Heisenberg群中乘積曲面平均曲率流的孤子解

于延華, 封 迪

(東北大學 理學院, 沈陽 110819)

曲面的平均曲率流在數(shù)學上被認為是曲面或超曲面沿自身法向量依平均曲率大小的形變[1]. 平均曲率流發(fā)展方程在物理學、材料科學和微分幾何等領(lǐng)域具有重要作用[1-3]. 目前, 關(guān)于曲面平均曲率流在Euclide空間中的研究已有很多成果[2-5]. Cintra等[6]將平均曲率流的研究推廣到了三維Heisenberg群上, 并對初始條件是直紋面的平均曲率流進行了分類. Heisenberg群的運算具有非交換性, 該性質(zhì)使得曲面平均曲率流的性質(zhì)與Euclide空間完全不同, 結(jié)論也更豐富.

本文在三維Heisenberg群中討論初始條件是乘積面積的平均曲率流孤子解問題. 將三維Heisenberg群中的等距變換群作用在乘積曲面上, 得到隨時間變化的單參數(shù)曲面族, 并進一步給出該曲面平均曲率流的發(fā)展方程及其性質(zhì). 若無特殊說明, 本文所有的求和形式都約定采用Einstein求和記號,Ci(i∈)表示常數(shù)，H僅表示3維Heisenberg群.

1 預(yù)備知識

[e1,e2]=e3, [e1,e3]=0, [e2,e3]=0.

由標架{e1,e2,e3}可得H上一組左不變標準正交基{E1,E2,E3}：

用×表示定義在其上的外積運算, 則E1=E2×E3,E2=E3×E1,E3=E1×E2.

設(shè)M是一個2維的光滑流形, 坐標是(x1,x2). 設(shè)φt(x1,x2):M×I→H,I=[0,T), 則φt是H中一族參數(shù)為t的光滑浸入超曲面{Mt}的位置向量, 初始條件為φ0=φ.Mt的第一基本形式與第二基本形式分別為

2 基本概念

三維Heisenberg群H的等距變換群對應(yīng)的李代數(shù)(記作IsoH)有如下4個基底：

對于單參數(shù)等距變換ψt, 記X為由這4個基底組成的李代數(shù), 則基底可生成如下曲面[11]：

令初始條件φ0(u,v)為由光滑函數(shù)f(u),g(v)生成的乘積曲面, 且表達式為φ(u,v)=(u,v,f(u)g(v)). 則ψt(φ(u,v))有如下4種形式：

3 主要結(jié)果

(5)

證明： 直接計算可得

曲面的切向量為

代入平均曲率流的發(fā)展方程, 可得ε′(t)=A, 其中A是一個非零常數(shù), 即ε(t)=At.

由定理1可得如下推論：

推論1在X1作用下乘積曲面的平均曲率流隨時間運動的函數(shù)ε(t)是一個線性函數(shù), 且平均曲率流的存在時間是[0,+∞).

證明： 若曲面存在極小解, 則該極小解必然滿足方程組：

因為A≠0成立, 所以方程組的表達式可進一步寫為

(6)

由方程組(6)中的第一個方程可知

將g的表達式代入方程組(6)中第二個方程可知C2=0, 從而可得解函數(shù)為

定理2中極小解對應(yīng)的曲面幾何形狀如圖1所示.

(7)

證明： 計算過程類似定理1, 直接計算可得

代入平均曲率流發(fā)展方程可得ε′(t)=A, 且A是一個非零常數(shù).

由定理3可得如下推論：

推論2在X2作用下乘積曲面的平均曲率流隨時間運動的函數(shù)ε(t)是一個線性函數(shù), 且平均曲率流存在的時間是[0,+∞).

證明： 證明過程類似定理2. 若曲面存在極小解, 則該極小解必然滿足方程組：

(8)

由方程組(8)可知,

將f的表達式代入方程組(8)可得C4=0, 所以可知解函數(shù)為

因此曲面的表達式為Φ2(u,v)=(u,v,2-1uv).

定理4中極小解對應(yīng)的曲面幾何形狀如圖2所示.

圖1 曲面Φ1(u,v)=(u,v,-2-1uv)Fig.1 Surface Φ1(u,v)=(u,v,-2-1uv)

圖2 曲面Φ2(u,v)=(u,v,2-1uv)Fig.2 Surface Φ2(u,v)=(u,v,2-1uv)

(9)

證明： 直接計算有

法向量表達式為

又因為

(10)

將式(10)代入式(9)可得ε′(t)=A, 且A是一個非零常數(shù), 因此結(jié)論成立.

由定理5可得如下推論：

綜上, 本文得到了3種平均曲率流發(fā)展方程, 由于所得方程較復(fù)雜, 因此本文只對前兩種方程求出了極小解, 并未給出第三種方程的極小解.