學生準確地抓住“月球在繞地球的運行過程中永遠以同一面朝向地球”這句話的隱含條件.

4 結束語

研究拉格朗日點可以促進對深空探測技術的突破和掌握，對空間探測的未來發展將起到重要的推動作用[4].我國對該項技術的研究處于世界前列，在教學中滲透相應內容，不僅可以加強學生對天體運動知識的運用，同時有利于樹立愛國主義情懷，增強民族自豪感.拉格朗日點在教學中應該重視.