參數可調的聯合子空間目標檢測方法 *

高永嬋, 潘麗燕, 王 揚, 毛琳琳

(1. 西安電子科技大學， 陜西西安 710071； 2. 北京航天新立科技有限公司， 北京 100089；3. 中國科學院聲學研究所， 北京 100089)

0 引言

目標檢測是雷達的基本任務之一，在過去的幾十年間，自適應目標檢測引起了學者的廣泛關注并得到了深入研究[1-6]。傳統的目標檢測器假定目標的導向矢量已知，將目標建模為來自秩一空間的信號，但是這種信號模型沒有考慮導向矢量失配的情形，即可能出現名義導向矢量與實際導向矢量不匹配，大大降低了目標檢測性能。為了克服導向矢量失配所帶來的影響，一系列的子空間目標檢測器[7-13]被陸續提出，這種子空間目標檢測器假定目標信號來自一個已知的子空間，但是坐標未知，通過將信號建模為多秩子空間信號來設計檢測器以實現導向矢量未知條件下的自適應目標檢測。文獻[7]基于子空間信號模型提出了針對距離擴展目標的反對稱檢測器，并通過實測數據驗證了其在小訓練樣本條件下的優越檢測性能。文獻[8]提出了有色高斯噪聲環境中的子空間目標檢測器，該檢測器可以抑制子空間干擾，并且在訓練樣本數受限的條件下仍能保持較優的檢測性能。

上述的子空間目標檢測器均假定目標來自一個低秩多維子空間，然而在實際的目標檢測場景中，回波數據往往是通過不同模式之間的切換而生成的多元信號，此時子空間模型并不能對其進行較為準確的描述。文獻[14]提出了一種聯合子空間模型，這種模型假定目標信號來自一個多子空間的聯合，可以更好地模擬實際目標檢測場景中所接收的多元回波信號。在近幾年中，基于聯合子空間的目標檢測方法得到了廣泛關注[15-19]，文獻[15]通過結合最大后驗和奈曼-皮爾遜準則實現對不同類別的目標進行預分類。文獻[16]提出了壓縮感知框架下的信號檢測問題，利用LASSO實現多元信號檢測，但是該文獻并沒有對各個子空間的幾何關系進行深入分析。文獻[17]深入研究了聯合子空間模型下的目標檢測問題，基于GLRT[20]準則提出了一種聯合子空間檢測算法，推導出了子空間分類概率的邊界，并且研究了二元檢驗與多元檢驗之間的關系。

注意到，現存的目標檢測器也僅有基于GLRT準則的聯合子空間檢測器，并且其檢測性能與選擇性均無法調節。為此，基于Rao和Wald準則，我們首先推導了兩種聯合子空間檢測器[5](UoS-Rao、UoS-Wald)，然后通過引入可調參數，提出一種可調檢測器(UoS-Tunable)，從而實現對檢測器的檢測性能和選擇性的靈活控制。所提的檢測器能夠有效實現聯合子空間目標檢測，并且可以通過調節參數來靈活調節可調檢測器的檢測性能、分類性能與選擇性，具體為調小參數可以提高檢測器的檢測性能與分類性能，并會提高其對信號失配的魯棒性；調大參數則會降低檢測器的檢測性能與分類性能，但會提高其對于信號失配的選擇性。最后，仿真實驗驗證了所提方法的有效性。

1 信號建模

假設雷達在一個相參處理時間(CPI)內發射N個脈沖，將雷達所接收回波中的待測數據記為x∈CN，訓練樣本數據記為xp,p=1,…,N0，其中，xp的均值為零，且其協方差矩陣為M，N0表示所利用的訓練樣本數。當待測數據中不存在感興趣的目標信號時，可以將待測數據表示為x=n，其中n～CN(0,σ2M)為所接收到的噪聲信號，σ2表示功率失配因子；當待測數據中存在目標信號時，可以表示為x=s+n，在本文中，假定所接收的目標信號s來自多個子空間的聯合，利用K0個不同的子空間Sk,k=1,…,K0分別對應多元目標信號的不同特性。此時，子空間聯合的目標檢測問題可以建模為

(1)

式中，np為待測數據周圍距離單元的訓練樣本，假設檢驗H0表示待測數據中不包含目標信號，假設檢驗H1表示待測數據中包含來自聯合子空間的目標信號，而假設檢驗Hk不僅表明待測數據中存在目標信號，還代表該目標信號來自聯合子空間中的第k個子空間。在下文中，將目標信號詳細記作s=Hkαk，其中，Hk∈CN×q表示子空間矩陣，αk∈Cq×1為對應的坐標，q為多普勒頻率數。

2 檢測器設計

本節針對檢測模型(式(1))，首先基于Rao和Wald準則推導出聯合子空間檢測器(UoS-Rao、UoS-Wald)，然后通過引入可調參數，最終設計出一個可調聯合子空間檢測器(UoS-Tunable)，并推導出其檢測統計量和分類統計量的邊界。

Rao檢驗一般可以用下式表示[21]：

(2)

(3)

式中，exp(·)表示指數函數，(·)H表示共軛轉置操作，|·|表示矩陣的行列式。

經過推導計算(略)，可得基于Rao準則的檢驗為

(4)

Wald檢驗一般可以用下式表示[22]：

(5)

(HHM-1H)-1HHM-1x

(6)

經過推導計算(略)，可得基于Wald準則的檢驗為

(7)

(8)

(9)

相應地，聯合子空間下的Wald檢驗(UoS-Wald)為

(10)

通過比較式(4)和式(10)，我們引入一個可調參數γ，設計一個可調聯合子空間檢測器(UoS-Tunable)，從而實現聯合子空間目標檢測性能的靈活調節，即

(11)

其中，可調參數范圍為γ≥0，根據系統設計需要，通過調節參數，參數可調檢測器可實現對信號的靈活檢測。值得指出的是，式(11)可看作聯合子空間檢測器族，而非單一的檢測器。當可調參數γ=0時，可調檢測器退化為UoS-Rao檢測器；當可調參數γ=1時，可調檢測器退化為UoS-Wald檢測器。

在檢測到目標存在的基礎上，還需要將目標正確歸類至相應的子空間，此時就需要求得所提檢測器的分類統計量。分類階段可以概括為：首先檢測到待測數據中存在目標信號，然后對待測數據進行處理，將目標信號分類至檢測統計量最大值所在的子空間。因此，可調聯合子空間檢測器的分類概率下邊界可表示為

(K0-1)}

(12)

3 仿真分析

本節采用蒙特卡洛仿真實驗評估所提可調檢測器的檢測性能、分類性能，以及其在分類階段的選擇性。首先分別考察檢測器在不同虛警概率下和不同信噪比下的檢測概率和分類概率，然后改變名義導向矢量與實際導向矢量的失配程度，考察檢測器的分類概率對不同失配條件的敏感性，用以反映檢測器的選擇性能。在蒙特卡洛仿真實驗中，若無特別說明，仿真參數設置為：脈沖數m=4，訓練樣本數N0=200，信噪比SNR=10 dB，一階遲滯系數ρ=0.9。

圖1給出了不同可調參數下可調檢測器與Rao和Wald檢測器的檢測概率與虛警概率的關系曲線。從圖中可以看出，隨著虛警概率的增加，檢測閾值下降，檢測器的檢測概率均有一定程度的提高，且Rao檢測器的檢測概率高于Wald檢測器。調節可調檢測器的參數，當參數γ為0時，可調檢測器具有與Rao檢測器相同的檢測概率；當參數γ為1時，可調檢測器具有與Wald檢測器相同的檢測概率；當參數在0至1之間改變時，可調檢測器的檢測性能在Rao和Wald檢測器之間變化，其中大參數對應低檢測性能，小參數對應高檢測性能。

(a) γ=0

(b) γ=1

(c) γ=0.3

(d) γ=0.5

(e) γ=0.7圖1 可調檢測器在不同參數下的檢測概率與虛警概率的關系曲線

圖2給出了可調檢測器與Rao和Wald檢測器的檢測概率與信噪比的曲線。從圖中可以看出，隨著信噪比的提高，所對比的檢測器的檢測性能都得到提升，且Rao檢測器的檢測性能優于Wald檢測器。在可調檢測器的參數變化時，得到的結論與圖1相近，即通過調節可調檢測器的參數可以實現Rao和Wald的檢測概率之間的轉換，其中，參數越小，其檢測性能越低，參數越大，檢測性能越高。

(a) γ=0

(b) γ=1

(c) γ=0.3

(d) γ=0.5

(e) γ=0.7圖2 可調檢測器在不同參數下的檢測概率與信噪比的關系曲線

(a) γ=0

(b) γ=1

(c) γ=0.3

(d) γ=0.5

(e) γ=0.7圖3 可調檢測器在不同參數下的分類概率與虛警概率的關系曲線

(a) γ=0

(b) γ=1

(c) γ=0.3

(d) γ=0.5

(e) γ=0.7圖4 可調檢測器在不同參數下的分類概率與信噪比的關系曲線

圖3與圖4給出了檢測器的分類性能，其中圖3為檢測器的分類概率與虛警概率的關系曲線，圖4為檢測器的分類概率與信噪比的關系曲線，從圖中可以看出，Rao檢測器的分類概率高于Wald檢測器，并且得到與圖1、圖2相近的結論，即可調檢測器可以通過改變參數實現Rao和Wald檢測器之間的分類性能轉換，其中，大參數對應低分類性能，小參數對應高分類性能。

(a) Rao

(b) Wald

(c) 可調檢測器γ=0.5圖5 分類概率等高線圖

圖5給出了Rao、Wald與可調參數γ=0.5時的可調檢測器的分類概率的等高線圖。從圖中可以看出，在相同的信噪比下，Rao檢測器的檢測概率高于Wald檢測器，但是Wald檢測器具有更好的選擇性，即Wald檢測器的檢測概率對失配程度cos2θ更加敏感。此外，可調檢測器則可以通過調節參數來改變檢測器的選擇性，如圖5(c)給出了參數γ=0.5時的可調檢測器的分類概率等高線圖，可以看出此時可調檢測器的選擇性位于Rao和Wald檢測器之間，其選擇性的改變在圖6中得到更清晰的展示。

(a) γ=0

(b) γ=1

(c) γ=0.3

(d) γ=0.5

(e) γ=0.7圖6 可調檢測器在不同參數下的分類概率與失配程度的關系曲線

圖6給出了在信噪比固定的情況下，檢測器的分類概率與失配程度的關系曲線。從圖中可以更直觀地看出，Rao檢測器的分類概率高于Wald檢測器，但是其選擇性不如Wald檢測器，而可調檢測器通過調節參數，可以實現選擇性的靈活改變，其中大參數對應更優的選擇性，小參數對應更優的魯棒性。

4 結束語

針對聯合子空間信號檢測問題，本文分別基于Rao和Wald檢驗準則推導了UoS-Rao和UoS-Wald檢測器，通過引入可調參數，設計出一個可調聯合子空間檢測器(UoS-Tunable)，并分別推導出其檢測統計量和分類統計量的邊界。所提檢測器能夠有效實現聯合子空間目標檢測，并且所提可調聯合子空間檢測器可以通過改變參數來靈活調節檢測器的檢測性能、分類性能與選擇性，具體為當可調參數較小時，可以提高檢測器的檢測性能與分類性能，并會提高其對信號失配的魯棒性；當可調參數較大時，則會降低檢測器的檢測性能與分類性能，但會提高其對于信號失配的選擇性。最后，仿真實驗驗證了所提方法的有效性。