從屬于葉形區域星象函數類的優化性質

由向平, 湯 獲, 馬麗娜

(赤峰學院 數學與計算機科學學院, 內蒙古 赤峰 024000)

1 引言與基本定義

單復變幾何函數論中星象函數優化性質的研究最早始于MacGregor[1], 之后, 對由不同(非)線性算子刻畫的單(多)葉函數類和亞純函數類優化問題的研究得到廣泛關注[2-17]. 但上述研究優化結果均基于算子的等價關系. 最近, Tang等[18-20]在未強加任何算子的條件下研究了與正、余弦函數有關的解析函數的優化性質, 從而使優化問題的研究得到進一步發展. 但關于葉形區域解析函數優化問題的研究目前報道較少. 基于此, 本文主要考慮從屬于葉形區域星象函數類的優化性質.

(1)

其中:n∈={1,2,…};m∈0={0}∪; 算子Dn:為S?l?gean算子[4], 定義為

注1在定義1中, 如果選取不同的參數值m,n, 則可得如下函數子類:

如圖1所示;

圖1 函數的圖像

圖2 函數的圖像

由于綜合效率=純技術效率*規模效率，所以，可以把導致醫養結合養老服務投入產出效率低的原因分為兩種：一是規模效率低，即養老服務的供給結構不合理，二是純技術效率較低，即養老服務機構的資源利用率不高，導致投入要素沒有得到最有效的使用。因此，需要進一步分析導致9個DEA無效的機構醫養結合養老服務效率低的原因。

2 主要結果

則對|z|≤r1, 可得|Dm+1f(z)|≤|Dm+1g(z)|, 其中r1=r1(n)(n∈)為下列方程的最小正根:

(3r-r3)n-(1-r2)n(1+rn)=0.

(2)

證明: 因為g∈Lm,n, 故利用從屬關系和式(1), 易得

(3)

(4)

的解析函數族[21].

結合式(3)和式(4), 可得

(5)

由于Dmf(z) ?Dmg(z), 故由優化定義可知

Dmf(z)=φ(z)Dmg(z).

(6)

對式(6)兩邊關于z求導, 再乘以z得

Dm+1f(z)=zφ′(z)Dmg(z)+φ(z)Dm+1g(z).

(7)

(8)

將式(5)和式(8)代入式(7), 可得

(9)

若設|z|=r, |φ(z)|=ρ(0≤ρ≤1), 則式(9)即化為

|Dm+1f(z)|≤Φ1(r,ρ)|Dm+1g(z)|,

其中

為了確定r1, 可取

其中

易見, 取ρ=1, 則Ψ1(r,ρ)可取到最小值, 即有

min{Ψ1(r,ρ):ρ∈[0,1]}=Ψ1(r,1)=ψ1(r),

其中

又因為ψ1(r)在(0,1)上連續, 且

ψ1(0)=1>0,ψ1(1)=-2<0,

故存在r1, 使得當r∈[0,r1]時, 有ψ1(r)≥0, 這里r1=r1(n)為方程(2)的最小正根. 證畢.

根據定理1及注1, 可得下述推論.

|Dm+1f(z)|≤|Dm+1g(z)| (|z|≤r4),

這里r4是如下方程的最小正根:

6r7+r6-24r5-3r4+26r3+3r2-1=0.

(11)