七自由度模塊化機(jī)械臂工作空間優(yōu)化研究

鄭威特 楊陽(yáng) 王大中 王琦 許凱元

摘要： 針對(duì)兩種長(zhǎng)度相同構(gòu)型不同的七自由度模塊化機(jī)械臂，研究其工作范圍的空間優(yōu)化問(wèn)題。首先運(yùn)用了DH法則進(jìn)行手臂結(jié)構(gòu)建模，得到了正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型并分析了位姿變換矩陣;在模擬仿真軟件的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了雙臂的結(jié)構(gòu)，利用蒙特卡羅方法求解了工作空間，并利用軟件繪制了兩種手臂構(gòu)型的三維工作空間;最后利用數(shù)據(jù)指標(biāo)對(duì)比分析兩種手臂構(gòu)型的工作空間以及結(jié)構(gòu)效率，比較了兩種機(jī)械臂構(gòu)形的差異，獲得最優(yōu)構(gòu)型，為進(jìn)一步研究機(jī)械手最優(yōu)構(gòu)型以及優(yōu)化工作空間奠定了基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞： DH法則; 蒙特卡洛法; 七自由度機(jī)械手;工作空間優(yōu)化; 三維仿真工作空間

中圖分類(lèi)號(hào)：TP18? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2021）28-0144-05

開(kāi)放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

Research on Workspace Optimization of 7-DOF Modular Manipulator

ZHENG Wei-te， YANG Yang， WANG Da-zhong， WANG Qi， XU Kai-yuan

（Shanghai University of Engineering Science，Shanghai 201620， China）

Abstract： Aiming at two kinds of 7-DOF modular manipulators with the same length and different configurations， the space optimization of their working range is studied. Firstly， DH rule is used to model the arm structure， the forward kinematics model is obtained， and the pose transformation matrix is analyzed; Based on the simulation software， the structure of the two arms is constructed， the workspace is solved by Monte Carlo method， and the three-dimensional workspace of the two arm configurations is drawn by the software; finally， the workspace and structural efficiency of the two arm configurations are compared and analyzed by using the data index， and the differences between the two arm configurations are compared， so as to obtain the most efficient results The optimal configuration lays a foundation for the further study of the optimal configuration of manipulator and the optimization of workspace.

Key words： DH rule; monte carlo method; 7-DOF manipulator; workspace optimization; 3D simulation workspace

模塊化機(jī)械臂是以標(biāo)準(zhǔn)化模塊庫(kù)為基礎(chǔ)，可以根據(jù)具體不同的任務(wù)要求自定義裝配設(shè)計(jì)完成要求目標(biāo)的自由構(gòu)型機(jī)械臂。還可以針對(duì)模塊化機(jī)械臂構(gòu)型數(shù)學(xué)表達(dá)、運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)、面向任務(wù)的構(gòu)型優(yōu)化設(shè)計(jì)和軌跡規(guī)劃等問(wèn)題。機(jī)械手的工作空間范圍既末端執(zhí)行器上能夠到達(dá)的所有點(diǎn)的集合。在機(jī)械手的設(shè)計(jì)和應(yīng)用過(guò)程中，工作空間點(diǎn)云圖在優(yōu)化機(jī)械臂分析研究中起到了舉足輕重的地位，此外還需要對(duì)工作空間進(jìn)行比對(duì)分析，例如機(jī)械手單位長(zhǎng)度的空間體積和工作空間的靈活性等工作空間參數(shù)是衡量機(jī)械手工作能力的重要指標(biāo)。

數(shù)值法、解析法和幾何法，這三種是比較常用的工作空間求解方法。第一種數(shù)值法相對(duì)另兩種方法較為實(shí)用及便捷，主要以極值理論為基礎(chǔ)，較為靈活并借助計(jì)算機(jī)運(yùn)算能力以及可視化;解析法的求解過(guò)程比較復(fù)雜，涉及逆運(yùn)動(dòng)學(xué)等問(wèn)題，在實(shí)際應(yīng)用中不具有實(shí)用性;在解決三自由度以下的機(jī)械手的問(wèn)題常采用幾何法，幾何法更簡(jiǎn)單直觀。國(guó)內(nèi)外研究人員也充分研究了求解機(jī)械臂工作空間，趙亞川等人分析傳統(tǒng)蒙特卡洛法在應(yīng)對(duì)超冗余機(jī)械臂時(shí)存在的不足，引入基于k- NN（ k近鄰）的點(diǎn)云邊界提取方法，改善了蒙特卡洛法計(jì)算中存在的點(diǎn)分布不均、點(diǎn)云生成速度慢和點(diǎn)云邊界提取困難等問(wèn)題，最后將改進(jìn)的方法應(yīng)用于蛇形機(jī)械臂的工作空間求解并證實(shí)其計(jì)算效率及實(shí)用價(jià)值;劉彥伯使用的方法是快速極坐標(biāo)搜索法來(lái)對(duì)機(jī)器人的工作空間進(jìn)行了分析[2];柯江巖等人[3]通過(guò)機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)建模，獲取運(yùn)動(dòng)云圖節(jié)點(diǎn)，提取分揀機(jī)器人復(fù)雜工作空間邊界曲線，根據(jù)邊界曲線中空間節(jié)點(diǎn)排列方式，給定性能優(yōu)化運(yùn)動(dòng)指標(biāo)，求解機(jī)器人分揀行為逆運(yùn)動(dòng)學(xué)，得到求導(dǎo)與定義最優(yōu)組合解，確定機(jī)器人工作空間外界范圍曲線;葉鵬達(dá)等人[4]首先，結(jié)合矢量法與旋轉(zhuǎn)矩陣推導(dǎo)得出并聯(lián)機(jī)器人位置反解的全解析表達(dá)式，并在Mathematica中構(gòu)建了并聯(lián)機(jī)器人虛擬樣機(jī)，通過(guò)算例仿真驗(yàn)證了位置反解數(shù)學(xué)模型的正確性[1];然后，在考慮桿長(zhǎng)約束的全解析位置反解的基礎(chǔ)上，采用有限離散法求得并聯(lián)機(jī)器人在三個(gè)不同位置的工作空間;魯凱等人[5]采用圓弧相交法求定姿態(tài)的工作空間，得到截面形狀，利用梯形積分法計(jì)算出工作空間體積;崔建昆等人[6]提出一種平面并聯(lián)機(jī)器人工作空間新的表達(dá)方法采用迭代搜索法，以運(yùn)動(dòng)方程逆解為判別式，進(jìn)行工作空間的圓周式搜索，得到了全姿態(tài)工作空間的三維展示，并對(duì)其特性進(jìn)行研究，在此基礎(chǔ)上，得到了在工作空間內(nèi)無(wú)空腔的桿長(zhǎng)到達(dá)工作空間的比值;Morteza Alebooyeh等人[7]利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，使得其在一個(gè)可接受的置信區(qū)間內(nèi)預(yù)測(cè)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解并利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱在MATLAB平臺(tái)上建立數(shù)學(xué)模型，包括所有運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，即機(jī)械手關(guān)節(jié)和連桿的物理結(jié)構(gòu)，并進(jìn)行可視化表示;Lucian Milicad等人提出了一種機(jī)器人幾何模型和工作空間傳感的新方法[8]，根據(jù)空間鏈閉合方程的一般方法，建立了空間鏈的正、逆幾何模型，將六維空間劃分為兩個(gè)三維空間，即平移空間和旋轉(zhuǎn)空間。根據(jù)設(shè)計(jì)初期的要求，通過(guò)特定的算法得到6D空間的二維橫截面和工作空間的直觀表示。最后，討論了三種分離方法與刀具在某一加工過(guò)程中所施加軌跡的關(guān)系。

本文主要針對(duì)相同長(zhǎng)度下不同構(gòu)型的七自由度機(jī)械臂進(jìn)行優(yōu)化分析：a）進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，并得到了運(yùn)動(dòng)學(xué)模型;b）對(duì)兩性結(jié)構(gòu)的機(jī)械臂通過(guò)仿真建模軟件進(jìn)行建模，為分析得出最優(yōu)結(jié)構(gòu)，可運(yùn)用蒙特卡洛法分別獲得兩機(jī)械手臂的可視化點(diǎn)云圖c）再采用各項(xiàng)指標(biāo)分析判斷機(jī)械臂的優(yōu)缺點(diǎn)。

1 機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)模型分析

1.1機(jī)械臂模型及其坐標(biāo)系

本文中出現(xiàn)的機(jī)械手是自行設(shè)計(jì)的兩種七自由度構(gòu)型機(jī)械臂。圖1和圖2分別展示了兩種構(gòu)型機(jī)械手的模型以及機(jī)械手構(gòu)型對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系。

1.2 確定結(jié)構(gòu)參數(shù)

本文分析研究的兩種機(jī)械臂均有七個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，兩種結(jié)構(gòu)的完整坐標(biāo)系如圖2所示，且根據(jù)其構(gòu)型特點(diǎn)，通過(guò)DH法則建立坐標(biāo)系，將坐標(biāo)原點(diǎn)分別設(shè)在構(gòu)型1的關(guān)節(jié)1處以及構(gòu)型2的關(guān)節(jié)2處，其對(duì)應(yīng)的DH參數(shù)分別由表1和表2所示。

1.3位姿變換矩陣分析

連續(xù)連桿之間的坐標(biāo)關(guān)系由圖3所示，顯示了連桿n-1和連桿n之間的坐標(biāo)關(guān)系的轉(zhuǎn)換，關(guān)節(jié)n上方的坐標(biāo)系首先需要繞軸[Zn-1]旋轉(zhuǎn)[θn]，接下來(lái)再沿軸[Zn-1]平移[dn]，其次再通過(guò)沿軸[xn]平移[an]，最后通過(guò)繞著軸[xn]旋轉(zhuǎn)[αn]完成這兩個(gè)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系之間的變換[9]。

在Zn-1軸的坐標(biāo)變化可以被描述為式（1）：

[Tn-1n0=cosθn-sinθn00sinθncosθn00001dn0001]? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

沿xn軸的坐標(biāo)變換可以被描述為式（2）：

[Tn0n=100αn0cosαn-sinαn00-sinαncosαn00001]? ? ? ? ? ? ? ?（2）

則完整的位姿坐標(biāo)變換矩陣可以視為式（1）和式（2）兩個(gè)坐標(biāo)變換矩陣的疊加，如式（3）所示∶

[Tn-1n=Tn-1n0Tn0n=cosθn-sinθncosαnsinθnsinαnancosθnsinθncosθncosαn-cosθnsinαnansinθn0sinαncosαndn0001]

（3）

1.4 正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

機(jī)械手臂的正向標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)學(xué)解就是機(jī)械手臂末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)的求解。由上文可知，已在D-H法則中建立了參數(shù)表和連桿坐標(biāo)系，并推算出相鄰關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的變換矩陣。再將表1中的數(shù)據(jù)代入公式（3）即可獲得姿態(tài)變換矩陣。相對(duì)于基礎(chǔ)位置和機(jī)械手末端執(zhí)行器的姿態(tài)變換矩陣可以表示如下：

[T07=T01T12T23T34T45T56T67=nxoxaxpxnyoyaypynzozazpz0001]? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

式子（4）的第四列是位置向量在相對(duì)于坐標(biāo)系的三維空間下的機(jī)械臂末端執(zhí)行器上的參考點(diǎn)。

其 中 ：[nx，ny，nz，ox，oy，oz，ax，ay，az，px，py，pz]是一組和關(guān) 節(jié) 變 量[θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6，θ7]有關(guān)的函數(shù)。且在[T07]基礎(chǔ)上建立了機(jī)械手的正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并通過(guò)計(jì)算關(guān)節(jié)角度得到了機(jī)械手末端的姿態(tài)和位置。

2解析機(jī)械臂工作空間

在機(jī)械臂工作空間求解[10]中，手臂腕部位置的工作空間用如公式（5）表示：

[w=pxw（q1，...，q7）pyw（q1，...，q7）pzw（q1，...，q7）qmini≤qi≤qmaxi，i=1，2，...，7]? ? ? ? ? ? ? ?（5）

對(duì)于具有明確設(shè)計(jì)的機(jī)械手，通過(guò)廣義坐標(biāo)[qi]確定工作空間，并能用關(guān)節(jié)變量[θi]定義廣義坐標(biāo)[qi]。

2.1 機(jī)械臂機(jī)器人工具箱建模

依據(jù)建模軟件得出的兩種機(jī)械臂的模型對(duì)比分析圖，可以直接得出：兩種機(jī)械臂結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)上的差異主要在關(guān)節(jié)1位置處和關(guān)節(jié)2位置處。

2.2蒙特卡洛法采樣機(jī)械臂

蒙特卡洛法[11]是一種借助于隨機(jī)抽樣來(lái)進(jìn)行分析數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種數(shù)值方法。該方法會(huì)把某個(gè)隨機(jī)概率函數(shù)模型與需要解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型相結(jié)合，經(jīng)過(guò)仿真計(jì)算可以獲得隨機(jī)解，可以將得到的所有隨機(jī)解近似地認(rèn)為是所需解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的全部解[11]。如下所示步驟為利用蒙特卡洛法來(lái)求解七自由度手臂構(gòu)型的工作空間，分為四步：

1）機(jī)器人正向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型被求解，確定了機(jī)器人末端參考點(diǎn)在坐標(biāo)系中的位置方程。

2）在關(guān)節(jié)變量范圍內(nèi)，利用Rand函數(shù)隨機(jī)求取關(guān)節(jié)變量值。

3）在運(yùn)動(dòng)學(xué)方程中，將步驟2中的關(guān)節(jié)變量替換為末端參考點(diǎn)的空間位置。

4）在三維圖中表示出末端參考點(diǎn)，形成機(jī)械臂工作空間云圖。

3 工作空間性能指標(biāo)

本文采用兩種指標(biāo)來(lái)評(píng)估比較機(jī)械臂的性能指標(biāo)，分別是機(jī)械臂在單位長(zhǎng)度的空間體積以及SLI指標(biāo)。一般情況下，在相同長(zhǎng)度的條件下，機(jī)械手的工作空間體積會(huì)隨著其設(shè)計(jì)的不同而變化。機(jī)械手的長(zhǎng)度變化，工作空間也會(huì)隨之變化。所以，在初期設(shè)計(jì)機(jī)械手的時(shí)候就應(yīng)該采用最優(yōu)構(gòu)型，做到相同長(zhǎng)度條件下，其所能達(dá)到的工作空間體積最大，避免后續(xù)的修改以及棄用，造成不必要的資源浪費(fèi)。SLI是用來(lái)衡量機(jī)械臂柔性的數(shù)據(jù)指標(biāo)，其公式（6） （7）如下所示，定義為：機(jī)械手連桿長(zhǎng)度與臂端空間可達(dá)體積立方根的比值[12]。

[QL=LV3]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（6）

[L=i=1n（ai+di）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（7）

式子（6）中[ai]和[di]分別為連桿長(zhǎng)度以及連桿偏置量; V是機(jī)械手的工作空間體積;L是機(jī)械手連桿總長(zhǎng)度。一般來(lái)說(shuō)，機(jī)械手的設(shè)計(jì)會(huì)隨著[QL]的數(shù)目減小而變優(yōu)。

由于機(jī)械手的長(zhǎng)度直接決定了串聯(lián)機(jī)械手的工作空間，因此不能僅僅以機(jī)械手的工作空間作為衡量機(jī)械手性能的指標(biāo)。本文采用機(jī)械臂在單位長(zhǎng)度上工作空間體積作為評(píng)價(jià)機(jī)械臂工作空間大小的分析指標(biāo)，即：

[E3=vi=1nli]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （8）

其中，n 表示機(jī)械臂連桿的數(shù)目，[li]表示機(jī)械臂第 i 個(gè)連桿的長(zhǎng)度。

4 手臂構(gòu)型3D工作空間對(duì)比分析及仿真

4.1基于仿真軟件的工作空間仿真與分析

新增剖切視圖的分析與研究是很有必要的，因?yàn)閷?duì)于機(jī)械臂的工作空間凡是通過(guò)蒙特卡洛法生成的只能進(jìn)行針對(duì)機(jī)械手工作性能的初步判斷。此外，在以往的研究分析中，大部分工作性能分析都是通過(guò)三維模型圖的外部表面進(jìn)行分析。但是內(nèi)部仍然存在著空腔以及空洞，所以無(wú)法完全判斷其完整的工作性能。

本文通過(guò)使用隨機(jī)函數(shù)序列，在仿真軟件中取隨機(jī)數(shù)N=400000，得到七自由度機(jī)械臂工作空間。

之后在三維軟件中繪制其截面圖如圖7和圖8所示，由圖可得其精密工作空間體積。

4.2指標(biāo)的對(duì)比分析

表3顯示了兩組數(shù)據(jù)的比較結(jié)果，結(jié)合式（6） （7）并且基于SLI[12]指標(biāo)計(jì)算得出了兩種機(jī)械臂的值，由于其手臂在設(shè)計(jì)上的特殊性，本文僅研究臂型的腕部位置，在計(jì)算L值時(shí)會(huì)忽略[d6]。

由表3可得，兩種構(gòu)型在長(zhǎng)度配置相同的條件下，結(jié)構(gòu)Ⅰ的工作空間體積明顯小于結(jié)構(gòu)Ⅱ，且從[QL]值也可得，結(jié)構(gòu)Ⅰ的靈活性是差于結(jié)構(gòu)Ⅱ的，此外結(jié)構(gòu)Ⅱ的單位空間體積遠(yuǎn)大于結(jié)構(gòu)Ⅰ，所以結(jié)構(gòu)Ⅱ是較好構(gòu)型。

5 結(jié)論

本文對(duì)兩種相同長(zhǎng)度但構(gòu)型不同的七自由度機(jī)械手進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，并利用建模軟件進(jìn)行了仿真模擬，獲得其可視化點(diǎn)云圖，最后再通過(guò)各項(xiàng)指標(biāo)對(duì)比分析以及三維空間剖切圖得出，手臂長(zhǎng)度相同構(gòu)型差異情況下，構(gòu)型Ⅱ的單位空間體積大于構(gòu)型Ⅰ，并且構(gòu)型Ⅱ的靈活性優(yōu)于構(gòu)型Ⅰ。本文主要為機(jī)械手的工作空間提供了優(yōu)化分析，旨在改善機(jī)械手結(jié)構(gòu)效率以及增大工作空間達(dá)到最優(yōu)構(gòu)型研究奠定了基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 趙亞川，李慶杰，高世卿，等.一種超冗余機(jī)械臂的工作空間求解方法[J].電子機(jī)械工程，2019，35（6）：61-64.

[2] 劉彥伯.堆垛并聯(lián)機(jī)器人的工作空間分析與設(shè)計(jì)[J].輕工科技，2020，36（12）：37-39.

[3] 柯江巖，林榮川.分揀機(jī)器人復(fù)雜工作空間下靈巧度控制方法[J].集美大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2020，25（6）：461-467.

[4] 葉鵬達(dá)，尤晶晶，仇鑫，等.Stewart衍生型并聯(lián)機(jī)器人的工作空間分析[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與研究，2020，36（4）：47-51，61.

[5] 魯凱，萬(wàn)小金，李清蕾，等.8-SPU并聯(lián)機(jī)器人工作空間分析及參數(shù)優(yōu)化[J].機(jī)床與液壓，2018，46（21）：20-23，42.

[6] 崔建昆，俞佳俊，曹麗亞.3-RRR平面并聯(lián)機(jī)器人全姿態(tài)工作空間及其特性研究[J].機(jī)械傳動(dòng)，2018，42（9）：145-148.

[7] Alebooyeh M，Urbanic R J.Neural network model for identifying workspace，forward and inverse kinematics of the 7-DOF YuMi 14000 ABB collaborative robot[J].IFAC-PapersOnLine，2019，52（10）：176-181.

[8] Milica L，N?stase A，Andrei G.A new insight into the geometric models and workspace volume of the 6RSS manipulator by disjunction of the translational and orientation subspaces[J].Mechanism and Machine Theory，2018，121：804-828.

[9] 王春，韓秋實(shí).六自由度串聯(lián)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)及其工作空間研究[J].組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù)，2020（6）：32-36.

[10] 石磊，許明恒，鄧維鑫，等.PowerCube模塊化機(jī)器人工作空間計(jì)算[J].中國(guó)工程機(jī)械學(xué)報(bào)，2011，9（1）：38-42，58.

[11] 何價(jià)來(lái)，羅金良，宦朋松，等.基于蒙特卡洛法的七自由度擬人機(jī)械臂工作空間分析[J].組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù)，2015（3）：48-51.

[12] 張雷剛.模塊化六自由度機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)研究及其連桿尺寸優(yōu)化[D].淮南：安徽理工大學(xué)，2017.

[13] 李憲華，張雷剛，疏楊，等.六自由度模塊化機(jī)械臂腕部工作空間量化對(duì)比分析[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究，2017，34（9）：2666-2669.

【通聯(lián)編輯：唐一東】