局部非線性邊界條件下熱量方程解的空間漸近性

2021-11-26 07:45:12陳雪姣李遠飛李宗锎

吉林大學學報(理學版) 2021年6期

陳雪姣, 李遠飛, 李宗锎

(廣州華商學院數據科學學院, 廣州 511300)

0 引言

關于熱傳導方程的Phragmén-Lindel?f型二擇性研究目前已取得了很多結果[1-20]. 通常情況下, 這類問題定義一個半無窮的柱體為

R={(x1,x2,x3)|(x1,x2)∈D,x3>0},

其中D是坐標平面x1Ox2上的一個有界閉區域. 先假設方程的解在柱體R的側面上滿足零邊界條件, 然后證明解隨空間變量或者呈指數式(多項式)增長或者呈指數式(多項式)衰減. 例如: 文獻[1]研究了一些熱傳導理論中偽拋物方程在零邊界條件下解的空間二擇性；考慮到熱量在柱體側面上與外界發生熱交換的情況, 文獻[6]研究了調和方程

Δu=0, (x1,x2,x3,t)∈R×(0,T),

在邊界條件

下的解空間二擇性; 文獻[7-8]對文獻[6]的研究做了進一步推廣; 文獻[9]把上述研究推廣到二元混合物中的熱傳導方程上; 文獻[10]研究了帶阻尼項的波動方程在半無窮柱體上解的空間二擇性; 文獻[11]進一步研究了波動方程在球體外部區域上解的空間爆破與衰減性質.

文獻[15]考慮了瞬態調和方程在非線性動力邊界條件下解的空間漸近性. 先把柱體的側面分成兩部分, 即?D=Ω1∪Ω2,Ω1∩Ω2=?, 再假設解在Ω1和Ω2上分別滿足不同的邊界條件, 然后證明解的空間二擇一性質. 受文獻[15]的啟發, 本文研究非標準條件下的熱量方程：

其中

δ是一個大于零的常數. 本文假設存在大于零的常數C1, 使得

(6)

條件(6)可以滿足, 例如可取f(u)為

f(u)=a1(2-cosu)u2p-1,

(7)

其中a1>0.

本文工作是對目前已有結果的進一步推廣, 但與已有結果相比, 有幾點不同： 1) 與文獻[15]相比, 本文把解的二擇一結果推廣到非標準情形下； 2) 與文獻[1]相比, 本文考慮了非線性邊界條件, 因此, 文獻[1]中成立的某些微分不等式在本文不再成立, 文獻[1,15]的方法并不能直接應用到本文中, 文獻[1]是本文結果的一個特例； 3) 本文把已有結果進一步推廣到更一般的拋物方程中.

1 主要結果

令Dz表示R在x3=z處的橫截面, 即

Dz={(x1,x2,x3)|(x1,x2)∈D,x3=z}.

令Rz表示R的一個子集, 即

Rz={(x1,x2,x3)|(x1,x2)∈Dx3,x3≥z≥0}.

顯然,R0=R,D0=D.此外, 記

Ω1(z)=Ω1×{z},Ω2(z)=Ω2×{z}.

引理1[16]如果u是一個光滑函數,D是二維空間中的一個有界區域, 則存在大于零的常數C2, 使得

首先建立一個輔助函數

(8)

在式(8)中利用散度定理和方程(1)-(5), 可得

其中z0是x3軸上的一個點. 對式(9)微分, 可得

通過對函數E(z,T)進行分析, 可得以下二擇一定理.

定理1設u為方程(1)-(5)在一個半無窮柱體R上的解, 其中f(u)滿足式(6),δ2>1. 則或者

成立, 或者

成立, 其中β1是大于零的常數.

注1定理1表明, 當z→∞時方程(1)-(5)的解或者指數式增長或者指數式衰減.

定理2設u為方程(1)-(5)在一個半無窮柱體R上的解, 其中f(u)滿足式(6),δ2=1. 則或者

(13)

成立, 或者

(14)

成立, 其中c4,β2和Q0是大于零的常數.

此時需要限定時間長度T、參數δ及區域Ω2, 使得

成立, 再結合式(10)可得

利用與定理1和定理2類似的方法可得解的二擇一定理.

注3由Q0的定義可知, 要使式(12)和(14)有意義, 必須推導-E(0,T)的上界. 采用與文獻[7-8,15]類似的方法可得以下定理.

定理3設u為方程(1)-(5)在一個半無窮柱體R上的解, 其中f(u)滿足式(6)及

(15)

則有

-E(0,t)≤C,

其中C是大于零的常數.

2 主要結果的證明

2.1 定理1的證明

對于式(16), 存在以下兩種情形.

E(z,T)≥E(z0,T)>0,z≥z0>0.

由式(16)可得

即

(17)

對式(17)從z0到z積分, 可得

(18)

再結合式(9)可得式(11).

情形2) 如果對任意的z>0, 均有E(z,T)<0. 此時由式(16)可得

即

(19)

對式(19)從0到z積分, 可得

(20)

結合式(20),(21)可得式(12). 證畢.

2.2 定理2的證明

由于δ2=1, 所以式(9),(10)可以寫為

(22)

(23)

此時, 重新計算式(16), 可得

(24)

利用引理1和Schwarz不等式, 可得

其中M1=[t·measure(Ω2)]1/2. 利用式(6), 可得

其中M2=[t·measure(Ω2)]p/(p-1). 將式(26)代入式(25), 可得

(28)

對于式(28), 存在以下兩種情形.

情形1) 如果存在一個點z0>0, 使得E(z0,T)>0, 與上述分析類似可得E(z,T)≥0, ?z≥z0. 所以式(28)可以寫為

(29)

利用Young不等式, 可得

(30)

把式(30)代入式(29), 可得

(31)

(32)

對式(32)從z0到z積分, 可得

在式(33)中舍棄不等式左邊的非正項, 可得

(34)

(35)

式(35)表明E(z,T)隨z→∞指數式增長. 再結合式(20)即可完成式(13)的證明.

情形2) 對任意的z≥0, 均有E(z,T)<0. 此時由式(28),(30)可得

(36)

類似式(32), 可得

(37)

對式(37)從0到z積分, 可得

注意到-E(z,T)≤-E(0,T), 所以在式(38)中舍棄最后兩項, 可得

(39)

(40)

(41)

結合式(40),(41)可得式(14). 證畢.

3 模型推廣

考慮二元混合物中的熱量方程, 該模型適用于層狀復合材料的熱傳導問題[21], 文獻[22-23]對該模型做了進一步的討論和推廣. 文獻[3]得到了非標準條件下二元混合物中熱量方程的解在R上的空間衰減估計, 其中假設解在柱體的邊界上滿足齊次Dirichlet條件; 文獻[9]研究了二元混合物中熱量方程在側面上滿足非齊次Neumann條件的情形, 得到了解的二擇性. 與文獻[3,23]不同, 本文考慮局部非線性條件下解的漸近性.

二元混合物中的熱量方程可以寫為

其中k1,k2,b1,b2,δ1,δ是大于零的常數.

在式(45)中, 函數f1(u)和f2(v)滿足