Lévy噪聲驅動下具有非單調發生率的隨機SIQR傳染病模型

郭英佳, 徐小芮, 李曉嵐

(北華大學 數學與統計學院, 吉林 吉林 132013)

0 引 言

傳染病嚴重危害人類的健康, 目前控制傳染病傳播的主要方法之一是對感染者采取有效隔離, 這種方法在控制麻疹、乙肝、天花等人類傳染病中發揮了重要作用[1-2]. 在新冠肺炎爆發期間, 我國通過采取相應的隔離措施, 有效降低了該疾病的傳播, 使疫情得到有效控制.

在傳染病動力學中, 對帶有隔離的傳染病模型研究目前已取得了豐富成果[3-9]. 該方法將人群分為易感者(S)、感染者(I)、隔離者(Q)、恢復者(R)四類, 所建立的確定型傳染病模型通常稱為SIQR傳染病模型. 研究表明, 疾病的傳染率對研究傳染病具有重要作用[10-11], 而非線性傳染率能更好地反應疾病傳播的特點. 文獻[12]給出了一種一般的非線性傳染率g(I)S=kIpS/(1+αIq), 其中1/(1+αIq)表示易感者心理影響對疾病的抑制作用,kI表示疾病的傳播力度. 考慮到某些嚴重傳染病, 當傳染數目增大時, 易感者的心理影響會對疾病產生相應的抑制作用, 文獻[13]利用形如g(I)=kI/(1+αI2)的非單調傳染率有效刻畫了這種現象, 建立了如下具有這類非單調傳染率的確定型SIQR傳染病模型：

(1)

并研究了系統(1)在平衡點的穩定性, 得到如下結果：

定理1[13]當閾值R0<1時, 系統(1)只存在無病平衡點E0且是全局漸近穩定的, 此時疾病將最終滅絕; 當閾值R0>1時, 系統(1)的無病平衡點E0不穩定, 地方病平衡點E*是全局漸近穩定的, 此時疾病將持續存在.

考慮到實際應用中環境噪聲處處存在, 且會對傳染病系統產生一定影響, 因此, 在傳染病動力學模型中加入隨機噪聲更具有實際意義. 結合疾病的實際傳播情況, 文獻[14]在文獻[13]的基礎上, 建立并研究了如下由白噪聲驅動的隨機SIQR傳染病模型：

(2)

得出結論： 當基本再生數不大于1時, 在一定條件下隨機模型(2)在無病平衡點附近具有漸近穩定性； 當基本再生數大于1時, 該隨機系統的解在地方病平衡點附近振蕩.

考慮到自然界中還存在一些突變現象, 而布朗運動無法很好地描述這些非常態現象, 這些不連續噪聲通常可用跳過程或一般的Lévy噪聲描述. 因此, 本文建立并研究一類由Lévy噪聲驅動的具有非單調發生率的隨機SIQR傳染病模型：

(3)

由于系統(3)的前3個方程不含有R, 所以下面只需考慮系統(3)前3個方程構成的子系統:

(4)

1 全局正解的存在唯一性

為研究系統(4)的動力學行為, 首先要考慮系統(4)是否存在唯一的全局正解. 為此, 需對跳擴散系數做如下假設： 假設對于每個m>0, 均存在Lm>0, 使得:

(5)

|ln(1+Di(u))|<∞,Di(u)>-1,i=1,2,3,u∈Y,

(6)

其中F1(x,u)=D1(u)S(t),F2(x,u)=D2(u)I(t),F3(x,u)=D3(u)Q(t), |x|∨|y|≤m.

其中a是正常數. 顯然當u>0時,u-1-lnu≥0, 因此V函數具有非負性. 根據It公式, 有

其中,

有

(8)

結合式(8), 將式(7)兩端從0到τm∧T積分并取期望, 有

E[V(S(τm∧T),I(τm∧T),Q(τm∧T))]≤V(S(0),I(0),Q(0))+KT.

令Ωm={ω|τm≤T,m≥m1}, 則有P(Ωm)≥ε.對于每個ω∈Ωm,S(τm,ω),I(τm,ω),Q(τm,ω)中至少有一個等于m或1/m.若S(τm,ω)=m或1/m, 則有

若I(τm,ω),Q(τm,ω)中存在一個等于m或1/m, 則

于是

從而

這里IΩm表示Ωm的示性函數. 令m→∞, 有∞>V(S(0),I(0),Q(0))+KT=∞, 矛盾, 因此假設不成立, 證得τ∞=∞ a.s. 從而有τe=∞ a.s., 表明系統的解在有限時間內不會爆破, 是全局存在且唯一的. 證畢.

2 無病平衡點附近解的漸近行為

定理3假設條件(5),(6)成立, 且滿足：

這里

其中,

結合式(10), 將式(9)兩端從0到t積分并取期望, 有

將式(11)兩端同時除以t, 得

從而有

證畢.

注1定理3表明, 系統(4)的解將在無病平衡點E0附近振動, 其振動強度與σi和Di(i=1,2)有關, 且隨機擾動越小, 解的振動越弱, 此時系統的解將越接近確定型SQIR模型的無病平衡點E0, 疾病將會消失.

3 地方病平衡點附近解的漸近行為

當R0>1時, 確定型SIQR模型存在地方病平衡點E*(S*,I*,Q*), 且是全局漸近穩定的. 下面討論隨機系統(4)的解在地方病平衡點E*附近的漸近行為.

其中

證明: 首先分別定義函數

令V=V1+V2+V3, 有

因此, 有

對式(13)兩端從0到t積分再取期望, 有

將式(14)兩端同時除以t, 并令t→∞, 有

從而有

注2定理4表明, 在某些假設條件下, 系統(4)的解將做隨機振動, 且振動強度與隨機噪聲強度σi和Di(i=1,2,3)有關. 隨機噪聲強度越小, 模型的解越接近地方病平衡點, 此時疾病將會持續存在.