借助數形結合 解決數學難題

何映霞

(安徽省廬江第四中學 231500)

在初中數學教學中，應當全面了解數學學科特點，結合數學學科邏輯性強的特點，優化課堂教學方式，幫助學生掌握數學知識.初中數學難題解答中，引入數形結合思想，將幾何知識和代數知識聯系起來，借助代數方式解答幾何問題，利用幾何圖形解答代數問題，將復雜問題簡單化，降低題目解答難度，有效解決數學難題.通過數形結合思想的有效利用，促進學生數學思維發展，培養學生綜合素質.

一、借助數形結合使得難題簡單化

在初中數學解題中，多數的數學題目看似簡單，但其題目中隱藏著幾個干擾信息，并且數學題目主要是通過語言和數字進行描述，使得題目較為冗長繁瑣，解題較為枯燥，學生很容易掉入陷阱，使得學生解題出現錯誤，甚至會影響到學生自信心，使得學生產生厭學心理.因此，作為初中數學教師，應當注重數形結合的引入，幫助學生解答難題，根據題目敘述通過圖形展示，清除題目中的干擾信息，獲取有價值的數學信息，降低題目解答難度，順利完成題目解答.

例1x、y、z均為介于(0,1)之間的數，求證：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)小于1.

解析根據題目中的已知，x、y、z均介于(0,1)并且出現了x(1-y)、y(1-z)、z(1-x)三個代數式，如果按照常規解題方式，難以完成題目求解，解題過程非常復雜，很容易出現解題錯誤.因此，教師可以引導學生利用數形結合方式，對題目進行分析.教師首先讓學生畫出一個正方形，并且正方形的邊長是1，之后，在邊上分別劃分部分，分別表示x、y、z，如圖1所示.通過對圖形進行分析，將三個代數式轉化成圖形面積，并且做出相應的分析.如x(1-y)表示其中的一個長方形面積，同理對其他兩個代數式進行分析.那么x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)則轉化成圖形面積，而正方形的面積是1，所以得出x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1成立.

通過對上述例題的分析，在數學難題解題時，教師應當能夠引導學生正確利用圖形，將復雜題目簡單化處理，幫助學生思考和解答難題，明確問題解決思路，找出其中的數量關系，提高學生解題效率.

二、借助數形結合使得難題形象化

數學學科具有比較強的邏輯性和抽象性，對于多數的初中學生來說，語言敘述較為枯燥，難以調動學生積極性，直觀形象的信息更能吸引學生，激發學生探究欲望.雖然初中學生已經具備一定的抽象思維，但是，在實際的數學難題解答中，依然有著一定的難度.如果學生面對難題，能夠結合題目意思，將文字敘述轉化成直觀的圖形，可以幫助學生對已知條件進行整理，尋找其中蘊藏的信息，有效理解題目內容，找出難題解答突破點，有效解答數學難題.

例2如圖2所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x2+ax+b和x軸的兩個交點為A(1,0)、B(3,0)，點P是拋物線上一點，且在第一象限，直線BP與y軸的交點是C.(1)求解拋物線y=-x2+ax+b的解析式；(2)當P點是線段BC的中點時，求解P點坐標.(3)在(2)的條件下，求解sin∠OCB的值.

解析(1)根據A、B的坐標，代入拋物線y=-x2+ax+b中，得出a、b的值，完成解析式求解.

(2)的解答中，根據C點的橫坐標為0的條件，確定P的橫坐標，將橫坐標代入解析式，得出P的坐標.

對上述例題進行觀察和分析，明確題目的意圖和思路，畫出相應的幾何圖形，將題目更好的展示出來，促進數與形的轉化，實現抽象向具體的轉化，幫助學生充分理解已知和未知信息，有效解答數學難題.

三、利用數形結合分析數學難題

在初中數學難題的分析中，引入數形結合的思想，可以幫助學生正確理解數與形的關系，結合相關的數學理念，靈活利用數形結合思想，完成數學難題解答.在初中數學中，一次函數、反比例函數以及二次函數是重要的知識，并且這些知識內容較為抽象，涉及到的知識點比較多，題目解答較為困難.面對數學難題，引導學生利用數形結合思想，可以幫助學生有效分析數學題目，鍛煉學生數學知識應用能力，培養學生良好學習習慣.

例3 某人的生活費用是通過家教服務勞動獲得的，此人每天家教服務時間是x小時，該月得到的費用是y元，已知此人的基本工資是150元，x和y之間的函數圖像如圖3所示，根據圖象求解此人每月的生活費是多少？

解析根據題目意思以及圖象分析可以得出，此人的基本工資是150元，每個月家教時間在20小時內，績效是每小時2.5元，家教時間超過20小時，超出20小時的部分，每小時是4元.通過這樣的方式，列出相應的函數解析式，完成題目的求解.

在數學難題解答時，通過對函數圖像進行觀察，發掘圖像中隱藏的已知信息，明確函數解題方式，深入發掘和分析題目，將數形結合思想滲透其中，幫助學生思考和解答難題，提高學生解題效率.

四、借助數形結合強化知識應用

通過數學解題教學，加強學生知識理解，鍛煉學生知識應用能力.以往的初中數學解題中，學生常常采取生搬硬套的方式，使得題目解答較為困難，影響學生數學知識的掌握和應用，不利于學生解題能力培養.作為初中數學教師，應當改變以往的教學模式，在數學難題解答環節，加強課堂指導和引導，靈活利用數形結合方式，完成數學難題的分析和解答，提高學生解題效率，并且鍛煉學生數學知識應用能力.

解析在此題解答時，通過閱讀題目內容，引導學生利用數形結合，畫出相應的數軸，對題目進行分析，在數軸上找到E點的位置，完成題目的解答，計算出E點對應的數.通過對數形結合方式的利用，對有理數的絕對值和相反數的概念進行利用，完成數學難題的分析和解答.通過這樣的方式，幫助學生更好的解題，保證學生解題效率.

數形結合思想是重要的數學思想，也是學生數學解題的重要方式.因此，在數學難題解答中，應當引導學生靈活利用數形結合，實現數與形的轉化，有效解答數學難題，豐富學生解題體驗，鍛煉學生解題能力，培養學生發散思維，促進學生數學綜合能力提升.