貧信息背景下基于矩域灰點排序的灰FMECA模型

李志遠, 劉思峰, 方志耕, 夏悅馨

(南京航空航天大學經濟與管理學院, 江蘇 南京 210016)

0 引 言

故障模式、影響和危害性分析(failure mode, effects and criticality analysis,FMECA)是一種預防性的可靠性分析技術,被廣泛應用于航空航天[1-2]、汽車[3-4]、船舶[5]等領域。其以系統中所有的潛在故障模式為基礎,分析每個故障模式所對應的影響、發生可能性,并確定其危害性。依據危害性大小排序,可以找出系統中的薄弱環節,進而有針對性地實施補救。FMECA包括故障模式及影響分析(failure mode and effects analysis, FMEA)和危害性分析(criticality analysis, CA)兩個部分[6]。常用的CA方法有風險優先數法(risk priority number, RPN)和危害性矩陣法兩種。RPN法主要應用于汽車工業領域,其危害度計算方法即發生度(O)、嚴重度(S)及不可探測度(D)3項指標相乘[7]。危害性矩陣法常用于航天工業中,是通過繪制危害性矩陣圖來進行定量CA或定性CA。

總結上述文獻,目前關于改進FMECA方面的研究,主要是以解決語義模糊性和尋求多屬性科學決策的角度為出發點,而對于貧信息背景下相關的FMECA研究尚未出現。事實上,由于試驗樣本費用高、研制方案篩選難度大等因素,貧信息問題在復雜裝備可靠性領域是常見的[23]。貧信息背景具備兩大特點:數據量少、信息不準確[24-25],在工程中具體代表產品有運載火箭、航母和飛機等。FMECA作為主要應用于設計階段的可靠性分析方法,特別是當一個全新的復雜產品在初次設計時,很難有類似的歷史信息作為參考。專家在此類情景下,往往難以對故障信息做出客觀判斷。而目前學者利用模糊語言進行的語義處理,是建立在專家已有客觀判斷的基礎上進行的,并不能解決數據源信息缺失的難題。因此,針對貧信息背景下的FMECA研究具有重要的理論意義和現實意義。

考慮到貧信息背景對定量危害性矩陣法影響較大,本文重點關注定量危害性矩陣圖法的FMECA改進研究。為改進傳統危害性矩陣圖的缺陷,設計新的規范化危害性矩陣圖進行CA分析;針對貧信息背景特點,在危害度計算中引入區間灰數,并提出矩域灰點概念,分析矩域灰點的一般排序規則,以此建立適用于貧信息背景下的灰FMECA模型。

1 危害性矩陣圖規范化改進設計

應用FMECA的流程一般包括系統定義、故障模式分析、故障原因分析、故障影響及嚴酷度分析、故障檢測方法分析、改進措施設計分析、CA和生成FMECA報告等8大步驟,前6步也屬于FMEA內容。由于不涉及計算,貧信息對FMEA影響不大,因此前6步基本不變。本節首先探討CA中危害性矩陣圖存在的問題及改進策略,后續探討基于改進的危害性矩陣圖故障模式危害性的灰色表征及排序方法。

在傳統定量危害性矩陣圖中,對故障模式所處點往危害性矩陣圖45°斜對角線引垂線,通過比較垂足至原點的距離來確定故障模式或產品的改進優先次序。有文獻指出其存在下列問題[19]:① 橫坐標嚴酷度級別沒有量化,不能精確標識。② 橫縱兩軸指標數值意義不同,手工作圖對危害度排序存在誤差影響。

圖1 定量危害性矩陣作圖誤差示意圖Fig.1 Schematic diagram of mapping error of quantitative criticality matrix

圖2 定量危害性矩陣解析圖Fig.2 Graphical analysis of quantitative criticality matrix

(1)

由此可見,定量危害性矩陣法得到的危害度實際上正比于故障模式點M(x,y)橫縱坐標的簡單加和。此處加和是圖紙上長度的加和,在實際繪制中受繪圖比例影響較大,極易造成偏差。其次,定量危害性矩陣法的實質是按繪圖比例將嚴酷度級別和危害度求和,兩者單位并不相同,這樣求和嚴格而言不符合量綱法則。

本文提出一種規范化的定量危害性矩陣圖。首先處理量綱不一致問題,通過將序列中每個危害度數值與序列最大危害度數值相除,消去量綱。對量化后的橫坐標嚴酷度級別進行同樣的處理,控制最嚴重的嚴酷度級別的量化值始終是1。此時定量危害性矩陣圖的橫縱軸上均是介于0和1之間的無量綱數據。

定理 1在定量危害性矩陣圖中,將序列中每個危害度數值與序列最大危害度數值相除,不會改變故障模式危害度之間的大小排序順序。

證明設有故障模式危害度序列{Cm1,Cm2,…,Cmn},將其從小到大進行排序得{Cmin,Cmi,Cmj，…,Cmax}。將序列中每個危害度數值與序列最大危害度數值相除后得新序列{Cmin/Cmax,Cmi/Cmax,Cmj/Cmax，…,1},仍滿足Cmin/Cmax≤Cmi/Cmax≤Cmj/Cmax≤…≤1,順序不變。

證畢

其次解決受繪圖比例影響問題,考慮到定量危害性矩陣法的實質是按繪圖比例將嚴酷度級別和危害度求和,因此可設置求和的權重系數,依據權重系數確定繪圖比例。

定義 1在某一產品的FMECA分析中,稱消除量綱后的危害度相對于嚴酷度的重要性比為危害度權重比kw。

危害度權重比kw體現了該產品FMECA分析人員對危害度指標的重視程度,kw越大,表示越重視危害度指標,即越重視故障頻數比α、故障影響概率β等危害發生概率性的指標;反之kw越小,表示越重視嚴酷度指標,即更加看重故障發生所造成的后果有多嚴重。對于不同類型產品、不同結構的系統,應選用適合的危害度權重比kw。因此規范化后的定量危害性矩陣圖如圖3所示,選取基礎作圖比例為橫軸∶縱軸=1∶1,即兩者均取一個繪圖長度單位1U,再依據實際情況將縱軸擴張kw倍,即縱軸取kw個繪圖長度單位kwU。每個故障模式的坐標均可依據所處位置得到,表示為M(x,y)=(xU,ykwU),其中0≤x,y≤1。

圖3 規范化的定量危害性矩陣Fig.3 Standardized quantitative criticality matrix

2 貧信息背景下灰FMECA模型

2.1 基于區間灰數的危害度計算

CA需計算每個故障模式的危害度和產品的危害度,并對故障模式和產品分別進行危害度排序,以找出系統薄弱點。貧信息背景下故障信息少,應充分利用歷史故障信息來幫助完成FMECA工作。參照文獻[26]方法按系統層次提取相同或相似歷史故障模式信息,包括故障模式影響概率、故障模式頻數比和失效率。由于貧信息系統內外擾動因素的存在和小樣本本身的偶然性局限,這些歷史故障信息不能完全代表當前的故障模式,因此由專家參考歷史故障信息,估算出故障參數的大致取值范圍。對危害度計算引入區間灰數,以表達故障參數只知大致范圍而不知確切取值的情形。

如在第j個故障模式的分析中缺乏故障模式影響概率數據βj,經參考同類歷史故障模式后,由專家確定βj的大致范圍在a～b之間,則記作:灰數βj(?)∈[a,b]。其余同理,故第j個故障模式的危害度計算如下:

Cmj(?)=αj(?)βj(?)λp(?)t

(2)

式中:j=1,2,…,n,n為產品所有的故障模式總數;αj(?)為產品第j種故障模式的頻數比;βj(?)為第j種故障模式發生導致既定嚴酷度級別的條件概率,一般由工程經驗獲得[27];λp(?)為產品在任務時間內的失效率;t為產品的任務時間。

產品危害計算如下:

(3)

使用區間灰數表征故障參數時,求得的危害度是由故障模式頻數比、失效率等一系列區間灰數組成的映射關系集合,為了求得危害度的最終范圍,可根據文獻[28]提出的灰數全局優化算法求解危害度的最值,求解規劃模型為

(4)

定理 2式(4)中規劃模型的解在各區間灰數端點處取得,對應的解為

minCmj=Cmj(a1,a2,a3)
maxCmj=Cmj(b1,b2,b3)

證明依次將αj,βj,λp看作有取值范圍的變量求偏導,由于三者不相關,所以

即目標函數關于三者均遞增,于是當區間灰數為端點值時,式(4)中規劃模型獲得最優解。

證畢

2.2 基于矩域灰點排序規則的故障改進次序

前面給出了貧信息背景下的危害度計算方法,繪制規范化的定量危害性矩陣圖可進一步得到每個故障模式或產品所處的位置,本節需要按位置對故障模式或產品進行排序,以確定相應的改進優先次序。

貧信息情形的危害度數值不是確切的數,同樣嚴酷度級別也可能難以知其確切值,兩者均用區間灰數表示。于是在繪制的危害性矩陣圖中,故障模式不再是以一個點呈現,而是矩形區域內的一個未知點,該矩形代表了故障模式點所有可能處在的位置。為了探究此類情況的CA,提出“矩域灰點”的定義。

定義 2設平面直角坐標系內存在一個具體位置不確定的點,其橫坐標和縱坐標分別介于區間[a,b]和區間[c,d]之間,且兩者取值獨立,則稱其為矩域{(x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d}內的矩域灰點,記作Θ∈([a,b],[c,d])。進一步,對應的橫坐標用區間灰數?1∈[a,b]表示,縱坐標用區間灰數?2∈[c,d]表示,則矩域灰點Θ簡記為Θ∈(?1,?2)。

矩域灰點的本質仍是一個點,其橫縱坐標可能的上下界限確定,且橫縱坐標取值相互獨立,是用以表達只知可能所處的矩形區域而不知其確切位置的點。

2.2.1 有相同歷史故障信息情形的排序

當存在相同歷史故障信息,取相同歷史故障參數的平均值作為矩域灰點的實核點。此類情況故障模式在危害性矩陣圖中以已知實核點的矩域灰點呈現。在該矩域內,故障模式最可能處在實核點的附近,但也可能處在矩域內其他任意位置,這是典型的不確定條件下的排序問題。而FMECA分析進行危害性排序的最終目的是選擇危害性靠前的故障模式或產品進行優先改進,實際上也是一個決策問題。張元[29]指出不確定條件下的決策不存在一個通用的普適性標準,目前最理想的做法是根據不同環境選取不同準則。因此排序規則需考慮不同產品分析人員的心理標準和產品特性。

基于已知實核點的情形,在對矩域灰點排序時,可遵照下列規則。

規則 1若矩域灰點Θi的實核點相較于矩域灰點Θj的實核點在效用方向上的投影點更靠近效用方向的終端,則矩域灰點Θi優于矩域灰點Θj,記ΘifΘj;

規則 2若兩者投影點重合時,則采用不確定型決策方法討論。

(5)

圖4 實核點投影不同的矩域灰點排序Fig.4 Sorting of grey points in rectangular region with different solid kernel point projections

定義 6超額可能效用區域內所有點對期望效用點的效用差之和稱為超額可能效用。

超額可能效用的含義是決策者可能獲得超過期望效用值的那部分效用,是超出心理預期的額外可能所得。依據定義6,可求得超額可能效用區域Mi的超額可能效用為

(6)

相反地,考慮決策者可能獲得少于期望效用值的那部分效用,類似引出差額可能效用相關定義。

定義 8期望效用點對差額可能效用區域內所有點的效用差之和稱為差額可能效用。計算式為

(7)

對規則2情形進行分析,如圖5所示,持樂觀準則的決策者更傾向于超額可能效用更高的選擇,所以當

?ΜiΔUdxdy>?ΜjΔUdxdy

(8)

有ΘifΘj。當

?NiΔUdxdy>?NjΔUdxdy

(9)

成立時，持悲觀準則的決策者認為ΘifΘj。

取樂觀系數α,當

α?ΜiΔUdxdy+(1-α)?NiΔUdxdy>

α?ΜjΔUdxdy+(1-α)?NjΔUdxdy

(10)

持折中準則的決策者認為ΘifΘj。

圖5 實核點投影相同時的矩域灰點排序Fig.5 Sorting of grey points in rectangular region with same solid kernel point projections

回到CA中,由于危害性矩陣圖的危害性是負面效用,因此正向效用方向應取45°斜對角的反方向,即θ=5π/4,再根據式(5)～式(10)可得到故障模式或產品的危害性大小排序。

2.2.2 無相同歷史故障信息情形的排序

當無相同故障信息作為參考時,需充分利用相似故障信息。由專家選定相似歷史故障信息并提取相應故障參數。由于相似歷史故障信息不能等同于被分析故障對象,因此此時故障信息無客觀信息支撐,故障模式在危害性矩陣圖上以虛核矩域灰點的形態呈現。類似地,同第2.2.1節中規則,由于核點是矩域灰點的位置代表,所以優先比較核點的效用值,若核點效用值相同則繼續按不確定型決策方法討論。當無相同故障信息時所謂的核點,是人們假想的平均化的位置點,并非客觀事實所得,故而稱之為虛核點。在沒有足夠可信的信息依靠時,決策者不存在心理上的期望效用值,因此也不存在超額效用。秉持“以防萬一”的思想,對矩域灰點排序考慮下列極端情況。

虛核點在正效用方向上投影相同時,無分布信息的矩域灰點在二維空間中沿某一效用遞增方向的排序規則推導如圖6所示。

圖6 虛核點投影相同的矩域灰點排序Fig.6 Sorting of grey points in rectangular region with samevirtual kernel point projections

(11)

(12)

同理,若決策者持樂觀準則,往往會考慮最好的情況,即最大的效用可能點。于是類似地可以得出樂觀決策者對矩域灰點Θi和Θj的排序規則:

(13)

當L0>0時，稱矩域灰點Θi優于矩域灰點Θj。

若決策者持折中準則,則取樂觀系數α,可得折中決策者對矩域灰點Θi和Θj的排序規則:

Lh=αLo+(1-α)Lp

(14)

當Lh>0時，稱矩域灰點Θi優于矩域灰點Θj。

在本文CA中,由于危害性矩陣圖的危害性是負面效用,因此正向效用方向應取45°斜對角的反方向,即θ=5π/4,再根據式(12)～式(14)可得到故障模式或產品的危害性大小排序。

2.2.3 混合故障信息類型情形的排序

混合故障信息類型的危害性排序包括3種情況:有相同信息-無相同信息、有相同信息-確定信息、無相同信息-確定信息。其在危害性矩陣圖中對應的形式是:含實核點的矩域灰點-含虛核點的矩域灰點、含實核點的矩域灰點-確定點、含虛核點的矩域灰點-確定點。同樣地,優先對核點進行排序比較,因為核點是矩域灰點的位置代表。確定點則可以看作核點是該點的一類白點。若核點在效用方向上的投影重合,則仍采用不確定型決策方法討論。

對于有相同信息-無相同信息情形,如圖7所示,矩域灰點Θi含實核點,而矩域灰點Θj含虛核點。考慮到實核點是以客觀信息為依據的期望位置點,而虛核點是假想點,矩域灰點Θj的期望位置點并不一定處于虛核點處,而是可能位于矩域內的任何位置。因此分3種情況討論:若決策者持樂觀準則,認為矩域灰點Θj的期望位置點的效用值大于矩域灰點Θi的實核點效用值,則ΘjfΘi;若決策者持悲觀準則,認為矩域灰點Θj的期望位置點的效用值小于矩域灰點Θi的實核點效用值,則ΘifΘj;若決策者持折中準則,認為矩域灰點Θj的最可能位置點的效用值與矩域灰點Θi的實核點效用值差不多,則需進一步考慮實核矩域灰點的超額可能效用和差額可能效用。顯然,圖7中Θi的差額可能效用比超額可能效用大,所以ΘipΘj。

圖7 實核點-虛核點投影相同時的矩域灰點排序Fig.7 Sorting of grey points in rectangular region with same solid kernel point and virtual kernel point projections respectively

對于有(無)相同信息-確定信息情形,其在危害性矩陣圖中對應的形式是含實(虛)核點的矩域灰點-確定點,這兩類情形容易比較。若矩域灰點Θi的實(虛)核點效用值大于確定點(x,y)的效用值,則Θif(x,y);若矩域灰點Θi的實(虛)核點效用值小于確定點(x,y)的效用值,則矩域灰點Θip(x,y);若矩域灰點Θi的實(虛)核點效用值等于確定點(x,y)的效用值,則對樂觀決策者而言Θif(x,y),對悲觀決策者而言Θip(x,y),對折中決策者而言就進一步考慮實(虛)核矩域灰點的超額可能效用和差額可能效用。

2.3 建模步驟

根據前述分析,適用于貧信息背景的灰FMECA模型建模步驟如下。

步驟 1收集故障信息進行FMEA分析,劃定嚴酷度級別細分標準。

步驟 2收集歷史故障信息,由專家給出故障參數的大致范圍,以區間灰數表示。依據式(2)～式(4)計算故障模式危害度和產品危害度。

步驟 3選定危害度權重比,依據有無相同歷史故障信息判斷矩域灰點類別,繪制規范化的危害性矩陣圖。

步驟 4依據產品特征選定決策準則,基于第2.2節的矩域灰點排序規則計算改進優先次序,找出改進優先級高的故障模式或產品,填寫FMECA報告。

3 案例研究

航天飛機主發動機的高壓燃料渦輪泵是航天飛機推進系統中可重復使用次數最少的組件,其昂貴的價格和低復用性屬于小樣本、貧信息特征,在生產初期運用FMECA找出系統薄弱環節可以大幅減少后續損失。高壓燃料渦輪泵主要由渦輪葉片、泵葉輪、密封件、軸承以及殼體等部件組成,確定任務剖面為發動機全壽命期,選取初始約定層次為高壓燃料渦輪泵,最低約定層次為主要組成部件。

步驟 1收集高壓燃料渦輪泵的故障信息,包括故障模式、任務階段、故障原因、故障影響以及預防措施,制定細分的嚴酷度級別標準。由專家給出每個故障模式的嚴酷度大致位置范圍,用含最小制圖單位U的區間灰數表示,制作FMEA表如表1所示。

表1 高壓燃料渦輪泵FMEA表

步驟 2基于區間灰數計算高壓燃料渦輪泵的故障模式危害度和產品危害度。以故障模式0101為例,專家給出故障參數分別為α1=0.42,β1=[0.3,0.4],λp=[16.4,18.61]×10-6/h,t=0.5 h,由式(4)建立規劃模型：

解得故障模式0101的危害度取值范圍為Cm1∈[1.033 2,1.563 2]。同理可求得其余故障模式和產品的危害度,制成CA表,如表2所示。

表2 高壓燃料渦輪泵CA表

步驟 3考慮到分析對象是用于航天飛機的高壓燃料渦輪泵,對故障后果、嚴酷度更加看重,因此選定危害度權重比kw=0.6,以悲觀準則進行決策。依據有無同類故障信息判斷矩域灰點類別,得到繪制的規范化危害性矩陣圖如圖8所示。

圖8 高壓燃料渦輪泵規范化危害性矩陣圖Fig.8 Standardized criticality matrix diagram of high-pressure fuel turbopump

步驟 4依據產品特征選定決策準則,基于第2.2節矩域灰點排序規則計算改進優先次序。圖8中故障模式0103和故障模式0301、故障模式0302和故障模式0202的核效用分別相等,分別依據式(12)和第2.2.3節內容可判斷出改進次序:故障模式0301先于故障模式0103,故障模式0202先于故障模式0302。由圖8可知,高壓燃料渦輪泵中危害性較大的故障主要集中在渦輪葉片當中,其次是密封件和啟動隔離密封。其中啟動隔離密封的泄露故障模式(0301)危害性最大,是系統的薄弱點,須著重防范。

4 結 論

針對貧信息背景故障信息少、故障數據不確定的情形,提出灰FMECA模型,以解決貧信息背景下FMECA工作的推進困難問題。本文引入區間灰數進行危害度計算,為改進傳統危害性矩陣圖的缺陷設計新的規范化危害性矩陣圖。進而,在規范化危害性矩陣圖中提出矩域灰點概念,以分析故障模式和產品在規范化危害性矩陣圖中的改進次序。最后,選取火箭高壓燃料渦輪泵作為復雜裝備領域的貧信息背景代表,結合數值算例運用本文所提的灰FMECA模型。結果表明:貧信息背景對FMECA工作的推進造成了阻礙,結合不確定型決策方法使用灰FMECA模型能解決此類問題。同時注意到,不同的決策準則和危害度權重比參數會對最終的危害度排序結果造成一定影響,所以在運用本文所提模型時應充分考慮被分析對象的特點,對不同用途的產品運用灰FMECA模型時應合理采取決策準則,謹慎選取危害度權重比。由于實際工程產品類型多樣、用途迥異,因此如何針對不同類型產品確定決策準則和危害度權重比將是下一步要研究的問題。