參數非凸弱廣義Ky Fan不等式解映射的Lipschitz連續性

萬德龍, 孟旭東

(南昌航空大學科技學院, 江西 共青城 332020)

Ky Fan不等式[1]提供了幾類問題的統一模型, 如向量優化問題、向量變分不等式、向量互補問題、向量鞍點問題和不動點問題等, 在力學、數學物理、交通運輸和網絡均衡等領域應用廣泛[2-4]. 目前, 關于Ky Fan不等式解映射存在性的研究已有許多成果[5-8], 關于Ky Fan不等式解映射的穩定性研究是優化問題的研究熱點, 如解映射的連續性、H?lder連續性、Lipschitz連續性和連通性等[9-22]. 對Ky Fan不等式解映射Lipschitz連續充分條件的研究可有效促進優化理論建立、算法設計及應用實踐. 本文在實賦范線性空間中, 在非凸分離定理的基礎上給出參數非凸弱廣義Ky Fan不等式解映射Lipschitz連續的最優性充分條件.

1 預備知識

設U(λ0)×V(μ0)?Λ×Ω為點(λ0,μ0)∈Λ×Ω的有界鄰域,f:X×X×Ω→Y為向量值映射,E:Λ→2X為集值映射, 對每個點(λ,μ)∈U(λ0)×V(μ0), 討論參數非凸弱廣義Ky Fan不等式, 簡稱問題(PWGKFI)： 找到點x0∈E(λ), 滿足

f(x0,y,μ)?-int(C), ?y∈E(λ).

對每個點(λ,μ)∈U(λ0)×V(μ0), 問題(PWGKFI)的弱有效解集記為SW(λ,μ), 即

SW(λ,μ)={x∈E(λ):f(x0,y,μ)?-int(C), ?y∈E(λ)}.

定義1設Y,Ω為實賦范線性空間,G:Ω→2Y為給定的集值映射,g:X→Y為向量值映射, 給定點μ0∈Ω, 則：

1) 稱集值映射G在點μ0處為l-Lipschitz連續的當且僅當存在l>0及點μ0的鄰域V(μ0)?Ω, 使得對任意的點μ1,μ2∈V(μ0), 均有

G(μ1)?G(μ2)+l‖μ1-μ2‖B(0,1)；

2) 稱向量值映射g在點μ0處為l-Lipschitz連續的當且僅當存在l>0及點μ0的鄰域V(μ0)?Ω, 使得對任意的點μ1,μ2∈V(μ0), 均有

‖g(μ1)-g(μ2)‖≤l‖μ1-μ2‖.

定義2[19]設Y為實賦范線性空間,A?Y為非空子集, 泛函ΔA:Y→∪{±∞}定義為

ΔA(y)=dA(y)-dYA(y).

命題1[19]設Y為實賦范線性空間,A?Y為非空子集, 且A≠Y, 則下列結論成立:

1)ΔA為實值泛函；

2)ΔA為1-Lipschitz算子；

3) 若int(A)≠?, 則ΔA(y)<0當且僅當y∈int(A);

4)ΔA(y)=0當且僅當y∈bd(A);

5) 若Ac≠?, 則ΔA(y)>0當且僅當y∈int(Ac);

6) 若A為頂點在原點的錐, 則ΔA為正齊次的.

受文獻[20]啟發, 定義如下非線性泛函：

T(ω;ε)=εΔ-int(C)(ω)-‖ω‖, (ω,ε)∈Y×+.

定義3設X,Y,Ω為實賦范線性空間,E?X為非空子集,f:X×X×Ω→Y為向量值映射, 對每個給定點(μ,ε)∈V(μ0)×+?Ω×+, 稱映射f(·,·,μ)關于T(·;ε)在E×E上為h-Lipschitz強單調的當且僅當存在h>0, 使得對任意點x,y∈E,x≠y, 均有

T(f(x,y,μ);ε)+T(f(y,x,μ);ε)+h‖x-y‖≤0.

結合命題1, 類似文獻[20]中命題3.1的證明過程, 易得：

命題2設Y為實賦范線性空間,+=(0,+∞), 則下列結論成立:

1)T為實值泛函；

2) 對每個點ε∈+,T(·;ε)關于‖·‖與ε為1+ε-Lipschitz算子；

3) 若點ω∈-int(C), 則對每個點ε∈+, 有T(ω;ε)<0;

4) 若點ω?-int(C), 則存在點ε∈+, 使得T(ω;ε)≥0;

5) 對每個點ε∈+, 均有T(·;ε)為正齊次的.

為建立集合-int(C)與緊子集A?Y之間的非凸分離定理, 本文給出如下基本假設條件：

(H0) 設Y為實賦范線性空間,A?Y為非空子集, 存在δ>0, 滿足B(0,δ)∩A≠?, 使得對任意點ω∈(B(0,δ)∩A)(-int(C)), 均有Δ-int(C)(ω)=‖ω‖.

命題3設Y為實賦范線性空間,+=(0,+∞),A?Y為非空緊非凸子集, 且滿足基本假設(H0), 則A∩(-int(C))=?當且僅當存在點ε∈+, 使得對任意點u∈-int(C),v∈A, 均有

T(u;ε0)

證明： 充分性顯然成立. 下面證明必要性.

根據命題2中3)知, 對每個點u∈-int(C)及點ε∈+, 均有

T(u;ε)<0.

(1)

則必存在一致的點ε∈+, 使得對每個點v∈A, 均有T(v;ε0)≥0. 事實上, 由A?Y為非空緊子集知,AB(0,δ)為緊集. 不妨設

易見m,M>0. 對每個點v?-int(C),v∈A, 考慮下列兩種情形：

情形1) 若B(0,δ)∩A≠?, 則取點v∈B(0,δ)∩A及點ε1=1∈+, 有

T(v;ε1)=ε1Δ-int(C)(v)-‖v‖=‖v‖-‖v‖=0.

2 問題(PWGKFI)弱解映射的Lipschitz連續性

假設對每個點(λ,μ)∈U(λ0)×V(μ0), 問題(PWGKFI)的弱有效解集SW(λ,μ)≠?, 下面建立問題(PWGKFI)弱有效解映射SW(·,·)在Λ×Ω上的Lipschitz連續性定理.

對每個點(λ,μ,ε)∈U(λ0)×V(μ0)×+?Λ×Ω×+, 考慮如下Ky Fan不等式： 找到點x0∈E(λ), 滿足

T(f(x0,y,μ);ε)≥0, ?y∈E(λ),

將其解集記為SW(λ,μ,ε), 即

SW(λ,μ,ε)={x0∈E(λ):T(f(x0,y,μ);ε)≥0, ?y∈E(λ)}.

給定點(λ0,μ0)∈Λ×Ω, 則存在點λ0∈Λ的鄰域U(λ0)?Λ, 記集合

為敘述方便, 假設:

(H1)E(·)在點λ0處為l-Lipschitz連續的；

(H2) 對任意點μ∈V(μ0),ε∈+,f(·,·,μ)關于T(·;ε)在E(U(λ0))×E(U(λ0))上為h-Lipschitz連續強單調的；

(H3) 對任意點x∈E(U(λ0)),μ∈V(μ0),f(x,·,μ)在E(U(λ0))上為k-Lipschitz連續的；

(H4) 對任意點x,y∈E(U(λ0)),f(x,y,·)在V(μ0)上為s-Lipschitz連續的；

(H5)f(·,·,μ0)在E(U(λ0))×E(U(λ0))上為有界的, 即存在M0>0, 使得對任意點x,y∈E(U(λ0)), 均有‖f(x,y,μ)‖≤M0;

(H6) 對任意點(λ,μ)∈U(λ0)×V(μ0),f(·,·,μ)在E(λ)×E(λ)上為緊值的, 且存在δ>0, 使得當B(0,δ)∩f(E(λ),E(λ),μ)≠?時, 對任意點y∈(B(0,δ)∩f(E(λ),E(λ),μ))(-int(C)), 均有Δ-int(C)(y)=‖y‖.

引理1假設條件(H6)成立, 對每個點(λ,μ)∈U(λ0)×V(μ0), 均存在有界子集D?+, 使得

(2)

(3)

首先證明

(4)

T(f(x,y,μ);ε0)≥0, ?y∈E(λ).

(5)

假設點x?SW(λ,μ), 則存在點y0∈E(λ), 使得f(x,y0,μ)∈-int(C). 根據命題2中3)知, 對每個點ε∈+, 均有T(f(x,y0,μ);ε)<0, 與式(5)矛盾. 故點x∈SW(λ,μ), 因此式(4)成立.

下證存在有界子集D?+, 使得

(6)

事實上, 設點x∈SW(λ,μ), 則有

f(x,y,μ)?-int(C), ?y∈E(λ),

于是

f(x,E(λ),μ)∩(-int(C))=?.

記

根據命題3及條件(H6)知, 存在點ε0(x)∈(0,ε0], 使得點x∈SW(λ,μ,ε0(x)). 記D=(0,ε0], 顯然D?+有界, 且點故式(6)成立. 結合式(4),(6)知, 式(3)成立, 所以式(2)成立.

引理2假設條件(H4),(H5)成立, 則存在ρ>M0, 使得對任意點ε1,ε2∈+, 均有

|T(f(x,y,μ1);ε1)-T(f(x,y,μ2);ε2)|≤max{1+ε1,1+ε2}s‖μ1-μ2‖+ρ|ε1-ε2|,

(7)

證明： 由條件(H5)知,

(8)

對任意點(x,y,μ)∈E(U(λ0))×E(U(λ0))×V(μ0), 注意到條件(H4)、式(8)及Δ-int(C)的1-Lipschitz性, 可得

(9)

因此對每個點ε1,ε2∈+, 由條件(H4)、式(9)以及T的Lipschitz性質, 可得

類似地, 有

|T(f(x,y,μ1);ε1)-T(f(x,y,μ2);ε2)|≤(1+ε2)s‖μ1-μ2‖+ρ|ε1-ε2|.

(11)

根據式(10),(11)知式(7)成立. 證畢.

引理3假設條件(H1)～(H5)成立, 對任意點ε∈+, 存在ρ>M0, 則:

1)SW(·,·,ε)在U(λ0)×V(μ0)上為單元素集；

2) 對任意點(λ1,μ1,ε1),(λ2,μ2,ε2)∈U(λ0)×V(μ0)×+及任意點x(λ1,μ1,ε1)∈SW(λ1,μ1,ε1),x(λ2,μ2,ε2)∈SW(λ2,μ2,ε2), 有

‖x(λ1,μ1,ε1)-x(λ2,μ2,ε2)‖≤Lλ‖λ1-λ2‖+Lμ‖μ1-μ2‖+Lε|ε1-ε2|,

(12)

證明： 1) 對每個點(λ,μ,ε)∈U(λ0)×V(μ0)×+, 必有SW(λ,μ,ε)為單元素. 事實上, 若點x0∈SW(λ,μ,ε), 則

T(f(x0,y,μ);ε)≥0, ?y∈E(λ).

(13)

根據條件(H2)知,

T(f(x0,y,μ);ε)+T(f(y,x0,μ);ε)+h‖x0-y‖≤0, ?y∈E(λ){x0}.

(14)

由式(13),(14)可得

T(f(y,x0,μ);ε)<0, ?y∈E(λ){x0},

故對任意點y∈E(λ){x0}, 有點y?SW(λ,μ,ε), 因此SW(·,·,ε)在U(λ0)×V(μ0)上為單元素集.

2) 下面分三步證明式(12)成立.

① 證明

‖x(λ1,μ1,ε1)-x(λ1,μ2,ε1)‖≤Lμ‖μ1-μ2‖.

(15)

事實上, 若點x(λ1,μ1,ε1)=x(λ1,μ2,ε1), 則式(15)顯然成立. 假設點x(λ1,μ1,ε1)≠x(λ1,μ2,ε1), 根據{x(λ1,μ1,ε1)}=SW(λ1,μ1,ε1), {x(λ1,μ2,ε1)}=SW(λ1,μ2,ε1), 可得

T(f(x(λ1,μ1,ε1),x(λ1,μ2,ε1),μ1);ε1)≥0,

T(f(x(λ1,μ2,ε1),x(λ1,μ1,ε1),μ2);ε1)≥0.

再由條件(H2)及引理2, 得

故

因此式(15)成立.

② 證明

‖x(λ1,μ2,ε1)-x(λ1,μ2,ε2)‖≤Lε|ε1-ε2|.

(16)

事實上, 不妨設點x(λ1,μ2,ε1)≠x(λ1,μ2,ε2), 根據{x(λ1,μ2,ε1)}=SW(λ1,μ2,ε1), {x(λ1,μ2,ε2)}=SW(λ1,μ2,ε2), 可得

T(f(x(λ1,μ2,ε1),x(λ1,μ2,ε2),μ2);ε1)≥0,

T(f(x(λ1,μ2,ε2),x(λ1,μ2,ε1),μ2);ε2)≥0.

再根據條件(H2)及引理2知,

故

因此式(16)成立.

③ 證明

‖x(λ1,μ2,ε2)-x(λ2,μ2,ε2)‖≤Lλ‖λ1-λ2‖.

(17)

事實上, 根據點x(λ1,μ2,ε2)∈E(λ1),x(λ2,μ2,ε2)∈E(λ2), 并結合條件(H1)知, 存在點x1∈E(λ1),x2∈E(λ2), 使得

‖x(λ1,μ2,ε2)-x2‖≤l‖λ1-λ2‖, ‖x(λ2,μ2,ε2)-x1‖≤l‖λ1-λ2‖.

(18)

再注意到{x(λ1,μ2,ε2)}=SW(λ1,μ2,ε2), {x(λ2,μ2,ε2)}=SW(λ2,μ2,ε2), 有

T(f(x(λ1,μ2,ε2),x1,μ2);ε2)≥0,

T(f(x(λ2,μ2,ε2),x2,μ2);ε2)≥0.

由條件(H2),(H3)及T的Lipschitz性質, 并結合式(18), 有

故

因此式(17)成立. 再結合式(15)～(17), 得

因此式(12)成立.

由引理1～引理3可建立問題(PWGKFI)解映射Lipschitz連續的充分性定理.

定理1假設條件(H1)～(H6)成立, 則存在有界子集D?+, 使得對任意點(λ1,μ1),(λ2,μ2)∈U(λ0)×V(μ0), 有

SW(λ1,μ1)?SW(λ2,μ2)+lλ‖λ1-λ2‖+lμ‖μ1-μ2‖,

(19)

證明： 對任意點(λ1,μ1),(λ2,μ2)∈U(λ0)×V(μ0), 只需證對任意點x1∈SW(λ1,μ1), 存在點x2∈SW(λ2,μ2), 使得

‖x1-x2‖≤lλ‖λ1-λ2‖+lμ‖μ1-μ2‖.

(20)

x1=x(λ1,μ1,ε0)∈SW(λ1,μ1,ε0).

再結合引理3知, 存在點x(λ2,μ2,ε0)∈SW(λ2,μ2,ε0), 使得

‖x(λ1,μ1,ε0)-x(λ2,μ2,ε0)‖≤lλ‖λ1-λ2‖+lμ‖μ1-μ2‖.

(21)

在式(21)中取點x2=x(λ2,μ2,ε0), 可得式(20)成立, 因此式(19)成立.

下面給出實例檢驗定理1.

例1設X=Λ=Ω=,對每個λ∈Λ,E(λ)=[-3,-2], 令取‖·‖=‖·‖2, 下面驗證條件(H1)～(H6)成立.

1) 顯然E(·)在Λ上為1-Lipschitz連續的, 故條件(H1)成立.

2) 由于f的值或者在intC中, 或者在-intC中, 故只需證條件(H2)中對每個ε∈(0,1]成立即可. 根據命題3, 對每個ε∈(0,1]及(x,y)∈E(U(λ0))×E(U(λ0)),x≠y, 均有

對μ∈[0,1], 分3種情形討論|x-y+μ|+|y-x+μ|的范圍.

情形① 若x-y+μ<0, 則由μ>0知,y-x+μ>0, 故

|x-y+μ|+|y-x+μ|=2|x-y|;

情形② 若x-y+μ=0, 則μ=y-x, 故

|x-y+μ|+|y-x+μ|=2|x-y|;

情形③ 若x-y+μ>0, 則

根據x-y+μ>0, 并注意到μ∈[0,1]知, 2μ>2|x-y|. 綜合上述3種情形知,

|x-y+μ|+|y-x+μ|≥2|x-y|.

因此

即

表明對任意的ε∈+,f(·,·,μ)關于T(·,·;ε)在E(U(λ0))×E(U(λ0))上為連續強單調的.

3) 檢驗條件(H3)成立. 事實上, 對任意點μ∈V(μ0)及x∈E(U(λ0)), 有

4) 根據已知條件知, (H4)和(H5)顯然成立.

5) 易知對任意的(λ,μ)∈U(λ0)×V(μ0),f(·,·,μ)在E(λ)×E(λ)上為緊值的, 此外, 注意到f的值或者在intC中, 或者在-intC中, 因此存在δ>0, 使得

B(0,δ)∩f(E(λ),E(λ),μ)≠?.

于是對任意點y∈(B(0,δ)∩f(E(λ),E(λ),μ))(-int(C)), 取ε0=1∈[0,1], 有

T(y;ε0)=ε0Δ-int(C)(y)-‖y‖=ε0‖y‖-‖y‖=(ε0-1)‖y‖=0,

故

Δ-int(C)(y)=‖y‖.

從而條件(H6)成立.