構建數學模型 解決實際問題
——以初中數學解決問題專題為例

安志紅 劉金英

我們生活在一個豐富多彩的世界，其中存在大量涉及分析數量關系的問題，這為培養學生的模型思想提供了大量的現實素材。從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題是學生應用數學知識解決實際問題的一種能力體現?！读x務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）指出，為適應時代發展對人才培養的需要，數學課程要特別注重發展學生的應用意識和創新意識。針對這一要求，本文以2021年天津市初中畢業生學業考試數學試題（第22、23題）為典型，分析試題的呈現過程，力圖說明在教學過程中，教師要充分利用教材資源，重視數學應用，重視培養學生運用數學模型解決實際問題的能力，該能力是落實《標準》的基本要求。

一、關于構建數學模型的理解

模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識[1]。

建立數學模型的類型有很多，其中方程是一種重要的描述現實世界的數學模型，大量豐富的實際問題反映出方程既來自實際又服務于實際。體會方程的作用，掌握運用方程解決問題的方法是一種重要的數學模型認識。人教版教科書七年級上冊第三章《一元一次方程》的“3.4實際問題與一元一次方程”一節，以框圖形式，第一次比較明確地對“利用一元一次方程解決問題的基本過程”進行了歸納，意在滲透建立數學模型的思想，在全章的小結中明確提出“數學模型”，使學生對構建數學模型在認識層面上實現了提升。

函數是刻畫現實世界中變化規律的重要數學模型.人教版教科書八年級下冊第十九章《一次函數》的章引中言明確提出：“為了研究這些運動變化現象中變量間的依賴關系，數學中逐漸形成了函數概念。人們通過研究函數及其性質，更深入地認識現實世界中許多運動變化的規律?！痹诤瘮档膶W習中，找出問題中相關變量之間的關系，并以數學形式表現這種關系，是建立函數模型和解決實際問題的關鍵步驟?，F實中存在大量問題涉及具有簡單函數關系的變量，借助實際問題情境，引導學生由具體到抽象地認識函數，進一步體會建立數學模型的方法與作用，以提高綜合運用函數知識分析和解決實際問題的能力。

利用幾何圖形建立模型也是常見的。例如，通過對人教版教科書九年級下冊第二十八章《銳角三角函數》的教學，可以使學生綜合運用知識解決與直角三角形有關的度量問題。借助圖形，是利用解直角三角形的有關知識解決實際問題的關鍵，畫出示意圖，將實際問題轉化為解直角三角形的問題，數形結合，將問題中的數量關系歸結為直角三角形中元素之間的關系，選擇恰當的銳角三角函數，并綜合運用勾股定理等直角三角形的有關知識加以解決，提高了學生分析問題和解決問題的能力。

二、關于構建數學模型的專題分析

一、構建幾何模型，解決實際測量問題

“銳角三角函數”屬于三角學，是《標準）》中“圖形與幾何”領域的重要內容。銳角三角函數的一個突出特點是它的概念的產生和應用都與圖形有著密切的聯系，將實際問題抽象成數學問題，并利用銳角三角函數解直角三角形時，往往需要根據題意，畫出幾何圖形，通過分析幾何圖形得到邊、角之間的關系，再通過計算、推理等過程使實際問題得到解決。

圖1

此題源自人教版教科書九年級下冊第二十八章《銳角三角函數》的28.2解直角三角形及其應用，涉及的內容屬于初中數學的圖形與幾何部分，是對知識的應用能力的考查。有趣的實際背景，與教科書中的例題極為相似，充分展示了解直角三角形在實際中的廣泛應用。

題目將銳角三角函數和解直角三角形的內容與實際問題緊密聯系，形成“你中有我，我中有你”的格局。一方面，可以讓學生體會銳角三角函數和解直角三角形的理論來源于生活，是實際生活的需要；另一方面，讓學生看到這些理論在解決實際問題中所起的作用。題目抽象出的幾何圖形中出現兩個銳角，一個是特殊角，另一個是非特殊角，依據《標準》對本章的要求，緊扣教科書第73頁中例1、例2、例4的形式，在解決問題的過程中考查了特殊角的三角函數值，及銳角三角函數的定義等基礎知識的應用。

（一）將實際問題抽象為數學問題

用解直角三角形的有關知識解決實際問題的關鍵，是借助圖形將實際問題轉化為解直角三角形的問題。題目背景取自教科書第76頁例5，為了降低難度，題目直接給出了示意圖，在弄清“北偏東”、“南偏東”等確定方位的常用術語的前提下，學生能根據題意將實際情景中的條件抽象成數學已知條件（由題意得，∠BAC＝60°，∠BCA＝40°，AC＝257），并根據實際問題轉換成數學問題：求三角形中一條邊的長（求AB的長）。

（二）明確需要求解的直角三角形

運用銳角三角函數的知識點解決問題的先決條件是具備直角三角形這一基本圖形，解決實際問題時若不具備條件，需適當添加輔助線完善圖形，幫助找到直角三角形.所以需要過點B作BH⊥AC，垂足為H，構造出AB邊所在的直角三角形ABH，如圖2。

圖2

（三）建立圖形中要素之間的關系

（四）應用數學工具解決實際問題

此題具有一定的靈活性和綜合性，根據題意抽象出數學元素，作垂線，建立解直角三角形的基礎圖形，數與形結合，將實際問題中的數量關系在圖形中反映出來，根據已知條件的特點，選擇恰當的銳角三角函數關系，建立解直角三角形的模型和方程模型以解決問題。

二、構建函數模型，處理圖象信息問題

圖象信息問題是指依據圖象（表）來獲取信息，這類問題來源廣泛，形式靈活，突出考查考生收集、整理和加工信息的能力。一次函數是最基本的初等函數，《標準》的要求是能用一次函數解決簡單實際問題，考查學生能利用已知條件建立一次函數模型，與一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程組等內容有機結合的能力，考查對數形結合及分類討論思想方法的理解。選取與學生生活密切聯系的命題背景，能讓學生強烈感受到利用數學知識解決實際問題的情感體驗，所以利用一次函數模型解決實際問題是近年來中考命題的熱點。一次函數應用問題的命題形式多樣，其中行程問題的圖象信息題是比較常見的一種。

例2（2021，天津，23）在“看圖說故事”活動中，某學習小組結合圖象設計了一個問題情境。

圖3

已知學校、書店、陳列館依次在同一條直線上，書店離學校12 km，陳列館離學校20 km．李華從學校出發，勻速騎行0.6 h到達書店；在書店停留0.4 h后，勻速騎行0.5 h到達陳列館；在陳列館參觀學習一段時間，然后回學校；回學校途中，勻速騎行0.5 h后減速，繼續勻速騎行回到學校．給出的圖象反映了這個過程中李華離學校的距離y km與離開學校的時間x h之間的對應關系。

請根據相關信息，解答下列問題：

（Ⅰ）填表：

（Ⅱ）填空：

①書店到陳列館的距離為_____km；

②李華在陳列館參觀學習的時間為_____h；

③李華從陳列館回學校途中，減速前的騎行速度為_____km/h；

④當李華離學校的距離為4km時，他離開學校的時間為_____h．

（Ⅲ）當0≤x≤1.5時，請直接寫出y關于x的函數解析式．

此題源自人教版教科書八年級下冊第76頁例2，并融合了《標準》第123頁例78的設計思路和理念。題目以“看圖說故事”的形式呈現，取材于學生的日常生活，閱讀題目的過程中容易產生代入感，易于理解問題的大意，而且題目在設計上以填表、填空的形式完成，方便解答，可以使學生有更多的時間，集中精力思考數學問題。

（一）閱讀文字信息，理解題意

找出問題中相關變量之間關系的基礎是正確地理解問題情境。本題的信息量較大，單看圖象很難調取有效信息解決問題，細心讀題、審題是解題的前提：李華從學校到達書店；停留后，再到達陳列館；參觀一段時間后返校，且返回的途中有速度變化。在認真閱讀文字信息的前提下，再結合圖象，才能比較容易明確時間與距離兩個變量的關系。

（二）觀察圖象特點，提取數據

1.觀察其中的坐標軸，明確實際意義

觀察圖象時，首先要明確橫、縱坐標軸表示的實際意義。此題橫軸表示時間，縱軸表示距離，觀察x軸可得由學校到書店用時0.6 h，在書店停留1-0.6=0.4（h），從書店到陳列館用時1.5-1=0.5（h），在陳列館參觀學習的時間為4.5-1.5=3（h）；由陳列館返回學校用時5.5-4.5=1（h）；觀察y軸容易得到學校距書店12 km，書店到陳列館的距離為20-12=8（km）的信息；通過對坐標軸的觀察，與文字信息的呼應，使學生進一步加強了對題意的理解，對應圖表提供的數據，可得：當x＝0.5時，y＝10；當x＝0.8時，y＝12；當x＝3時，y＝20；學生能比較輕松地回答第（Ⅰ）問以及第（Ⅱ）問中的①、②問題，題目的設計充分體現了義務教育的數學課程能使學生掌握必備的基礎知識和基本技能的要求。

2.觀察圖象變化趨勢，明確變化規律

（三）依托圖象關鍵點的位置，尋找數量關系

將題目中描述的運動過程與圖象匹配起來，發揮從數和形兩個方面共同分析問題、解決問題的優勢，是必要且可行的。如圖4，圖象中六條線段由重要的點A、點B、點C、點D、點E相連，結合實際情形，圖中的點O、點A、點B、點C、點D、點E、點F坐標分別是（0，0）、（0.6，12）、（1，12）、（1.5，20）、（4.5，20）、（5，6）、（5.5，0），不難看出，對于線段OA、線段BC，隨著自變量x的增大，對應的函數值y也增加，對于線段DC、線段EF，隨著自變量x的增大，對應的函數值y減小，利用得到的點坐標建立一次函數模型，可求相應線段的解析式；線段AB、線段CD，隨著自變量x的增大，對應的函數值y沒有改變，可用常數表示.因此根據實際意義，用坐標確定每個關鍵點的位置是解決第（Ⅲ）問的前提。

圖4

（四）理解問題中變量的含義，建立函數模型

限定了自變量的取值范圍，即鎖定了對應的函數圖象，當0≤x≤1.5時，圖象中對應了三條不同線段，所以要分區間段一一考慮。利用線段與線段之間連接點的橫坐標，可將0≤x≤1.5劃分為0≤x≤0.6，0.6＜x≤1，1＜x≤1.5三段，利用圖中的關鍵點O、點A、點B、點C的坐標，建立相應函數模型，用分段函數的方式描述最終結果。當0≤x≤0.6時，建立正比例函數模型，得線段OA的解析式y＝20x；當1＜x≤1.5時，建立一次函數模型，組建二元一次方程組，得線段BC的解析式y=16x-4，當0.6＜x≤1時，對應的函數值不變，可用y＝12表示。

此題不僅考查建立模型的意識以及基礎運算的能力，還考查對數形結合思想方法的應用，數與形相互融合，體現了函數解析式與函數圖象的轉化對分析問題、解決問題的重要作用。

從上述分析可以感受到，對于一個問題可以從多種角度思考，圖形、圖象、表格、式子等都是運用數學模型解決實際問題可以借助的工具，使用它們的目的在于發現和厘清問題中量與量之間的關系，在建立模型后，還需注意結合問題的實際意義檢驗結果的合理性。另外，這兩道題目均源于教科書上的例題，建議教師日常教學中圍繞課標，立足教材，落實基礎知識和基本技能，以學生熟悉的、感興趣的話題為背景，加強數學應用能力的訓練，逐步培養學生的模型觀念，提高學生解決實際問題的綜合能力。