一類具變時滯的Hopfield神經網絡模型拉回吸引子的存在性

2021-11-26 07:45:26朱雙,雷婷

吉林大學學報(理學版) 2021年6期

關鍵詞：定義

朱雙, 雷婷

(西南交通大學數學學院, 成都 611756)

0 引言

目前, 關于Hopfield神經網絡模型[1]動力學行為的研究已有很多結果[2-6], 關于不同格動力系統吸引子的研究也得到廣泛關注. 文獻[7-9]證明了二階格動力系統吸引子的存在性及收斂性；文獻[10]考慮非線性時滯格系統, 證明了不存在解唯一性的系統所關聯多值過程拉回吸引子的存在性. 本文在文獻[11]的Hopfield神經網絡模型中加入變時滯項, 對τ∈, 其離散方程為

其中u=(ui)i∈∈l2,μi,γi,λi,j和ζ均為大于0的正常數,n∈,ui,τ為初始值,fj是滿足某些條件的非線性函數,ζ0(t)是時滯函數,g(t)=(gi(t))i∈是具有時間依賴性的序列, 并且φi∈C([-ζ,0],). 首先, 證明該方程連續非自治系統的存在性; 其次, 對非自治方程的解進行一致估計; 最后, 證明非自治方程(1)-(2)拉回吸引子的存在唯一性.

1 解的一致估計

首先, 定義

其對應的范數和內積分別為

記ut(t∈)為定義在[-ζ,0]上的函數, 其形式如下:

ut(s)=(ui,t(s))i∈=(ui(t+s))i∈=u(t+s),s∈[-ζ,0].

F(u)=-Θu+Υu+G,

其中

則方程組(1)-(2)可寫成如下形式：對?τ∈,

為證明問題(3)-(4)拉回吸引子的存在性, 需做如下假設:

(H1)fi(0)=0,fi是全局Lipschitz連續的函數, 且具有Lipschitz常數L;

(H2) 存在大于0的常數a,b,B,d,D, 使得

(H3) 令g(t)=(gi(t))i∈, 且

由假設(H1)～(H3)可知, 算子F:l2→l2是全局Lipschitz連續的, 且具有Lipschitz常數L.

顯然，由泛函微分方程理論可證得對每個φ∈Γζ，均存在T>0, 使得問題(3)-(4)存在唯一的局部解ut(·,τ,φ)∈C([τ,T),Γζ). 因此, 可得:

定理1如果假設(H1)～(H3)成立, 則對任意的φ∈Γζ, 存在T>0, 使得問題(3)-(4)存在唯一的解ut(·,τ,φ)∈C([τ,T),Γζ).

引理1如果假設(H1)～(H4)成立, 則對任意的τ∈,T>0,φ∈Γζ和t∈[τ,τ+T], 均存在一個正常數c=c(τ,T,φ), 使得問題(3)-(4)的解u滿足‖ut(·,τ,φ)‖ζ≤c.

證明: 在空間l2中, 對方程(3)與u做內積, 當t>τ時, 得

(5)

由假設(H2), 得

(6)

(7)

將式(6)～(8)代入式(5), 有

(9)

利用Gronwall不等式, 當t>τ時, 有

(10)

由假設(H4), 易知存在正常數β和Q, 使得當‖φ‖ζ≤Q時, 有

(11)

下面證明當t≥τ時, 下列不等式成立：

‖u(t)‖≤Qe-β(t-τ)+(1-ρ)-1J(t),

(12)

其中

首先, 證明當q>1時, 有

‖u(t)‖

(13)

假設不等式(13)不成立. 事實上, 由于‖φ‖ζ≤Q和‖u(t)‖是連續的, 因此當t*>τ時, 必有如下不等式成立：

‖u(t*)‖≥qQe-β(t-τ)+(1-ρ)-1J(t),t≥τ,

(14)

且

‖u(t)‖≤qQe-β(t-τ)+(1-ρ)-1J(t),t≥τ,τ-ζ≤t

(15)

所以, 根據式(11),(12),(14),(15), 有

與式(14)矛盾, 即不等式(13)成立.

其次, 令q→1, 則不等式(12)成立. 證畢.

由引理1可知, 對任意的T>0, 在區間[τ,τ+T)上, 問題(3)-(4)的解都是有定義的, 表明局部解u是一個全局解. 取t∈, 在上定義一個變換：

κt(τ)=τ+t, ?τ∈.

(17)

則{κt}t∈作用在上是一個群. 對于問題(3)-(4), 定義映射

Π:+××Γζ→Γζ.

取t∈+,τ∈,uτ∈Γζ, 令

Π(t,τ,uτ)=ut+τ(·,τ,uτ),

(18)

其中

ut+τ(s,τ,uτ)=u(t+τ+s,τ,uτ),s∈-[ζ,0].

由解的唯一性可知, 對任意的t,s∈+,τ∈,uτ∈Γζ, 有

Π(t+s,τ,uτ)=Π(t,s+τ,Π(s,τ,uτ)),

即在Γζ上Π是一個連續非自治的動力系統.

引理2假設(H1)～(H4)成立, 對任意的τ∈且, 問題(3)-(4)的解均滿足

(19)

證明: 首先, 在式(9)中分別用ω和τ-t代替t和τ, 則當ω>τ-t時, 有

定義函數:

Φ(ω)=eβω‖u(ω,τ-t,φ)‖,ω≥τ-t-ζ,

(21)

(22)

其次, 證明

Φ(ω)≤Ψ(ω),ω≥τ-t.

(23)

假設不等式(23)不成立, 則必有ω*>t-τ, 使得

Φ(ω)<Ψ(ω),ω∈[τ-t-ζ,ω*),

(24)

Φ(ω*)=Ψ(ω*),

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(25)

其中

ω*?inf{ω>τ-t|Φ(ω)>Ψ(ω)},

并且存在一個充分小的正常數Δω, 使得

Φ(ω)>Ψ(ω),ω∈(ω*,ω*+Δω).

(26)

計算Φ(t)在ω*時的右上導數, 有

根據式(20), 有

由于在區間[τ-t-ζ,+∞)上,Ψ(ω)是單調遞增的, 即根據式(24),(25), 得

Φ(ω*-ζ0(ω*))<Ψ(ω*-ζ0(ω*))<Ψ(ω*)=Φ(ω*),

(29)

因此有