一種基于反應擴散方程的彩色圖像邊緣檢測方法

張 憲 紅

(黑龍江工程學院 計算機科學與技術學院, 哈爾濱 150050)

邊緣檢測是圖像處理中的一個經典問題, 與灰度圖像相比, 彩色圖像的邊緣檢測結果會包含更多邊緣信息, 特別是對于一些亮度相同但顏色不同的圖像[1]. 近年來, 關于彩色圖像的邊緣檢測研究已有許多成果[2], 如Sobel算子[3]、Canny算子[4]等. 雖然這些技術在原有方法的基礎上進行了優化, 但并未從根本上解決這些方法的固有問題, 如邊緣提取精度不夠、閾值不適應等. 除一些經典方法外, 還有模糊算法[5]和梯度算子等方法提取彩色圖像的邊緣, 它們大多數是為了解決圖像邊緣檢測中的抗噪聲問題, 并未較好地改善圖像邊緣提取精度. 因此, 有必要提出一種更有效的彩色圖像邊緣檢測算法, 以提高圖像邊緣信息的質量. 細胞神經網絡(cellular neural network, CNN)[6]是圖像邊緣檢測的有效工具之一, 在圖像處理、模式識別、視覺信號處理和仿真等領域得到廣泛應用[7], 但其存在抗干擾能力差、邊緣檢出的準確度低等問題. 文獻[8]利用反應擴散模型對CNN模型進行了優化, 雖然邊緣檢測的準確度得到提高, 但閾值的自適應性較差, 在彩色圖像邊緣檢測中的應用也不理想. 本文通過對CNN進行改進, 提出一種基于FitzHugh-Nagumo(FHN)反應擴散方程的CNN彩色圖像邊緣檢測方法.

1 FHN反應擴散方程的動力學特性分析

將FHN反應擴散方程應用于圖像處理時, 必須考慮其動態系統特性. FHN反應擴散方程組[9]為

(1)

其中:f(u,v)=ε[u(a-u)(u-1)-v]；g(u,v)=u-bv;u,v與向量x∈n有關;Du,Dv為擴散系數, 且Du?Dv;u(x,t=0)=U0(x)為變量u的初始狀態;v(x,t=0)=V0(x)為變量v的初始狀態.

下面分析系統的Turing不穩定性質[9]. 將方程(1)轉化為

(2)

其中a和b都是常量,ε是一個正常數, 且ε?1. 方程(2)在(0,0)處線性化方程的特征方程[10]為

其中n和l是常量. 當n=0時, 方程(3)可轉化為

λ2+(aε+b)λ+(ab+1)ε=0.

(4)

當

λ2+Tn(ε)λ+Dn(ε)=0,

(5)

其中

設

Dn(ξ)=DuDvξ2+(aεDv+bDu)ξ+(ab+1)ε,

可得

h(ε)=(aεDv+bDu)2-4(ab+1)εDuDv.

令h(ε)=0, 得ε->ε+, 其中

圖1 方程(4)的分岔圖Fig.1 Bifurcation diagram of equation (4)

當a=4,b=-0.2,Du=5,Dv=0.001時, 發生Turing不穩定. 常穩態解(0,0)是不穩定的, 因此產生了一個新的非常態解, 如圖2所示. 當a=0.15,b=-0.45,Du=1,Dv=5.5,ε=5,u0=0.35,v0=1.5時, 零解(0,0)為漸近穩定的, 如圖3所示. 當a=0.035,b=-0.4,Du=1,Dv=5.5,ε=1.5,u0=0.35,v0=1.5時, 零解(0,0)為不穩定的, 并產生了一組時間周期解, 如圖4所示.

圖2 方程(2)漸近穩定值示例Fig.2 Examples of asymptotically stable values for equation (2)

上述動態特性分析確定了FHN模型的穩定狀態, 分為不穩定點和穩定點. 一個穩定點能吸引周圍的數據并趨于穩定, 而不穩定平衡點則趨于振蕩. 在圖像處理中, 穩定點周圍的圖像像素值會逐漸趨向于適合于圖像處理的點. 當空間導數和時間導數均為零時, 在方程(1)中f(u,v)=0和g(u,v)=0零斜率的交點處, 得到了FHN模型的穩定狀態. 根據a和b的值, 有如下兩種情形[8]:

情形1) 如圖5(A)所示, 有一個單點, 稱為單穩態點系統;

情形2) 如圖5(B)所示, 有兩個穩定點(I和K), 稱為雙穩定系統.

在單穩態系統中, 當有弱刺激u(0a), 則系統會被激活,u將增加到1, 然后抑制元素v上升, 使u下降至平衡位置I.該過程產生一個脈沖, 根據擴散過程的性質四處傳播. 這種情形適合于圖像邊緣檢測處理. 因此, 其為本文邊緣檢測處理的重點.

圖3 方程(2)零解漸近穩定性示例Fig.3 Examples of asymptotic stability of zero solution for equation (2)

圖4 方程(2)周期時間解示例Fig.4 Examples of time periodic solutions for equation (2)

圖5 兩種穩態示例Fig.5 Examples of two steady state

2 基于FHN的細胞神經網絡

2.1 自適應閾值設置

利用FHN進行圖像邊緣檢測, 一般分析FHN的單穩態特性. 如圖5(A)所示,g(u,v)用實線表示,f(u,v)用虛線表示. 曲線與u軸之間有3個交點, 分別是(0,0),(a,0),(1,0). 隨著時間的變化, 箭頭表示解的趨近方向； 從穩定點I鄰域的任意初始值開始, (u,v)的解最終會收斂到穩定點,I可視為一個閾值. 如果一個閾值大于另一個閾值, 則確定為邊點, 否則將確定為非邊點.

閾值將影響邊緣檢測的程度. 較小閾值可檢測到更全面的邊緣, 但同時會獲得更大的噪聲量； 較大閾值會有一些邊緣丟失. 通常要獲得最佳閾值, 可通過多次驗證平衡閾值. 但圖像中每個區域的灰度值變化方式不同, 在某些區域, 選擇固定不變的閾值會導致邊緣檢測不理想, 固定閾值邊緣檢測算法只適用于亮度規則的圖像. Nomura等[9]提出了一種閾值計算方法, 閾值a不是整個圖像區域亮度的平均值, 而需要根據局部區域的灰度變化.a的擴散方程為

a(x)=A(u0(x);D,T),

(6)

其中u(x,t=0)=u0(x)表示u的初始狀態,T表示演變時間,D表示擴散系數.

方程(6)可用于亮度圖像的邊緣檢測, 但存在一些缺陷. 隨著反應擴散系數的增大, 邊緣之間的距離增大, 邊緣會被覆蓋, 從而導致圖像邊緣模糊. 此外, 擴散系數D通常取常數, 為區域的平均值, 但也需手動預置. 因此, 需對系數D進行改進, 以使閾值完全自適應, 避免假邊緣.

本文通過構造一個調整函數優化反應擴散方程中的擴散系數, 調整函數可靈活地調整擴散系數, 使閾值真正自適應. 將系數D表示為

(7)

其中：h(r)是一個單調遞減的非負函數,h(r)∈(0,1], 其能靈活地調整擴散系數, 從而調整真假邊緣的距離, 進而減少邊緣檢測中產生假邊緣;k為常數, 主要用于控制擴散系數的下降率, 一般通過多次迭代實驗確定;r為圖像中各點的歸一化梯度值[10], 與亮度變化程度成正比, 表示為

(8)

增加調節函數h(r)可靈活地改變擴散系數, 反應擴散方程可自適應地調整閾值. 通常圖像邊緣處的圖像梯度r較大,h(r)會在該處取極小值, 從而使作用力變小, 直至停止,h(r)可在任何情形下將曲線引向邊界, 最終穩定在對象邊緣. 將改進后的閾值代入由FHN方程改進的CNN邊緣檢測模板中, 可得到自適應閾值, 提高邊緣檢測的準確性. 假設FHN反應擴散系統中變量u的初值取為一張圖像的3個灰度值,v初值取零,b=1,ε=103,Du=1.0,Dv=5.0, δh=0.5, δt=10-4. 擴散分布曲線a(x)=A(U0;50.0,1.0)和擴散分布曲線a(x)=A(U0;10.0,1.0)的脈沖圖[9]如圖6所示. 由圖6可見, 當對圖像進行邊緣檢測時, 若采用的閾值不合適, 會使圖像像素值在反應項的作用下瞬時間向兩個方向變化, 圖像在離散模型作用下產生真假雙邊緣, 且隨著反應擴散系數的增加, 雙邊緣間的距離逐漸增大, 甚至會產生覆蓋邊緣的現象, 使圖像邊緣模糊, 而采用自適應閾值a(x)=A(U0;h(r),1.0)能很好地避免該問題, 精確檢測到圖像邊緣.

圖6 反應擴散系統脈沖示意圖Fig.6 Pulse diagram of reaction-diffusion system

2.2 基于FHN的CNN改進

標準的CNN體系結構由M×N矩形單元陣列組成, 位于第i行和第j列的元素稱為單元, 用c(i,j)表示. CNN的每個基本電路單元稱為單元, 每個單元由線性電容器、非線性電壓控制電流源和一些線性電阻元件組成. CNN中的每個單元只直接連接到相鄰的單元,M×N個單元的CNN狀態方程[6]為

(9)

圖7 細胞神經網絡示例Fig.7 Examples of cellular neural networks

其中1≤i≤M, 1≤j≤N,Xij表示神經網絡中單元c(i,j)的狀態,r為單元的鄰域半徑,c(k,l)表示c(i,j)附近的單元,Nr(i,j)為鄰居,A(i,j,k,l)表示c(k,l)和c(i,j)輸出Vykl的連接權重,B(i,j,k,l)表示c(k,l)和c(i,j)輸入Vukl的連接權重, 矩陣A稱為反饋模板, 矩陣B稱為控制模板. 下面將FHN用于改進CNN, 標準CNN架構如圖7所示.

在二維空間(x,y)∈2中, 采用九點差分顯示格式求解反應擴散方程組(2). 空間變量(x,y)和時間變量t用有限差分法進行離散, 空間步長和時間步長分別為δh和δt, 且i,j和k是離散空間和時間的指數, 其中i=x/δh,j=y/δh,k=t/δt.變量u(x,y,t)的離散形式可表示為

(10)

根據CNN模型的細胞狀態函數方程(9), 可將方程(11)轉化為

同理, 方程(2)中第二個等式可轉化為

CNN的3×3模板[8]可由方程(12)和方程(13)得到：

(14)

其中Au,u,Av,u,Av,v和Au,v為反饋模板,Bu,u和Bv,v為控制模板. 這是一個兩層的CNN. 在圖像處理中, 數字圖像的大小是M×N, 其有M行和N列. 設i=0,1,…,M-1,j=0,1,…,N-1, 則方程(2)Neumann邊界條件的離散表達式[10]為

(15)

基于初值(u0,v0)、離散邊界條件方程(15)、方程(12)和方程(13)的迭代運算, 可得隨時間變化的解(u,v). 方程(12),(13)構成了一個基于FHN的兩層CNN反應擴散離散網絡, 閾值Z=0. 改進后的CNN同時具有圖像增強和邊緣檢測的功能.

3 方法應用

為更準確地檢測彩色圖像的邊緣, 首先需選擇最合適的顏色空間. 彩色圖像的邊緣檢測通常在RGB空間、CMYK空間和HSV空間進行, 用于融合輸出. HSV空間[11]是一個非線性的顏色表示系統, 主要由3個元素表示： 色調(H)、飽和度(S)和亮度(V). 本文采用Sobel算子比較彩色圖像在RGB, CMYK和HSV空間的邊緣檢測效果, 如圖8所示.

圖8 不同空間中的邊緣提取效果對比Fig.8 Comparison of edge extraction effects in different spaces

由圖8可見: 在RGB和CMYK空間的邊緣檢測結果中存在大量冗余信息, 顏色信息的丟失和混淆會產生大量的干涉噪聲, 嚴重影響了圖像邊緣檢測的質量; 由于HSV空間中每個分量的有效獨立性, 在HSV空間中檢測到的彩色圖像邊緣更清晰. 因此, 本文利用HSV顏色空間研究改進方法在彩色圖像的邊緣檢測問題. 將改進后的閾值代入由FHN方程改進的CNN邊緣檢測模板中, 可得自適應閾值. 同時, 該方法可以調整邊緣之間的距離, 防止邊緣檢測過程中出現假邊緣. 自適應閾值計算公式為

該CNN算法的步驟如圖9所示.

圖9 本文CNN算法實施步驟Fig.9 Flow chart of proposed CNN algorithm

4 實驗分析

實驗環境為Inter酷睿i3處理器的PC機, 利用MATLAB工具進行比較實驗, 實驗圖像樣本大小均為256×256.

為體現采用自適應函數的CNN在提取彩色圖像邊緣的差異性, 實驗首先在采用自適應函數與不采用自適應函數的反應擴散方程方法上對圖像邊緣提取的準確性進行比較分析.

如圖10所示, 彩色圖像樣本存在邊緣界線不清晰的問題, 閾值設置不準確, 易導致邊緣提取不準確. 若閾值設置過大, 則易導致邊緣提取不到位； 若閾值設置過小, 則易產生過多假邊緣. 因此, 可以主觀上更好地判斷自適應閾值的利弊. 由圖10可見, 帶有自適應閾值方法提取到的邊緣更全面準確, 無自適應閾值方法在中心區域有很多邊緣都未提取到, 導致丟失很多邊緣. 因此, 自適應閾值方法在提取彩色圖像邊緣時更有優越性.

圖10 有無自適應閾值提取效果對比Fig.10 Comparison of extraction effects with and without adaptive threshold

圖11 彩色圖像邊緣提取不同方法效果對比Fig.11 Comparison of color image edge extraction effects by different methods

下面將常用方法Sobel算子[12]、Roberts算子[13]、Canny算子[14]及傳統CNN與改進的CNN方法進行對比分析, 實驗結果如圖11所示. 圖11中的圖像樣本存在明暗色差, 邊緣提取有一定困難, 可以主觀上更好地判斷各種方法的優劣. 由圖11可見： Sobel算子邊緣的提取效果欠佳, Sobel算子提取邊緣在水平和垂直方向都存在缺陷； Roberts算子雖能更好地檢測出水平和垂直的邊緣, 但易丟失一些邊緣, 并且不能抑制噪聲； Canny算法對一定的噪聲具有魯棒性, 邊緣檢測精度較高, 但Canny算子采用高閾值和低閾值分別檢測強邊緣和弱邊緣, 因此, Canny算子更易檢測出一些真正的弱邊緣; 傳統CNN方法的噪聲抑制能力較弱, 會出現一些假邊緣, 顏色保持效果不理想； 改進后的CNN方法在邊緣提取和顏色保持上效果更理想.

為更客觀地評價邊緣檢測的結果, 本文采用邊緣保持指數(edge preservation index, EPI)和Pratt品質因子(Pratt’s figure of merit, PFOM)評估[15]本文方法的有效性. EPI表示處理后的圖像在水平和垂直方向上的邊緣保持能力, 計算公式為

(18)

其中Ps(i,j)為處理后的圖像像素,Po(i,j)為標準圖像像素,i為行數,j為列數. EPI的取值范圍為[0,1]. EPI越接近1, 算法的邊緣保持能力越強. PFOM是客觀評價邊緣檢測算法性能的定量指標, 其為3個因素的組合： 真實邊緣的泄漏檢測、偽邊緣的假檢測和邊緣的定位誤差. PFOM計算公式為

(19)

其中Ne為參考邊點的數量,Nd為是邊緣點的數量,β為常量,d(k)為實際邊緣點到檢測到的邊緣點之間的歐氏距離. PFOM是一個取值范圍為[0,1]的保真度函數, 其值越接近1, 邊緣檢測效果越好. 圖10和圖11的PFOM和EPI值分別列于表1和表2. 由表1和表2可見, 本文具有自適應閾值CNN方法的定量值最接近1, 因此本文方法效果最好.

表1 圖10的定量數據分析結果

表2 圖11的定量數據分析結果

綜上所述, 本文分析了FHN反應擴散方程的動力學性質, 證明了其在圖像邊緣提取中的可行性; 將基于FHN反應擴散方程的CNN應用于HSV彩色圖像的邊緣檢測; 采用反應擴散方程對擴散系數進行優化, 使閾值更具適應性; 將該CNN方法應用于一系列流體動力學圖像, 得到了一種改進的邊緣檢測效果. 由于自適應閾值可根據彩色圖像的亮度自適應選取, 因此基于反應擴散方程的CNN在彩色圖像實驗中取得了更好的效果. 與其他邊緣檢測方法相比, 本文方法更適合于高精度的彩色圖像邊緣檢測.