角膜變形的三維球對稱模型分析

任巧妹，高志鵬，李永勝，陳 靜

(太原理工大學 a.生物醫學工程學院，b.機械與運載工程學院，太原 030024)

角膜是位于眼球前端的透明軟組織，為眼睛提供三分之二的屈光度[1]，是視覺系統中非常重要的一部分。角膜生物力學特性是角膜內在的固有屬性，主要是角膜對抗外力產生形變的能力。角膜的生物力學特性在角膜形狀的維持、屈光手術的設計以及人工角膜的研發等方面均有重要作用。此外，角膜生物力學特性的研究也有助于眼壓測量、青光眼管理等。近年來，國內外越來越多的學者開始關注角膜生物力學，并在圓錐角膜、屈光手術、青光眼等領域取得一定的研究進展[2-3]。角膜生物力學近年來越來越受到眼科臨床的重視。

目前，研究角膜力學特性的方法很多，典型的體外測試方法有軸向拉伸實驗[4-5]、整體膨脹實驗[6]以及壓痕實驗[7]等，實驗測試方法不同，獲得的角膜力學參數的數值也不盡相同，還有應用于眼科臨床的在體測試技術，如眼反應分析儀(ORA)和可視化角膜力學分析儀(Corvis-ST)，然而其測量參數較難建立與經典力學之間的關系[8]，將其應用于角膜力學特性的研究并未取得突破性的結果。軸向拉伸實驗是使用最廣泛的測角膜力學性能的方法[9]，膨脹實驗可以保證角膜組織的完整性，接近真實地模擬角膜在眼內壓作用下的變形響應[10]。然而單軸拉伸實驗釋放了完整角膜在生理眼內壓作用下的預應力，破壞了角膜的正常生理結構[11]。本文嘗試改進膨脹實驗，在保留完整眼球的基礎上對角膜行壓痕實驗，力圖在維持角膜自然受力環境的基礎上，測試不同眼內壓下角膜的力學性能。

有研究表明[12]，當眼內壓在較低范圍內(p<2.67 kPa)不斷升高時，角膜表面各區域的曲率保持不變，即角膜形態不變。為了研究角膜的相關疾病，需要對角膜結構進行精確的生物力學建模。然而由于角膜具有各向異性與高度粘彈性，對其力學特性的研究較為困難。本研究通過對完整角膜進行壓痕實驗，得到角膜的等效彈性模量，并基于球對稱理論分析角膜徑向、周向的應變響應，發現完整角膜的體積應變呈現均一性，為后續術后角膜力學性能的研究提供理論基礎。

1 材料與方法

1.1 角膜試件制備及壓痕實驗

從屠宰場獲取8個死亡1 h內6～8月齡的家豬眼球，雌雄隨機。快速摘取眼球，并防止刀具損傷以保證角膜結構的完整性，將摘取下來的眼球放入保鮮袋，存于內置干冰的4 ℃保鮮盒中運輸至實驗室。在實驗室，使用PBS緩沖液清洗眼球，并用眼科剪以及眼科鑷將眼球筋膜、結膜、眼外肌及視神經等眼球的附屬組織去除(保留約5 mm長的視神經)，整個制備過程在2 h內完成。所使用的完整角膜樣本，即眼球完好時，角膜樣本的相關參數如等效曲率半徑Rc、平均厚度t以及連接角膜緣與角膜曲率中心的角度φ如表1所示。

表1 完整角膜樣本的相關參數Table 1 Relevant parameters of complete corneal samples

實驗時，將眼球置于充滿PBS緩沖液的固定裝置中，使用注射器調節液壓進而控制眼內壓。壓痕實驗前，用回彈式眼壓計(FA800vet，FuAn，中國；分辨率：±1.5～2.5 kPa)測量眼內壓，壓痕裝置如圖1所示。實驗時，將角膜完全暴露在壓痕探針的測試區域，用自制直徑為1 mm的鋼球固定于5 N的力傳感器上，使用Instron 5544材料試驗機對角膜進行壓痕至0.3 mm，其加載速率為1 mm/min，實驗過程使用CCD(charge coupled device)相機進行圖像采集，以便角膜相關信息的測量。

圖1 壓痕實驗裝置示意圖Fig.1 Schematic diagram of indentation test device

1.2 等效彈性模量計算

角膜的壓痕過程可以視為兩個球體的接觸問題，即一個剛性小球壓入一個相對較大且柔軟的完整眼球(圖1).本文著眼于壓痕實驗所得力-位移曲線的加載階段，采用考慮黏附能的Johnson-Kendall-Roberts(JKR)模型[13]計算其等效彈性模量值E(圖2)，即

式中：R=RcRp/(Rc+Rp) 為等效半徑，Rc、Rp分別是角膜與球形探針的半徑；ν為泊松比。相關文獻報道干角膜的泊松比約為0.05[14]，而角膜不同區域的泊松比在0.12～0.40之間[15]，不可壓縮的有限元模型中通常將泊松比設為0.47[16].γ=W/A為單位接觸面積的黏附能，W為黏附能，A為球形探針與角膜的接觸面積；δ為壓痕深度，a為接觸半徑，F為壓痕力。

圖2 壓痕實驗數據圖Fig.2 Indentation experimental data diagram

1.3 三維應力-應變分析

本文用球對稱模型簡化描述完整角膜的幾何形態(圖3)，并假設角膜為各向同性材料。根據彈性理論，在球坐標系下，角膜任一點的應力和應變狀態可描述為

(2)

式中：i,j=r,θ,φ；r表示徑向(即沿厚度方向)；θ,φ分別表示相互正交的周向。各向同性角膜的周向應力公式為σθ=σφ=pRc/2t.據圖3(c)的受力分析，列平衡方程為

(3)

式中：pI為眼內壓(IOP)；Rc為角膜的半徑；t和t′分別為角膜的整體厚度和任意層厚度。解平衡方程(3)，可得徑向應力為

將周向和徑向應力代入本構方程

(4)

可以得到用于描述完整角膜應變狀態的表達式

(5)

式中：E和ν分別為角膜的彈性模量和泊松比。根據文獻[14-16]，本文將ν值設為0.47、0.40和0.33，以研究泊松比對角膜形變的影響。分析發現完整角膜的應變與角膜厚度有關，本文著重研究角膜5個不同厚度層的應變狀態(圖3(d))，分別是內表面、外表面以及整體角膜厚度的1/4、1/2、3/4處。

圖3 角膜剖面及受力分析示意圖Fig.3 Schematic diagram of corneal profile and force analysis

1.4 統計學分析

利用SPSS 17.0分析每組數據的平均值及標準差，實驗數據以均值±標準差表示，并行單因素方差分析，P<0.05即認為有顯著性差異。

2 結果

2.1 等效彈性模量

本文對宏觀壓痕實驗數據進行JKR分析，獲得了不同眼內壓下的角膜等效彈性模量值E.發現隨著眼內壓增加，角膜的等效彈性模量值增加，且在不同的眼內壓組之間均存在顯著性差異(P<0.05).由壓痕實驗所得完整角膜的等效彈性模量除了受眼內壓的影響外，還與泊松比有關。因此，本文計算了不同泊松比時的角膜等效彈性模量，如表2所示。

表2 角膜的等效彈性模量值(平均值±標準差)Table 2 Equivalent elastic modulus of the cornea (average±SD) kPa

2.2 角膜的三維應變

對周向應變計算與分析(圖4)可以看出，周向應變隨著角膜厚度的增加而增加，即隨厚度的增加呈上升趨勢。當泊松比為0.47時，周向應變在0.85%～1.0%范圍內，且其總體趨勢最低。泊松比為0.33的周向應變在1.1%～1.2%范圍內，且其總體趨勢最高，泊松比為0.40組的周向應變居中。此外，各個厚度角膜層的周向應變隨眼內壓的增加呈下降趨勢，且高眼壓與低眼壓之間有顯著性差異(P<0.05).

(a)-(c)分別表示泊松比為0.47、0.40以及0.33的周向應變值，(d)為匯總圖圖4 各生理眼壓下不同角膜層的周向應變Fig.4 Circumferential strain of different corneal layers under each IOP

分析不同角膜層的徑向應變，結果如圖5所示。發現徑向應變也隨著角膜厚度的增加而增加。泊松比為0.47組的徑向應變在-1.5%～-2.0%之間，且其總體趨勢最高，泊松比為0.33組的徑向應變在-0.75%～-1.0%之間，且其總體趨勢最低。泊松比為0.40組的徑向應變居中。此外，各角膜層的徑向應變隨眼內壓的增加也呈下降趨勢，且高內壓與低眼壓之間有顯著性差異(P<0.05).

獲得完整角膜周向和徑向應變后，可按ΔV/V=εθ+εφ+εr=2εθ+εr得到角膜的體積應變ΔV/V，進而分析完整角膜對不同眼壓的形變響應。分析結果如圖6所示，對于完整角膜來說，不同角膜厚度層幾乎擁有相同的體積應變。當泊松比為0.33時，所得體積應變值最大，約為1.5%，其次是泊松比為0.40，其體積應變約為0.9%.而體積應變最小時的泊松比為0.47，約為0.3%.與周向和徑向應變不同，體積應變幾乎不受角膜厚度的影響，但其對泊松比有相對明顯的敏感性。

3 討論

本研究旨在利用壓痕實驗，獲得不同眼內壓水平下角膜的等效彈性模量，并用球對稱模型分析不同厚度角膜層的三維應變：軸向、徑向以及體積應變。文中的等效彈性模量，可以認為是完整角膜在生理眼壓下的剛度，描述的是角膜結構水平的力學特性，與單軸拉伸獲得材料屬性的彈性模量(材料的固有屬性，不因其他因素而改變)不同，文中用JKR模型計算得到的等效彈性模量隨著眼內壓增加而增加，且在不同的眼內壓組之間均存在顯著性差異(P<0.05)。這與前人研究結果一致，比如WU et al[17]對比正常角膜和高眼壓角膜，發現眼壓升高，角膜的彈性模量增大，認為其原因是由于眼壓升高后，角膜膠原纖維排列方向隨機，致單膠原纖維硬化的結果。

(a)-(c)分別表示泊松比為0.47、0.40以及0.33的徑向應變值，(d)為匯總圖圖5 各生理眼壓下不同角膜層的徑向應變Fig.5 Radial strain of different corneal layers under each IOP

(a)-(c)分別表示泊松比為0.47、0.40以及0.33的體積應變值，(d)為匯總圖圖6 各生理眼壓下不同角膜層的體積應變Fig.6 Volume strain of different corneal layers under each IOP

ZHANG et al[18]利用三維數字圖像相關方法測定了角膜外表面在不同眼內壓下的應變分布，發現角膜外表面的應變隨著眼內壓的升高而增加，與本文研究結果一致。對完整角膜在生理眼壓的三維應變狀態分析表明，完整角膜在周向-徑向上存在著拮抗作用。這種拮抗作用可能導致了角膜體積應變的均勻性，即在不同的生理眼壓下，完整角膜的體積應變幾乎不表現出對角膜厚度的差異化響應。如圖4(d)和圖5(d)所示，在生理眼壓作用下，完整角膜的纖維分別沿周向和徑向受拉和受壓，且隨著角膜厚度的增加，周向和徑向應變有同步上升的趨勢。從角膜的內表面到外表面，其周向拉伸的變形增量幾乎完全被徑向壓縮的變形增量抵消。在不考慮泊松比的條件下，由于角膜周向-徑向應變的拮抗作用存在，導致完整角膜的形變響應對角膜厚度和生理眼壓的變化不敏感。

綜上所述，角膜的應變在周向-徑向間存在著拮抗作用，即在生理眼壓作用下，完整角膜的周向應力表現為拉應力，徑向應力表現為壓應力，這種拮抗作用可能是完整角膜對不同眼壓的形變響應呈均勻性的原因。在不同眼內壓作用下，隨著角膜厚度的增加，周向-徑向的拉、壓應變同步上升，致角膜從內到外的體積變化均勻。因此，本文著眼于使用數學計算得到不同角膜厚度的三維應變狀態，發現不同眼內壓下角膜的體積應變基本保持恒定。本文通過研究獲得了角膜應變與眼內壓、泊松比以及角膜厚度之間的關系，結果有助于進一步定量分析不同的眼內壓下角膜的生物力學特性，為今后角膜的力學模型、數值建模提供一定的依據，為進一步深入研究角膜的生物力學特性提供一定的理論參考。