非均勻應力場作用下圓形水工隧洞開挖與支護參數設計

吳慶良，吳夢軍，方 林，向 榮，劉冒佚，郭鴻雁

非均勻應力場作用下圓形水工隧洞開挖與支護參數設計

吳慶良1,2,3，吳夢軍2,3※，方 林2,3，向 榮4，劉冒佚4，郭鴻雁2,3

（1. 西南大學工程技術學院，重慶 400715； 2. 招商局重慶交通科研設計院有限公司，重慶 400067；3. 公路隧道建設技術國家工程實驗室，重慶 400067；4. 重慶市城投公租房建設有限公司，重慶 400015）

引水隧洞是農業、水利等工程領域重要的地下結構，確定合理的施工參數是保證隧洞施工安全的前提。該研究基于復變函數方法，考慮開挖卸荷和圍巖-襯砌相互作用影響，推導了非均勻應力場下開挖后立即支護時襯砌與圍巖光滑接觸條件下應力與位移的解析解，并基于最大主應力準則建立隧洞施工參數優化目標函數，以兩個不同算例分別設計了隧洞的開挖尺寸和襯砌的彈性模量。研究結果表明：圍巖開挖邊界引起的應力集中以及襯砌內部的應力分布均與隧洞開挖尺寸、內部水壓力、原巖應力場中的水平側壓力系數、圍巖與襯砌的物理力學參數等有關；當水平側壓力系數大于1.00時，襯砌內最大主應力值會隨著隧洞開挖尺寸的增大而增大，甚至會在襯砌內壁0°和90°處附近出現拉應力；當水平側壓力系數小于1.00時，襯砌內最大主應力值會隨著襯砌材料彈性模量的增大而增大。通過分析兩個算例可知，合理限制隧洞開挖尺寸、適當增加襯砌內壁處的配筋率均有利于隧洞襯砌安全；采用高強度低彈性模量的混凝土配比用于襯砌，可提高襯砌的承載能力。研究結果可為相關工程中隧洞的開挖與支護參數設計等提供理論借鑒和參考。

隧道襯砌；彈性模型；圓形隧洞；參數設計；應力場；復變函數方法

0 引 言

引水隧洞是廣泛應用于農業、水利等工程領域的地下結構[1-3]，為了保證其安全使用，常在隧洞內模筑鋼筋混凝土襯砌。由于隧洞的開挖擾動改變了原巖應力場，圍巖應力重分布過程隨著開挖尺寸、支護參數、支護時機等不同而千差萬別[4-7]，因此，確定合理的施工參數是保證隧洞施工安全的前提[8-9]。

當前，隧洞施工參數的優化設計主要依賴于工程類比為主的經驗設計法，再根據預設參數建立模型進行驗算[10-11]；也有一部分學者基于室內物理模型試驗或現場試驗段的結果指導隧洞的支護參數或結構的體型參數設計[12-14]；隨著隧洞埋深越來越大，地質構造越來越復雜，又有不少學者提出采用現場試驗、數值計算等多手段相結合的方法進行施工參數優化設計[15-17]，如曲星等[16]根據青海省江源水電站引水隧洞現場監測資料反演得出分析洞段圍巖參數，以此參數為依據采用有限元軟件對比了4種不同支護方案的優劣；Luo等[17]對大跨度隧道支護結構的變形特性和力學特性進行了實測分析，并采用有限元軟件對不同支護參數下的支護結構安全性進行了模擬計算獲取最優支護參數。

由于現場監測費時費力，數值計算模型因工況不同而不具備可重復性，故基于圍巖與襯砌應力場分布的施工參數反演分析方法越來越得到較多學者青睞[18-20]，如楊凱等[18]考慮圍巖松動圈支護體的影響，推導出深埋圓形隧洞襯砌應力解析解，引入功能梯度材料思想，討論了不同彈性模量雙層混凝土圓形襯砌的優化設計；于遠祥等[19]通過建立預應力錨桿與隧洞圍巖的相互作用力學模型，并以秦嶺某引水隧洞為工程背景，利用所提出的理論公式計算了該隧洞極不穩定區段圍巖變形范圍及洞壁位移量，進而對原開挖及支護方案進行了優化；Zhou等[20]考慮了錨桿的流變模型，應力釋放系數和附加徑向力等建立了三種隧道支護條件，推導了初次支撐和二次襯砌上位移的解析公式，并以此得到了不同支護參數下的支護荷載變化。然而這些力學解析模型都是基于均勻的原巖應力場假設，也未考慮隧洞開挖卸荷影響。

基于此，本文基于復變函數冪級數方法，考慮開挖卸荷和圍巖-襯砌相互作用影響，推導非均勻應力場下開挖后立即支護時襯砌與圍巖光滑接觸條件下的應力與位移的解析解，并基于最大主應力準則建立隧洞施工參數優化目標函數，以兩個不同算例分別設計隧洞的開挖尺寸和襯砌的彈性模量。以期為相關工程中隧洞的開挖與支護參數設計等提供借鑒與參考。

1 研究方法

1.1 力學模型

根據地下洞室力學分析的復變函數相關理論[22-23]可知

式中σ、σ、σ分別代表徑向應力、切向應力和剪應力；u、u分別代表徑向位移和切向位移；為復平面變量；κ為中間參數；G為剪切模量。且有

式中、分別為極坐標系下的半徑和角度；為自然常數，為虛數；μ、E分別為泊松比和彈性模量。

只要求出相應工況的兩個解析函數φ()、ψ()，即可得出隧洞以及襯砌的應力分量和位移分量。

此處需要說明的是，本文求解過程中的物理參數均取國際單位制中的基本單位，如σ、σ、σ、σ、σ、τ、、0、E、G單位均為Pa，0、1、u、u、單位均為m，單位為rad（第四節的算例中為方便書寫均換算為°），、κ、μ均無量綱。參數下標=1,2分別表示無支護、有支護狀態下的圍巖，=3表示襯砌，下標、分別表示徑向和切向方向，上標、分別表示圍巖和襯砌。

1.2 圍巖與襯砌的解析函數

1）隧洞開挖卸荷后無支護時圍巖的解析函數

原巖應力場下，隧洞的開挖卸荷作用會造成隧洞邊界上“面力解除”，不考慮支護反力作用，利用復變函數方法即可求出隧洞開挖后≥1域內圍巖的兩個解析函數[24]1()、1()為

將式（5）代入式（3），即可求出圍巖內部任意一點的徑向位移u和切向位移u為

2）開挖后立即支護時隧洞與圍巖的解析函數

假定隧洞開挖后立即進行襯砌支護，且設置支護后圍巖與襯砌相互作用，圍巖僅在支護作用下對應的兩個解析函數2()、2()可用Taylor級數[25-26]表示為

式中為級數的項數。

圍巖對襯砌作用后，襯砌內的兩個復勢函數[25-26]3()和3()可用Laurent級數表示為

式（7）和式（8）中的a、b、c、d、e、f（≥1）均為待定的實數，可由1.3節給出的邊界條件確定。

1.3 邊界條件與求解過程

根據求解的力學模型可知，襯砌內邊界（=0）上的應力邊界條件為

圍巖與襯砌接觸面（=1）上的光滑接觸條件[27]為

假定圍巖在支護前后的彈性參數未發生改變，即1=2，1=2。將隧洞開挖后支護前、后圍巖與襯砌的六個解析函數（式（5）、式（7）和式（8））代入到式（9）和式（10）中，聯立式（1）～式（3），并進一步對冪級數整理分析可以發現：當≥2時，系數a、b+2、c、d+2、e+2、f都等于0，不為0的系數只有1、1、3、1、1、3、1、3、1，而這些系數又可由線性方程組（11）～（19）求出

將求解出的參數代入式（7）～式（8）從而得到非均勻應力場下考慮開挖卸荷影響，以及圍巖與襯砌相互作用后圍巖和襯砌的復勢函數。

2 襯砌和圍巖中應力與位移分量求解

給定圍巖與襯砌的相關參數0、1、、、0、1、1、2、2的具體數值后，聯立求解線性方程組（11）～（19），可得出待定的系數1、1、3、1、1、3、1、3、1。待求的圍巖解析函數2()、2()，以及襯砌的解析函數3()、3()可寫為

顯然，襯砌中的應力由式（21）聯立式（1）～式（3）求出。

而圍巖中的應力不僅需要考慮1.2小節中的兩部分，還需要疊加上開挖前的原巖應力場，而原巖應力場解析函數[24]0()和0()為

即原巖應力場作用下，考慮開挖卸荷、襯砌與圍巖相互作用，開挖后立即進行支護時圍巖應力場的兩個最終解析函數φ()和ψ()為

將式（26）和式（27）代入式（1）和式（2）可求得

3 結果與分析

3.1 解析解的驗證

假設隧洞開挖后沒有施作襯砌，則式（7）中圍巖僅在支護作用下對應的兩個解析函數不存在，即系數a=b=0，此時式（28）～式（30）可寫為

上述結果與經典的Kirsch解完全一致[29]，這驗證了本文解析解的正確性。

3.2 隧洞施工參數優化目標函數構建

隧洞施工參數優化設計的目的是為了保證襯砌內部受力更合理。根據式（22）～式（24）可知，圍巖開挖邊界引起的應力集中以及襯砌內部的應力分布均與隧洞開挖尺寸、內部水壓力、圍巖側壓力系數以及襯砌的彈性模量等有關，在原巖應力場、巖體物理力學性質、過水斷面尺寸、內水壓力等已定的情況下，可通過改變隧洞開挖尺寸、選擇合理的混凝土彈性模量等改變襯砌內部受力。

鑒于此，構造襯砌優化設計的目標函數如下：

約束條件為

式中、為大于0的實常數，兩者均根據設計工況而定。本文待優化變量是開挖尺寸1和混凝土彈性模量3。

當襯砌內部有拉應力產生時，補充約束條件為

3.3 算例一：圍巖開挖尺寸的設計

針對水平地應力小于垂直地應力的地質環境：假定原巖應力場=10.00 MPa，側壓力系數為=0.40，彈性參數1=0.25，1=5.00 GPa，襯砌擬采用的鋼筋混凝土材料折合彈性參數2=0.20，2=20.00 MPa，抗壓強度f=25.00 MPa，抗拉強度f=4.00 MPa，襯砌內半徑0=3.00 m，內部承受靜水壓力0的作用，且0≤3.00 MPa，現需確定圍巖的開挖尺寸。

根據目標函數式（35），采用Matlab優化工具箱可求解圍巖的最大的開挖半徑為1=3.67 m。為證明以上分析和求解的正確性，下文對1=3.67 m與1=4.00 m兩種開挖半徑下的襯砌內部應力分布（分別如圖2和圖3所示）做對比分析。

由于開挖半徑不同造成橫坐標軸不一致，為更直觀對比兩種開挖半徑下的應力分布特征，故先對數據進行歸一化處理，即對半徑進行離差標準化，使橫坐標值映射到[0,1]區間。轉換函數如下：

式中*為歸一化處理后的開挖半徑。

從圖3可以看出，當開挖半徑1=4.00 m時，襯砌內部出現最大主應力大于25.00 MPa的情況，即最大值28.29 MPa出現在=0°時的內壁處（圖3a與圖3b左上角），超出了襯砌材料的抗壓強度極限；而最小主應力也出現了負值，即在襯砌內壁=0°和=90°處附近出現了拉應力（圖3a和圖3b中的點虛線以下）。從圖3a可以看出，徑向方向上，拉應力區在=0°處分布在≥3.97 m（≥0.97）范圍內，在=90°處分布在≤3.07 m（≤0.07）范圍內，從圖3b可以看出，環向方向上，拉應力區在襯砌外壁處分布在0°≤≤10.23°范圍內，在襯砌內壁處分布在73.86°≤≤90°范圍內，且最大值為2.37 MPa。

以上表明，當圍巖與襯砌的物理力學參數均已知，水平側壓力系數小于1.00時，隧洞開挖尺寸越大，襯砌內最大主應力值越大，且出現在=0°時的內壁處；隧洞的最大和最小主應力的表達式并不固定，在徑向和環向方向上都會產生轉換；隨著開挖尺寸的進一步擴大，在襯砌內壁=0°和=90°處附近也會出現拉應力，考慮到混凝土的抗拉強度較低，在隧洞支護設計時需更加注意。

3.4 算例二：襯砌材料彈性模量的設計

針對水平地應力大于垂直地應力的地質環境：假定原巖應力場=10.00 MPa，側壓力系數為=1.20，圍巖的開挖半徑1=4.00 m，彈性參數1=0.25，1=5.00 GPa，襯砌擬采用的鋼筋混凝土材料折合彈性參數1=0.20，抗壓強度f=25.00 MPa，抗拉強度f=4.00 MPa，襯砌內半徑0=3.00 m，內部承受靜水壓力0的作用，且取0≤3.00 MPa，現需確定襯砌的彈性模量。

根據目標函數式（35），采用Matlab的優化工具箱可求解襯砌材料的最大彈性模量為3=14.71 GPa，此時襯砌內部的最大或最小主應力均不能超過給定的抗壓或抗拉強度極限。同樣，為證明以上分析和求解的正確性，下面給出3=14.71 GPa與3=15.00 GPa兩種彈性模量下襯砌內部應力分布（分別如圖4和圖5所示）做對比分析。

從圖4可以看出，當襯砌彈性模量3=14.71 GPa時，襯砌內部各位置的最大主應力均小于25.00MPa，最大值出現在=90°時的內壁處（圖4a左上角與圖4b右上角），最大值為24.999 968 MPa，最小主應力為3.00 MPa，在襯砌內壁的環向各處（圖4b中的底部虛線），即襯砌內部無拉應力出現，壓應力也均滿足襯砌材料的抗壓強度要求。

從圖5可以看出，當彈性模量3=15.00 GPa時，襯砌內部出現最大主應力大于25.00 MPa的情況，即最大值25.26 MPa出現在=90°時的內壁處（圖5a左上角與圖5b右上角），超出了襯砌材料的抗壓強度極限。實際工程中為防止襯砌變形破壞常規做法是提高混凝土的抗壓強度，對于傳統的混凝土材料來說，提高其強度也會相應提高了其彈性模量，若能設計高強度低彈性模量的混凝土配比用于襯砌，會減少其內部最大主應力峰值，有利于提高襯砌的承載能力。

4 結　論

本文在考慮開挖卸荷和圍巖-襯砌相互作用影響下，采用復變函數方法推導了非均勻應力場下開挖且立即支護時襯砌與圍巖光滑接觸條件下的應力與位移的解析解，并基于最大主應力準則建立隧洞施工參數優化目標函數，通過對不同測壓力系數下隧洞的開挖尺寸和襯砌的彈性模量的優化設計，得出了以下結論：

1）圍巖開挖邊界引起的應力集中以及襯砌內部的應力分布均與隧洞開挖尺寸、內部水壓力、原巖應力場中的水平側壓力系數、圍巖與襯砌的物理力學參數等有關。

2）在水平側壓力系數大于1.00時，襯砌內最大主應力值會隨著隧洞開挖尺寸的增大而增大，因而合理地限制隧洞開挖尺寸有益于減少襯砌支護成本；隨著隧洞開挖尺寸的進一步擴大，襯砌內部最大和最小主應力會在徑向和環向方向上產生轉換，甚至會在襯砌內壁=0°和=90°處附近出現拉應力，支護設計時可適當增加襯砌內壁處的配筋率以增強其抗拉強度。

3）在水平側壓力系數小于1.00時，襯砌內最大主應力值會隨著襯砌材料彈性模量的增大而增大。若能設計高強度低彈性模量的混凝土配比用于襯砌，一方面可以提高襯砌本身的抗壓強度，另一方面又可以減少其內部最大主應力峰值，對于提高襯砌的承載能力有較好的效果。

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Excavation and design of the support parameters of circular hydraulic tunnel under non-uniform stress field

Wu Qingliang1,2,3, Wu Mengjun2,3※, Fang Lin2,3, Xiang Rong4, Liu Maoyi4, Guo Hongyan2,3

(1.,,400715,;2..,.,400067,; 3.,400067,; 4..,,400015,)

Diversion tunnel is one of the most important underground structures in agriculture, water conservancy and engineering fields. Optimal parameters are critical to ensure the safety of tunnel construction. In this study, the complex function was used to determine support parameters of a circular hydraulic tunnel, considering the influence of excavation unloading and the interaction between surrounding rock and lining. An analytical solution was also derived for the stress and displacement under the condition of immediate support after excavation in the non-uniform stress field with smooth contact between the lining and surrounding rock. The correctness of the solution was verified to compare with the classic Kirsch solution. Finally, the objective function of parameters optimization was established for the tunnel construction using the maximum principal stress criterion. Two cases were selected to design the excavation size of the tunnel and the elastic modulus of lining, namely, the horizontal ground stress less or greater than vertical ground stress. The results show that the stress concentration caused along the excavation boundary of surrounding rock, and the stress distribution inside the lining were all related to the size of the tunnel, the internal water pressure, the horizontal lateral pressure coefficient, the physical and mechanical parameters of surrounding rock and the lining. The excavation radius was optimized, when the horizontal lateral pressure coefficient was less than 1.00 in example 1 (design of excavation size of surrounding rock). It was also found that the maximum principal stress appeared at 0° of the inner wall, where 24.999 478 MPa was for the optimized excavation radius of 3.67 m, and about 28.29 MPa for the excavation radius of 4.00 m. When the excavation radius is 3.67 m, the resistance of lining material is satisfied, while when the excavation radius is 4.00 m, the strength limit of lining material is exceeded, and the tensile stress appeared. The maximum principal stress in the lining increased, with the increase of excavation size. The optimal size of tunnel excavation was beneficial to reduce the cost of lining support. The principal stress changed in the radial and circumferential directions, and even the tensile stress appeared near the 0° and 90° of the inner wall of the lining, with the further expansion of excavation size. Correspondingly, the reinforcement ratio for the inner wall of lining increased appropriately in the support design to enhance the tensile strength. The elastic modulus of lining was optimized, when the horizontal lateral pressure coefficient was greater than 1.00 in example 2 (design of elastic modulus of lining material). Comparing the optimized elastic modulus 14.71 GPa with the elastic modulus 15.00 GPa, it was found that the maximum principal stress appeared at 90° of the inner wall, where the former was about 24.999 968 MPa, which meets the resistance of the lining material, and the latter was about 25.26 MPa, which exceeds the strength limit of the lining material. The maximum principal stress value in the lining increased, with the increase of the elastic modulus of lining material. Consequently, a high-strength and low-modulus concrete ratio can be expected to design for the better bearing capacity of the lining. The findings can provide a sound theoretical reference for the tunnel excavation and support parameter design in modern projects.

tunnel linings; elastic modulus;circular tunnels; parameter optimization;stress fields; complex function method

吳慶良，吳夢軍，方林，等. 非均勻應力場作用下圓形水工隧洞開挖與支護參數設計[J]. 農業工程學報，2021，37(15)：78-85.doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2021.15.010 http://www.tcsae.org

Wu Qingliang, Wu Mengjun, Fang Lin, et al. Excavation and design of the support parameters of circular hydraulic tunnel under non-uniform stress field[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2021, 37(15): 78-85. (in Chinese with English abstract) doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2021.15.010 http://www.tcsae.org

2021-05-13

2021-07-05

國家重點研發計劃（2018YFC0809600, 2018YFC0809603）；中國博士后科學基金（2019M660022XB）。

吳慶良，博士，講師，研究方向為巖土與地下工程。Email：wuqingliang@swu.edu.cn

吳夢軍，博士，教授級高工，研究方向為隧道與地下工程。Email：1574818282@qq.com

10.11975/j.issn.1002-6819.2021.15.010

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1002-6819(2021)-15-0078-08