整式乘法中的數學思想

鄒興平

數學思想方法是解決數學問題的金鑰匙. 在整式乘法的計算過程中，同學們應注意多種數學思想方法的靈活運用.

一、方程思想

例1 若多項式（x2 + mx + n）（x2 - 3x + 4）展開后不含x3項和x2項. 試求m，n的值.

解析：展開式不含x3項和x2項，說明x3項和x2項的系數都為0，由此列方程組即可.

（x2 + mx + n）（x2 - 3x + 4） = x4 + （m - 3）x3 + （n - 3m + 4）x2 + （4m - 3n）x + 4n，

由展開后不含x3項和x2項，得[m - 3 = 0，n - 3m + 4 = 0，]解得[m = 3，n = 5.]

二、整體思想

例2 已知2a2 + 3a - 6 = 0， 求代數式3a（2a + 1） - （2a + 1）（2a - 1）的值.

解析：化簡所求式后，把已知等式變形后整體代入求值即可.

由2a2 + 3a - 6 = 0，得2a2 + 3a = 6，原式 = 6a2 + 3a - 4a2 + 1 = 2a2 + 3a + 1 = 6 + 1 = 7.

三、數形結合思想

例3 如右圖，長方形ABCD的面積為 （用含x的代數式表示）.

解析：觀察并利用圖形中的數量關系，結合長方形面積公式即可解答.

（x + 2）（x + 3） = x2 + 5x + 6.故應填x2 + 5x + 6.

四、特殊與一般相互轉化的思想

例4 請你計算：（1 - x）（1 + x），（1 - x）（1 + x + x2），…，猜想（1 - x）（1 + x + x2 + … + xn）的結果是（ ）.

A. 1 - xn + 1 B. 1 + xn + 1 C. 1 - xn D. 1 + xn

解析：利用多項式乘多項式的法則計算已知各項，歸納總結得到一般性規律，即可得到結果.

（1 - x）（1 + x） = 1 - x2，（1 - x）（1 + x + x2） = 1 + x + x2 - x - x2 - x3 = 1 - x3，…，

依此類推（1 - x）（1 + x + x2 + … + xn） = 1 - xn + 1.故應選A.

同類演練

1.先化簡（a + b）（a - b） + b（a + 2b） - b2，再求值，其中a = 1，b = - 2.

2.已知3a + 2b = 2，ab = 5，求[23]ab[（3a + 2b）2 + a2b2]的值.

3.若單項式 - xyb + 1與[12]xa - 2y3是同類項，則（a - b）2021等于 .

答案：1. - 1 2. 96[23] 3. 1