二元一次方程組新穎應用題賞析

張代清

近年來，中考試卷中出現了一些形式新穎的二元一次方程組應用題，如圖表方案題、實物信息題、答案開放題等，有效考查了考生必須掌握的知識點、數學思想方法，以及迅速獲取圖文信息的能力.

一、圖表方案題

例1（2021·浙江·寧波）某通訊公司就手機流量套餐推出三種方案，如下表：

[ A方案 B方案 C方案 每月基本費用/元 20 56 266 每月免費使用流量/兆 1024 m 無限 超出后每兆收費/元 n n ]

A方案、B方案、C方案每月所需費用y（元）與每月使用的流量x（兆）之間的函數關系如圖1所示.

（1）請直接寫出m，n的值.

（2）在A方案中，當每月使用的流量不少于1024兆時，求每月所需費用y（元）與每月使用流量x（兆）之間的函數關系式.

（3）在這三種方案中，當每月使用的流量超過多少兆時，選擇C方案最合算？

分析：（1）結合表格和函數圖象給出的數據，可以得出A，B兩種方案超出每月使用流量后每兆收費相同都是n元. n = （56 - 20） ÷ （1144 - 1024） = 0.3. B方案使用流量不超過3072兆時，費用都是56元，所以m = 3072.（2）觀察函數圖象得出兩點（1024，20），（1144，56）在所求射線上，用待定系數法可求出函數關系式. （3）當每月使用流量超過B方案和C方案交點橫坐標時，選擇C方案最合算. 這個交點橫坐標為：（266 - 56） ÷ 0.3 = 700，則3072 + 700 = 3772（兆）.

解：（1）m = 3072，n = 0.3.

（2）設函數表達式為y = kx + b（k ≠ 0），

把（1024，20），（1144，56）代入y = kx + b，得[20=1024k+b，56=1144k+b，] 解得[k=0.3，b=-287.2.]

所以y關于x的表達式為y = 0.3x - 287.2（x ≥ 1024）.

（3）3072 + （266 - 56） ÷ 0.3 = 3772（兆），

由圖象可知，每月使用的流量超過3772兆時，選擇C方案最合算.

二、實物信息題

例2 請根據圖2中提供的信息，回答下列問題：

（1）一個暖瓶與一個水杯分別是多少元？

（2）甲、乙兩家商場同時出售同樣的暖瓶和水杯，為了迎接新年，兩家商場都在搞促銷活動，甲商場規定：這兩種商品都打9折;乙商場規定：買一個暖瓶贈送一個水杯. 若某單位想要買4個暖瓶和15個水杯，請問選擇哪家商場購買更合算，請說明理由.

分析：觀察圖2發現兩個等量關系：①1個暖瓶加1個水杯價格是38元;②2個暖瓶和3個水杯價格是84元.據此列二元一次方程組求解.

解：（1）設一個暖瓶為x元，一個水杯為y元，

根據題意得[x+y=38，2x+3y=84，]解得[x=30，y=8.]

答：一個暖瓶是30元，一個水杯是8元.

（2）若到甲商場購買，則所需的錢數為（4 × 30+15 × 8） × 90% = 216（元）.

若到乙商場購買，則所需的錢數為4 × 30+（15 - 4） × 8 = 208（元）.

因為208 < 216，所以到乙商場購買更合算.

三、答案開放題

例3 （1）將一批重490噸的貨物分配給甲、乙兩船運輸. 現甲、乙兩船已分別運走其任務數的[57]，[37]，在已運走的貨物中，甲船比乙船多運30噸. 求分配給甲、乙兩船的任務數各是多少噸. （2）自編一道應用題，要求如下：①是路程應用題，三個數據100，[25]，[15]必須全部用到，不添加其他數據;②只要編題，不必解答.

分析：本題有兩個等量關系：①甲船運貨量-乙船運貨量=30噸;②甲船運貨量 + 乙船運貨量=490噸. 分別設出兩船的運貨量，列二元一次方程組求解即可.

解：（1）設分配給甲、乙兩船的任務數分別是x噸、y噸，

根據題意，得 [57x-37y=30，x+y=490，] 解得[x=210，y=280.]

答：分配給甲、乙兩船的任務數分別是210噸、280噸.

（2）給出兩種參考答案如下：

①可設計為行程中的相遇問題. 甲、乙兩人從M，N兩地相向而行，現甲、乙兩人已分別走完全程的[25]，[15]，此時兩人相距100千米. 求全程是多少千米.

②可設計為行程中的追及問題. 甲、乙兩人相距100米，乙在前，甲在后，他們同時出發同向而行. 甲每秒走[25]米，乙每秒走[15]米，多長時間甲能追上乙？

注：解答此題，應遵循從簡原則，相遇和追及問題就較適合編題，不要人為編制較難的問題，比如行程中的環形跑問題等. 編題后雖不用解答，但應能求解，且合情合理、符合實際.

（作者單位：遼寧省沈陽市第一四五中學）