一類受白噪聲擾動群聚模型的動力學行為

張艷妮, 周 冉, 陳霄雨

(1. 吉林建筑科技學院 基礎(chǔ)科學部, 長春 130114； 2. 吉林大學 數(shù)學學院, 長春 130012； 3. 海軍航空大學青島校區(qū) 基礎(chǔ)教研室, 山東 青島 266041)

0 引 言

群聚現(xiàn)象也稱為協(xié)調(diào)運動[1-2], 在生物、物理、化學及社會經(jīng)濟系統(tǒng)等領(lǐng)域普遍存在. 例如: 冬季南飛的大雁以一致的速度向同一方向飛行; 魚群、羊群向相同方向結(jié)群運動; 人類語言由呼叫聲和肢體語言向語言的演化等[3-5]. Vicsek等[6]從統(tǒng)計物理的角度首次提出了描述動物群體行為的數(shù)學模型; Cucker等[7]基于簡單的速度匹配思想建立了如下Cucker-Smale模型(簡稱C-S模型):

其中:λ表示耦合強度, 當λ>0時表示第i個和第j個個體相互吸引, 當λ<0時表示第i個和第j個個體相互排斥;aij(t)表示第i個和第j個個體之間相互作用, 計算公式為

Ha等[8-9]研究了一類具有加性白噪聲的隨機C-S模型, 證明了在給定的模型結(jié)構(gòu)下不會出現(xiàn)強群聚現(xiàn)象； Ahn等[10]考慮一類具有乘性白噪聲的隨機C-S模型, 在權(quán)重函數(shù)有非負下界的條件下, 證明了系統(tǒng)呈強隨機群聚行為.

本文主要考慮如下具有乘性白噪聲擾動的隨機種群模型：

(1)

其中: (xi,vi)∈2d,xi(t)和vi(t)分別表示第i個個體在t時刻的位置和速度狀態(tài);λ>0表示耦合強度;Ψ(|xj-xi|)是衡量個體間相互影響的交流權(quán)重函數(shù),Ψ(s)是單調(diào)不增的C1類函數(shù);D≥0表示噪聲強度; dW(t)表示白噪聲, 其期望為0, 且〈dW(t)·dW(t*)〉=δ(t-t*), 〈 〉表示求期望；gi(v)dW(t)是乘性白噪聲,gi(v)=vi-ve,ve是d中的常向量.

定義1如果系統(tǒng)(1)的任何解(xi(t),vi(t))(i=1,2,…,N)都滿足下列條件：

則稱系統(tǒng)(1)呈強隨機群聚行為.

本文研究系統(tǒng)(1)的強隨機群聚行為. 首先, 考慮兩個個體的群聚模型強隨機群聚行為; 其次, 對N個個體群聚模型(1), 在交流權(quán)重函數(shù)有正下界的條件下, 證明其呈強隨機群聚行為.

1 無條件群聚

下面考慮N=2的情形, 此時系統(tǒng)(1)可簡化為如下方程:

其中Ψ12=Ψ21=Ψ(|x2-x1|). 令x(t)=x1(t)-x2(t),v(t)=v1(t)-v2(t), 則

(2)

引理1設(shè)(x,v)是系統(tǒng)(2)的解, 則有

(3)

其中v0=v(0)=v1(0)-v2(0).

從而式(3)成立. 證畢.

定理1設(shè)λ>0,Ψ(s)>0, 則存在正常數(shù)Tε和TM, 使得當t>max{Tε,TM}時, 有

證明： 由重對數(shù)律得

故對任意ε>0, 存在Tε>0, 使得當t>Tε時, 有

注意到

故對任意M>0, 存在TM>0, 使得當t>TM時, 有

因此, 當t>max{Tε,TM}時, 有|W(t)|≤(1+ε)Mt.

選取ε,M使得

代入式(3)可得所證結(jié)論.

2 一般群聚模型分析

令

于是, 系統(tǒng)(1)可分解為大尺度系統(tǒng)

(4)

和微尺度系統(tǒng)

(5)

首先, 考慮大尺度系統(tǒng)(4). 注意到d(vc-ve)=D(vc-ve)dW(t), 由It公式得

積分得

其中C為常數(shù). 從而

命題1存在T>0, 使得(xc,vc)滿足下列條件：

1) 〈vc(t)-ve〉=vc(0)-ve, 〈xc(t)-xc(0)〉=vc(0)t,t>0;

3) |xc(t)-(xc(0)+tve)|≤C(T,D)|vc(0)-ve|,t>T.

證明： 2)顯然成立, 下面證明1)和3).

于是

同理可得

〈xc(t)-xc(0)〉=vc(0)t.

3) 注意到

故

|xc(t)-(xc(0)+tve)|≤C(T,D)|vc(0)-ve|.

證畢.

其次, 考慮微尺度系統(tǒng)(5).

(8)

注意到

故有

由H?lder不等式可得

即

(10)

(11)

(12)

證明： 設(shè)Ψ(s)≥Ψ*>0,s∈(0,+∞). 由式(11)得

(13)

結(jié)合式(13)得

記C1(N,k,c)?C(N,k)·ck/2, 則

(14)

將式(14)兩邊積分得

再取對數(shù)得式(12)成立. 證畢.

(15)

于是

(16)

由式(15),(16)知, 模型(1)呈強隨機群聚行為.