蠟燭火焰振蕩耦合現象淺析

尚 軍，婁文博，蘇青青

(1.河南師范大學 a.物理學院；b.物理學國家級實驗教學示范中心，河南 新鄉 453007；2.新鄉市誠城卓人學校，河南 新鄉 453006)

燃燒振蕩會產生巨大的壓力擾動，如果這種燃燒振蕩發生在發動機上會破壞燃燒器. 燃燒振蕩器是非線性振蕩器的簡單系統，其中蠟燭燃燒振蕩現象已經被人們所熟知. 已經有文獻對蠟燭的振蕩原因進行了探究，并提出了積雨云和渦流原理解釋蠟燭火焰振蕩的機制[1-2]，另外,研究還表明火焰的振蕩模式也有所不同，例如“旋轉模式”“終結模式”“同相振蕩模式”和“部分同相模式”等，并利用熱像儀觀察到熱空氣上升過程中出現的分叉和旋轉的現象，利用層流和湍流可以對該現象進行解釋. 目前，人們對不同粗細蠟燭火焰的耦合情況研究較少，因此本文以直徑為1.40 cm和1.00 cm的蠟燭為研究對象，通過建立模型、實驗分析，探究了距離對蠟燭火焰振蕩耦合的影響，以及燃燒系統中的耦合行為.

1 構建模型

火焰振蕩是指火焰在最大值和最小值之間隨時間做周期性重復變化的現象. 排除外界空氣的擾動，若點燃單支以上的蠟燭且彼此間距離較小時，將會出現火焰振蕩耦合的現象[3]. 這是由于蠟燭燃燒消耗了周圍的氧氣，使得周圍空氣流動不均勻形成了渦流[4]. 所謂耦合指2個或2個以上的體系通過彼此間的相互作用而相互影響的現象. 由于火焰周圍空氣流動速度的空間不均勻性，導致火焰外側形成環形渦流，渦流垂直拉伸火焰，形成分離的焰團. 當2個振蕩器的火焰尖端周期性地產生分離的焰團時，便出現了振蕩耦合的現象. 若點燃的蠟燭數量較少，周圍的氧氣足以維持蠟燭的燃燒，空氣流動較為恒定，則較難形成使蠟燭火焰出現振蕩的渦流.

基于以上分析，構建了如圖1所示的由3支蠟燭緊湊排列的單個振蕩器模型，探究了2個振蕩器的火焰耦合情況(這2個振蕩器均基于該模型)，并認為每個振蕩器中3支蠟燭火焰的振蕩是相同的，探究不同距離條件下，2組振蕩器火焰的振蕩情況.

圖1 3支蠟燭緊湊排列的單個振蕩器模型圖

2 理論分析

2.1 構建數學模型

2.1.1 單個振蕩器系統

蠟燭燃燒時，由于消耗氧氣引起了周圍空氣的不均勻流動而形成渦流，從而引起火焰振蕩現象，由此，氧氣的燃燒消耗和氣體流動的供給是引起耦合的重要因素. 先做3點假設[5-6]：

1)石蠟熔化后汽化與氧氣發生反應；

2)石蠟供應充足，并且氧氣以恒定速率持續供應；

3)氧氣從無限遠處輸送給蠟燭，并且熱量以對流方式流失.

根據能量守恒可得到非線性振蕩器的燃燒方程為

(1)

(2)

式(1)描述了能量守恒，C為系統的熱容，T為火焰溫度，t為蠟燭燃燒的時間，ω1為特征時間尺度，h為與熱傳導有關的比例系數，T0為外部環境溫度，β為比例因子，a為燃料供給率，n為振蕩器火焰中的氧氣濃度，E為化學活化勢壘，R為理想氣體常量，σ為熱輻射系數.方程右邊分別對應由于氣體流動而損失的熱量、燃燒產生的熱量和由于熱輻射損失的熱量.燃燒產熱率取決于由化學活化勢壘E控制的玻耳茲曼因子，其與氧濃度和燃料供給率成線性關系.式(2)描述了氧平衡，ω2表示特征頻率，k是比例系數，n0表示外部環境中的氧氣濃度.方程右邊分別對應氣體流動帶來的氧氣和燃燒消耗的氧氣.

2.1.2 2個振蕩器組成的振蕩系統

熱輻射是2個振蕩器之間相互耦合的主要因素[7]，故熱輻射項是耦合項，而且振蕩器間的耦合還與距離有關，對于在距離x處的2個相同的振蕩器i≠j∈{1,2}，耦合寫成:

(3)

(4)

其中，Ti表示第i個振蕩器火焰的溫度，ni表示第i個振蕩器火焰中的氧氣濃度，μ是與距離有關的耦合項比例系數.

為了更方便找到影響蠟燭耦合的變量和判斷這些變量對耦合強度的影響.對式(3)和式(4)進行無量綱化：

得到無量綱化后的2個振蕩器的耦合方程為

(5)

(6)

2.2 構建重疊峰模型

為進一步探究隨距離增加振蕩器火焰耦合是同步還是異步，本文構建了重疊峰模型[8].假設蠟燭燃燒時，火焰最低時為最小輻射，火焰最高時為最大輻射，則蠟燭燃燒時將有如圖2所示的輻射范圍.

圖2 單支蠟燭的輻射范圍

隨著2組振蕩器(每個振蕩器由3支蠟燭組成)間的距離增加，火焰所產生的輻射范圍的耦合情況也有所變化，如圖3所示.紅線L1表示火焰高度最高時的最大輻射，黑線L2表示火焰高度最低時的最小輻射.紅色區域S1表示2組振蕩器最大輻射之間的耦合區域，藍色區域S2表示1組振蕩器的最小輻射和另外1組振蕩器的最大輻射之間的耦合區域，黑色區域S3表示2組振蕩器最小輻射之間的耦合區域.對于2組振蕩器，隨著距離的變化火焰耦合時對應以下3種情況：

1)當距離較小時，2組蠟燭L1之間和L2之間均有重疊的區域S1和S3，此時2組振蕩器的蠟燭火焰表現為同高同低，即同相同步，如圖3(a)所示；

2)當距離增大時，2組蠟燭L2之間沒有重疊的區域，但L1與L2之間有重疊區域S2，此時2組蠟燭的火焰表現為一高一低，即反相同步，如圖3(b)所示；

3)當距離繼續增大時，2組蠟燭僅L1之間有重疊區域S1，其他均無重疊區域，此時2組蠟燭不能耦合，即不相干，如圖3(c)所示.

(a)同相同步

結合理論分析和重疊峰模型可得：隨著振蕩器之間的距離增加，火焰將依次出現同相同步(同步)耦合、反相同步(異步)耦合和不相干的現象.

3 實驗探究

實驗儀器：直徑分別為1.00 cm和1.40 cm的蠟燭(若干)、打火機、剪刀、量尺、馬克筆(用來定標)、手機(錄像)、坐標墊.

3.1 實驗設計

實驗在密閉房間內進行，以降低外界空氣流動的影響. 采用控制變量法，測量不同距離下2組振蕩器火焰的振蕩情況，如圖4所示. 先測量直徑為1.40 cm的蠟燭所組成的振蕩器火焰的耦合情況. 2組振蕩器之間的距離變化范圍為1.5～10 cm,每次變化0.5 cm. 常溫常壓下點燃蠟燭，火焰振蕩相對穩定時，錄制視頻，利用Tracker軟件對視頻進行分析處理，通過追蹤火焰頂端的位置，得出2組振蕩器火焰高度隨時間的變化，如圖5所示. 再利用Origin軟件進行圖像處理.

圖4 2組振蕩器火焰耦合

圖5 利用Tracker軟件對視頻進行分析處理

為進一步探究燃料供給率對耦合的影響. 選取直徑為1.00 cm的蠟燭若干(蠟燭直徑不同，燃料供給率不同)，測量由這些蠟燭所組成的振蕩器火焰的耦合情況.

3.2 實驗結果

3.2.1 直徑為1.40 cm的蠟燭組成的振蕩器

在常溫常壓下，對于由直徑為1.40 cm的蠟燭所組成的振蕩器，當2組振蕩器距離x≤3.5 cm時，2組振蕩器耦合同步，如圖6(a)所示. 當3.5 cm9.5 cm時，此時振蕩器之間的火焰振蕩沒有明顯的規律性，即2組振蕩器不相干，如圖6(d)所示.

(a) 同步耦合(x≤3.5 cm)

3.2.2 直徑為1.00 cm的蠟燭組成的振蕩器

在常溫常壓下，對于由直徑為1.00 cm的蠟燭所組成的振蕩器，當距離x≤2.5 cm時， 2組振蕩器的火焰高度同時出現最高和最低，此時振蕩器之間為同步耦合，如圖7(a)所示. 當2.5 cm8.5 cm時，2組振蕩器之間的火焰振蕩沒有相關性，因此在該范圍內，2組振蕩器不相干，如圖7(d)所示.

(a)同步耦合(x≤2.5 cm)

綜上分析，距離是影響耦合的關鍵因素. 隨著距離的增加，2組振蕩器之間的火焰振蕩依次出現同步、異步和不相干的現象. 蠟燭直徑不同，對應燃料供給率不同，從而導致振蕩器之間的耦合情況也不同，如表1所示. A表示由直徑為1.40 cm的蠟燭組成的振蕩器系統，B表示由直徑為1.00 cm的蠟燭組成的振蕩器系統. 從表1可看出，B的火焰振蕩之間的同步耦合和過渡階段的范圍比A的范圍小，但異步范圍有所增加，這是因為蠟燭越細，最小輻射和最大輻射都將減小，由于最小輻射本身較小，因此減小的更為明顯. 根據重疊峰模型，對于較細的蠟燭會更早進入異步耦合階段. 由于A和B的蠟燭燃料供給率不同，從而導致耦合范圍不同. 隨著距離的增加，A和B依次出現同步耦合、異步耦合和不相干的范圍也有所不同.

表1 振蕩器A和B的耦合情況與距離的關系

4 結 論

實驗探究了直徑為1.40 cm和1.00 cm的蠟燭在不同距離下火焰的耦合情況，發現距離是影響耦合方式的主要因素，且直徑為1.40 cm蠟燭的同步耦合范圍比直徑為1.00 cm蠟燭的同步耦合范圍更大. 對于2種不同直徑的蠟燭所組成的振蕩器，隨著距離的增大，耦合情況均依次出現同步、過渡階段、異步和不相干. 這是由于蠟燭直徑不同，燃料的供給率不同，直徑小的蠟燭，其燃料供給率小，耦合范圍也較小. 實驗結果與渦流原理、氧氣消耗原理及本文所建立的數學模型和重疊峰模型符合較好. 對比不同直徑蠟燭組成的非線性振蕩器系統發現，在一定距離范圍內，蠟燭火焰均發生振蕩耦合. 因此在生產生活中，可通過調節振蕩器之間的距離控制燃燒所產生的振蕩.