帶有Riemann初值簡化色譜方程組的初邊值問題

劉冬冬, 俞康寧, 郭俐輝

(1. 新疆大學 數學與系統科學學院, 烏魯木齊 830046; 2. 昌吉學院 數學系, 新疆 昌吉 831100)

0 引 言

色譜法作為一種高效的分離和分析技術, 廣泛應用于化學和工程領域, 其能將樣品中不同的組分迅速分離, 并逐一分析. 色譜理論模型是數學物理領域中的重要組成部分, 目前已得到廣泛關注. 本文考慮簡化色譜方程組

(1)

的初邊值問題

(2)

其中(u-,v-),(um,vm),(u+,v+)為常狀態, 且u≥0,v≥0. 方程組(1)可由

(3)

經過變量替換u=u1+u2,v=u1-u2得到, 其中u1和u2表示兩種溶液的濃度.

目前, 關于色譜方程組和Dirac激波相關性質的研究已取得很多結果[1-11]. 例如： Shen[1]通過特征線法和波的相互作用得到了方程組(3)Riemann解的穩定性； Li等[2]利用黏性消失法研究了簡化色譜方程組(1)當-1

(4)

的Riemann問題. 特別地, 當u=0時, 其兩個特征值為1, 因此在相平面(u,v)中, 方程組(1)當u=0時是拋物退化的.

關于雙曲方程初邊值問題的研究也得到廣泛關注[12-14]. 特別地, Joseph等[15]研究了基于Riemann初值的邊值問題, 在假設初邊值位于其中一個Riemann不變量的水平集上, 構造了非守恒彈性動力學方程組的精確解； Yao等討論了雙曲守恒律方程組的初邊值問題, 根據邊界熵不等式得到了邊界x=0處初邊值問題的解[16], 之后又得到了雙邊界初邊值問題的解[17]. 上述研究結果表明, 在經典意義下, 色譜方程組的初邊值問題是不適定的, 即方程組的解既不存在也不唯一, 從而需要給出合適的邊界熵不等式. 本文考慮簡化色譜方程組的初邊值問題, 通過找到合適的邊界熵條件, 根據基本波及Dirac激波在邊界上的相互作用, 利用邊界熵不等式使初邊值問題(1)-(2)的解存在且唯一.

1 預備知識

下面簡要介紹簡化色譜方程組(1)-(4)的Riemann問題, 詳細過程參見文獻[6]. 方程組(1)-(4)的基本波為疏散波

(5)

和激波

(6)

以及接觸間斷

(7)

由式(5),(6)知疏散波曲線與激波曲線共線, 故方程組(1)屬于Temple類型[18]. 當u+>u-=0時, 可得到具有奇異性的Dirac激波解, 在分布意義下Dirac激波解滿足廣義Rankine-Hugoniot條件:

(8)

根據基本波的性質, 可將方程組(1)-(4)的初值問題分為以下3種情形: 1) 0≤u+

2 邊界熵不等式

下面通過選擇方程組(1)的熵流對, 利用黏性消失法給出弱熵解(u,v)(x,t)在x=1處的邊界熵不等式[19].

考慮帶有黏性項的色譜方程組

(9)

其中

(10)

對任意熵流對(η,q)[19-20], 滿足

qT=ηTf′(u,v),

(11)

(12)

在分布意義下, 方程組(1)在{(x,t)|x>0,t>0}中存在解(u,v), 使得對每個熵流對都滿足熵不等式：

η(u,v)t+q(u,v)x≤0.

(13)

因此, 根據熵不等式(13)可得邊界處的充分條件： 邊界熵不等式.

綜上, 可得:

定理1在邊界x=1處, 對任意t>0和熵流對(η,q), 初邊值問題(1)-(2)在x=1上的取值(u,v)(1-,t)與邊界值(u+,v+)(1,t)滿足邊界熵不等式:

(14)

本文只推導了邊界x=1處的邊界熵不等式, 邊界x=0處類似.

定義1對于空間中的任意狀態(u+,v+), 對每個熵流對(η,q)均滿足

(15)

的狀態(u,v)所構成的集合, 稱為邊界上可容許解的集合L(u+,v+).

根據定義1, 初邊值問題(1)-(2)的邊界熵條件可表示為

(u,v)(1-,t)∈L(u+,v+),t>0.

由Kruzkov熵流對[20]可知方程組(1)的熵流對滿足

(16)

對任意固定狀態(u+,v+), 由邊界熵不等式(15)可得

將式(17)簡化為

(18)

若k不在u和u+之間, 則不等式(18)恒成立. 因此, 可得如下兩個性質.

性質1邊界x=1上的可容許解(u,v)滿足集合

L(u+,v+)={(u,v)|u-k≤0,k∈[u,u+]},

或者

L(u+,v+)={(u,v)|u-k≥0,k∈[u+,u]}.

性質2邊界x=0上的可容許解(u,v)滿足(u,v)(0,t)=(u-,v-).

3 兩點初邊值問題

下面討論簡化色譜方程組(1)-(2)的初邊值問題. 考慮利用文獻[3]具有3個常狀態初值的方法, 求解方程組(1)具有3個初值

(19)

的Riemann問題, 這里0<ε≤1. 通過驗證方程組(1)-(19)的Riemann解在{(0,t)|t>0}和{(1,t)|t>0}上是否滿足邊界熵條件, 得到初邊值問題(1)-(2)的解, 表示為(u,v)(x,t)=(u,v)(x,t)|Γ1, 其中Γ1={(x,t): 0≤x≤1,t>0}.

注1對于x=1處的邊界值, 根據ε=1,ε<1以及1在相互作用點的不同位置, 利用邊界熵不等式, 可得初邊值問題(1)-(2)的解.

下面分別對0≤u+

情形1) 0=um

由于um=0,u-,u+>0, 從(ε,0)發出Dirac激波. 當u->um=0時,R1的前向波與J1在直線x=t處重合, 即J1的左狀態是(0,0), 如圖1所示.

(20)

(21)

公民在民主程序中的表意行為是有偏好傾向的，這種傾向對民主價值是減損的，甚至是負面的，這是民主不可回避的問題。從古代到革命時代都是如此，特別是自毀式偏好和不道德的偏好影響了民主的價值體現。民主偏好的存在不僅影響到公民民主意識的形成，也影響到了公民和政府的良性互動。傳統的研究已經充分認識到了公民意志表達的這種缺陷，但是沒有改變這種狀態的進路，至少在“互聯網”之前都是如此。

則

(22)

顯然成立. 由于式(21)也是初值問題(1)-(20)在Dirac函數支撐下的弱解, 因此易證明方程組(1)的第一個方程成立. 將式(21)代入方程組(1)的第二個方程, 當t>t′時, 在分布意義下, 有

(23)

由性質1和性質2可知, 初邊值問題(1)-(2)的解分為ε=1和ε<1兩種情形. 當ε>1時, 邊界熵不等式不成立. 當ε=1時, 通過邊界熵不等式,x=0和x=1處初邊值問題(1)-(2)的解可表示為

(24)

當ε<1時, 考慮相互作用點位置x′,x″與1的大小關系, 可得初邊值問題(1)-(2)的解如下: 當ε<1

(25)

當x′=1時, 初邊值問題(1)-(2)在x=0和x=1處的解與ε=1一致； 當x′<1時, 初邊值問題(1)-(2)在x=0和x=1處的解為

(26)

情形2) 0

如圖2所示, 當t很小時, 初值問題(1)-(19)的解可表示為

圖2 當0

根據性質1和性質2, 初邊值問題(1)-(2)的解可為如下兩種形式： 當ε=1時, 根據邊界熵不等式, 邊界x=0和x=1上的初邊值問題(1)-(2)的解為

(27)

當ε<1時, 考慮到相互作用點x′, 對于ε<1

對于x′=1,x′<1

情形3) 0

如圖3所示, 初值問題(1)-(19)的解可表示為

圖3 當0

當t充分大時, 初值問題(1)-(19)的解可表示為

同理, 基于性質1和性質2, 可構造多種情形下初邊值問題(1)-(2)的解. 當ε=1時, 邊界x=0和x=1處初邊值問題(1)-(2)的解可表示為

(28)

當ε<1時, 通過考慮相互作用點位置x′,x″與1的大小關系, 對于ε<1

對于1=x′,x′<1x″幾種情形, 利用邊界熵不等式, 同理可得初邊值問題(1)-(2)的解, 可簡單表示為(u,v)(x,t)=(u,v)(x,t)|Γ1.

4 數值模擬

下面利用迎風格式模擬[22]的數值結果驗證初邊值問題(1)-(2)理論分析的正確性. 本文僅對情形1)、情形2)和情形3)中ε=1和ε<1的情形進行數值模擬, 其余情形類似, 其中時間t=3.6 s.

例1給定初值

(u-,v-)=(6,2), (um,vm)=(0,3), (u+,v+)=(5,5).

圖4 當ε=1時情形1)中初值問題(1)-(19)中u和v值Fig.4 Values of u and v of initial value problem (1)-(19) when ε=1 in case 1)

則情形1)當ε=1時的數值模擬結果如4和圖5所示, 當ε=0.5時的數值模擬結果如圖6和圖7所示. 由圖4和圖5可見, 初值問題(1)-(19)與初邊值問題(1)-(2)在區域[0,1]內有相同的解. 由圖6和圖7可見, 初值問題(1)-(19)與初邊值問題(1)-(2)的解完全相同.

例2給定初值

(u-,v-)=(4,1), (um,vm)=(5,5), (u+,v+)=(3,4),

圖5 當ε=1時情形1)中初邊值問題(1)-(2)中u和v值Fig.5 Values of u and v of initial boundary value problem (1)-(2) when ε=1 in case 1)

圖6 當ε=0.5時情形1)中初值問題(1)-(19)中u和v值Fig.6 Values of u and v of initial value problem (1)-(19) when ε=0.5 in case 1)

圖7 當ε=0.5時情形1)中初邊值問題(1)-(2)中u和v值Fig.7 Values of u and v of initial boundary value problem (1)-(2) when ε=0.5 in case 1)

圖8 當ε=1時情形2)中初值問題(1)-(19)中u和v值Fig.8 Values of u and v of initial value problem (1)-(19) when ε=1 in case 2)

則情形2)當ε=1時的數值模擬結果如圖8和圖9所示, 當ε=0.4時的數值模擬結果如圖10和圖11所示. 由圖8～圖11可見, 初值問題(1)-(19)與初邊值問題(1)-(2)的解完全一致.

例3給定初值

(u-,v-)=(1,3), (um,vm)=(3,2), (u+,v+)=(5,4),

則情形3)當ε=1時的數值模擬結果如圖12和圖13所示, 當ε=0.6時的數值模擬結果如圖14和圖15所示. 由圖12～圖15可見, 初值問題(1)-(19)與初邊值問題(1)-(2)的解完全一致.

圖9 當ε=1時情形2)中初邊值問題(1)-(2)中u和v值Fig.9 Values of u and v of initial boundary value problem (1)-(2) when ε=1 in case 2)

圖10 當ε=0.4時情形2)中初值問題(1)-(19)中u和v值Fig.10 Values of u and v of initial value problem (1)-(19) when ε=0.4 in case 2)

圖11 當ε=0.4時情形2)中初邊值問題(1)-(2)中u和v值Fig.11 Values of u and v of initial boundary value problem (1)-(2) when ε=0.4 in case 2)

圖12 當ε=1時情形3)中初值問題(1)-(19)中u和v值Fig.12 Values of u and v of initial value problem (1)-(19) when ε=1 in case 3)

圖13 當ε=1時情形3)中初邊值問題(1)-(2)中u和v值Fig.13 Values of u and v of initial boundary value problem (1)-(2) when ε=1 in case 3)

圖14 當ε=0.6時情形3)中初值問題(1)-(19)中u和v值Fig.14 Values of u and v of initial value problem (1)-(19) when ε=0.6 in case 3)

圖15 當ε=0.6時情形3)中初邊值問題(1)-(2)中u和v值Fig.15 Values of u and v of initial boundary value problem (1)-(2) when ε=0.6 in case 3)

綜上, 本文基于黏性消失法建立了邊界熵不等式, 由初值問題(1)-(19)的Riemann解結合邊界熵不等式得到了初邊值問題(1)-(2)當ε=1和ε<1的解, 并利用數值模擬進一步驗證了理論分析的正確性.