高職數學課型分類與教學特征

吳定能 丁 洪

（貴州電子信息職業技術學院基礎教學部，貴州 凱里 556000）

隨著高職院校招生制度的改革，學生生源形式多樣，導致相同專業班級的學生組成結構復雜。據調查顯示，為了便于管理，大部分高職院校都采用混合組班教學，同一班級不同學生比例存在差異[1]。高職數學課型種類復雜，不同課型的授課方式也略有不同，相同課型不同專業、不同班級的教學方法也不唯一。在這種形勢下，如何高效開展教學，是教學一線的教師研究的課題，其中分析課型分類既可提高課堂教學質量，也是教學一線教師研究的熱點問題。

一、高職數學課的課型

結合高職數學課程內容特點、職業院校培養學生的目標以及數學在職業院校中的作用意義，可以將數學課主要分為以下幾種類型。

一類概念課，像函數、極限、導數及積分等給概念下定義的課，稱為一類概念課，以及像無窮小、拐點、分段函數等用一些純文字語言描述和介紹的課。

二類概念課，專指定理的歸納與推理，法則、公式的得出與推導等，如拉格朗日中值定理、導數四則運算的推導、極限四則運算的推導、兩個重要極限及積分公式等。此類概念課占據了高職數學課程三分之一以上的內容。

應用課，專指法則、公式、定義、定理及結論等的運用[2]。如求函數的定義域、求函數的極限、兩個重要極限的應用、利用導數四則運算法則求函數的導數、用拉格朗日定理求某些方程的根的個數等，它在高職數學課內容中的占比與二類概念課相當。

實驗課，通過上機學習如何利用Mathematica、MATLAB、SPSS等數學軟件來解決計算問題的課，稱為實驗課，高職數學選用率較高的教程都有該部分內容。

實踐課，專指運用數學理論知識來解決實際問題，變化率模型求解電流強度問題、邊際成本問題及定積分在幾何物理中的應用等，可以把這類課視為數學建模課。

我國高職院校的培養目標中大多數都是以培養專業技能型人才為主，提升文化素養為輔。對于基礎文化課基本不重視，設備、師資不足，數學課的課時少、容量大，難以開設實驗課和實踐課，因此本文僅把一類概念課、二類概念課及應用課作為重點研究對象。

二、高職數學不同課型的教學特征

高職數學的內容中，除了常微分方程之外，其他內容與高中內容大致相同，而在知識點的深度、內容的呈現方式等方面有所不同，不同課型的特征也略有不同。下面結合高職數學教材內容探討不同課型的教學特征。

（一）一類概念課的特征

1．概念提煉過程的抽象性、概括性，抽象是排除非本質性的、不重要的屬性，區分出本質特性的方法，概括是將同一類對象的共同屬性提煉出來，結合成一般類的屬性的方法[3]。例如，導數定義的產生，先討論了求做變速直線運動的物體的瞬時速度，再討論了求平面曲線的切線的斜率，略去其它屬性特征，僅從數學結構上看，卻有完全相同的形式，可歸納為函數的增量與自變量增量之比當自變量增量趨于零時的極限，數學中就把這種形式的極限定義為函數的導數，經過上述實例的分析、提煉概括出函數的導數概念，并以數學符號來表示。

2．概念定義的直接性、簡明化，直接性是直接給出某個概念的定義，缺少概念產生的探索、幫助觀察理解的實物，簡明化是簡單明了的給概念下定義，沒有給出簡單實例幫助理解。例如，函數的極限在解讀了趨近符號及去心鄰域后，直接性的給函數的極限下定義，簡潔明了的給出了函數的極限符號表示，然后就進入到應用部分。少了結合學生已學的簡單函數的變化先探索同類屬性，函數的概念也是如此。這些之前初步學過的內容，也是數學上被稱為最難理解的概念，在高職數學教材中大多數都是簡潔明了的直接給出概念的定義。

3．概念定義過程的嚴謹性、準確性，下定義就是指出它反映的對象所具有的本質屬性的一種形式化、邏輯化、簡明化的活動，它的使命就是總結出研究的結果。因而，給概念下定義是嚴謹的，觀察、發掘、抽象之后概括出感性材料的本質屬性，并不斷地實驗、改進補充，最終形成簡潔清晰、準確嚴謹的定義。例如，我們在開展“函數的概念”的教學時，我們要設計情境讓學生明白，第一，變量不能在空集中，否則任取變量時，沒有變量值可取。第二，變量不能在實數集外的集合，否則就不是給函數的概念下定義，而是給映射下定義。第三，是在非空實數集中任意取變量，不是僅取其中幾個實數滿足定義即可。第四，任意取一個變量后，按照定義法則，一定是有且僅有一個變量與之對應。同時滿足上述四個條件之后，函數的概念定義即可形成。

4．概念鞏固過程的遞進性，我們知道，當新概念形成之后，教師可以在學生的“已知區”與“最近發展區”的結合點上設計問題，給出一些由易到難具有遞進性的題組，有時還給出一些反例或變式題等幫助學生理解概念。例如，函數的導數概念產生之后，為了讓學生熟悉概念，首先選擇最簡單的常數函數作為第一個例子，計算簡單，非常便于鞏固定義產生的過程，更利于再次提煉步驟，即求增量—算比值—取極限。然后依次選擇正弦函數、自然對數函數作為實例，逐次增強計算難度、思維技巧。這樣遞進性的鞏固題組，既讓不同層次的學生都有了體驗的機會，也讓學生們掌握了函數的導數的概念產生過程。

（二）二類概念課的特征

1．語義性特征，數學的公式、定理、法則等雖然是一些語言和符號，但是它們代表了一些明確性的意義，語義性是指利用更為具體的形式來陳述公式、定理過程中所表現出的特征，該特征主要包含了一些要素：概念、關系、量詞及邏輯聯結詞[4]。如極限四則運算中的乘法運算，即兩個函數乘積的極限等于兩函數極限的后的乘積，該法則可以用文字語言陳述，也可以用符號語言呈現，其中的概念有函數的極限，關系有兩函數乘積的極限運算，命題中省略了“任意”的量詞，沒有出現邏輯聯結詞。

2．真理性特征，公式、定理、法則等的確定性，即為真理性特征，在數學中它主要真理的內容和確定邏輯真值過程中所體現出來的特征。對于某些具體的公式、定理和法則，它們的真理性呈現過程是略有不同的，推理方法也不唯一。

3．應用性特征，數學的每個公式、法則都是應用的工具，定理也不例外。他們的應用主要表現為解題和計算，有的是用于解決數學內部問題，有的是用于解決數學的實際問題，學習過程中關鍵的是何時用、怎么用及用于哪些方面。如導數可以用來解決實際問題中曲線的斜率。

4．關聯性特征，有一些公式、法則、定理的存在和應用不是單獨出現的，而是相互之間關聯的，數學中的關聯性是指知識點之間是相互運用，不能僅僅用一個知識點就可以解決問題，數學的學習往往出現一種現象，若某一部分知識點沒學好，后面遇到相關聯的知識學習就非常困難。如學好了極限才能理解導數，學好了導數相關公式后才能熟練求解各積分。

（三）應用課的特征

1．應用對象的準確性，在不同的數學知識領域都有相應的定義、公式、法則及一些定理，因此，在應用過程中必須確保運用對象的準確無誤。教學中必須對通過不同的實例充分說明相應公式定理的適用范圍，讓學生真正地理解，避免知其一，不知其二的現象產生。如“勾股定理”解三角形的問題，該定理只能用于解直角三角形，余弦定理就可以用來求解任意的三角形；微分應用過程中，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情況，適用的對象顯然有區別，在教學中必須做到讓學生明確各定理的準確應用。

2．靈活變換性較強，直接套用公式、定理的應用一般比較少，在數學中的應用課普遍偏向于變換后的應用，這里的變換除了簡單的內部變化之外，還有整體性的變換，要想在應用中做到靈活變換，必須對原定理、公式中各字符的含義弄明白，僅僅是簡單的記憶公式是不能解決問題的。如兩個重要極限的應用，這里的x代表的含義是分子中正弦后的部分和分母完全相同，且滿足該整體趨近于0的極限，它們的極限值都為1。

3．教學中需有示范性，促使學生體驗，即使公式給出、定理內容講解清楚以及運用法則說明到位，學生在該類問題的應用中，書寫仍然有很大的問題，此類課程教學中教師必須親自示范講解，然后在讓學生親自實踐，留給學生充足的時間練習，才能讓學生在實踐中加深對應用的知識的理解。即使學生明確表示已經弄懂，也要求學生實踐一次，這樣既起到加深理解的作用，也可以發現學生在書寫中的問題。