基于數(shù)字地圖的亞音速飛行器最優(yōu)地形跟隨

董 超，王 彪，黃鵬程，唐超穎，魏東輝

(1.南京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，南京 211106；2.復(fù)雜系統(tǒng)控制與智能協(xié)同技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100074)

0 引言

軍用飛行器常常需要貼地起伏飛行以利用地形躲避防空系統(tǒng)的探測(cè)，這種飛行方式稱為“地形跟隨”。地形跟隨技術(shù)大致可以分為兩類[1]，一類是角指令法，另一類為參考航跡法。早期地形跟隨系統(tǒng)多采用角指令法[2]，利用飛行器與地形的相對(duì)位置關(guān)系生成航跡控制指令。參考航跡法基于數(shù)字地圖生成飛行參考航跡，再通過航跡跟蹤實(shí)現(xiàn)地形跟隨，航跡跟蹤是該地形跟隨方案的關(guān)鍵部分，控制系統(tǒng)需要具備較高的跟蹤精度以保證地形跟隨的安全性。在低空高速狀態(tài)下，PID難以提供良好的跟蹤性能，也很難處理實(shí)際系統(tǒng)的物理限制[3]。L1[4]、矢量場(chǎng)[5]等非線性導(dǎo)引律對(duì)變曲率航跡的跟蹤效果較差。針對(duì)這些問題，滾動(dòng)時(shí)域控制(RHC)在航跡跟蹤領(lǐng)域正受到越來越多的關(guān)注。RHC又稱“模型預(yù)測(cè)控制(MPC)”，作為一種基于模型的控制策略，它可以顯著提高控制性能，其控制目標(biāo)是使跟蹤誤差最小化[6]，從而使航跡控制成為有約束系統(tǒng)的輸出跟蹤問題。文獻(xiàn)[7]采用基于狀態(tài)擴(kuò)展的雙反饋MPC設(shè)計(jì)固定翼無人機(jī)航跡跟蹤控制器，取得了比較精確的跟蹤效果。文獻(xiàn)[8-9]則使用非線性MPC作為控制策略，為了減小計(jì)算量，對(duì)模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化以確保實(shí)時(shí)性。文獻(xiàn)[10]所設(shè)計(jì)的線性MPC可將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在單位圓內(nèi)，保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。目前多數(shù)文獻(xiàn)在設(shè)計(jì)跟蹤控制器時(shí)均使用直線或圓弧航跡作為參考輸入，雖然這種做法簡(jiǎn)單便于應(yīng)用，但航跡在航跡點(diǎn)處是不光滑的，跟蹤誤差會(huì)發(fā)生突變，從而使舵角容易產(chǎn)生飽和。文獻(xiàn)[11]針對(duì)變曲率曲線航跡設(shè)計(jì)了一個(gè)MPC控制器，但簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型并不適合高速飛行器，為了提高飛行器在高速飛行時(shí)的可靠性，控制策略必須考慮飛行動(dòng)力學(xué)的影響，在保證系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行的同時(shí)，充分發(fā)揮飛行器的潛力。

本文針對(duì)亞音速飛行器地形跟隨問題，首先基于數(shù)字地圖進(jìn)行最優(yōu)航跡規(guī)劃，再將滾動(dòng)時(shí)域優(yōu)化策略用于航跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)，提高高速飛行器對(duì)復(fù)雜航跡的跟蹤能力。在真實(shí)山區(qū)地形數(shù)據(jù)上進(jìn)行仿真驗(yàn)證，通過與基于適應(yīng)角導(dǎo)引的地形跟隨方法對(duì)比，驗(yàn)證本文地形跟隨方法的有效性。圖1為本文地形跟隨系統(tǒng)框圖。

圖1 地形跟隨系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

1 問題建立

1.1 飛行器模型與參考航跡

使用六自由度非線性動(dòng)力學(xué)方程描述飛行器的運(yùn)動(dòng)，忽略機(jī)體y軸所受的力以及滾轉(zhuǎn)、偏航力矩，其縱向運(yùn)動(dòng)方程為[12-13]：

(1)

(2)

(3)

式中，u,w分別是飛行器速度沿機(jī)體x,z軸的分量；θ為俯仰角，q為機(jī)體俯仰角速度；T,X,Z分別為推力、機(jī)體x軸和z軸的氣動(dòng)力，推力沿機(jī)體縱軸，M為俯仰力矩。有關(guān)飛行器的參數(shù)詳見[14]。

由圖1可知，需要根據(jù)數(shù)字地圖生成參考航跡。本文參考文獻(xiàn)[15]，采用最優(yōu)航跡規(guī)劃算法生成參考航跡，參考航跡由分段三次樣條表示，優(yōu)化目標(biāo)為航跡與地形的貼合程度。與[15]不同的是，本文在目標(biāo)函數(shù)中添加了法向加速度平方項(xiàng)，從而減少飛行器大幅度機(jī)動(dòng)的次數(shù)，使飛行更加平穩(wěn)。圖2顯示了這兩種不同規(guī)劃方法的區(qū)別。

圖2 最優(yōu)航跡規(guī)劃結(jié)果

1.2 航跡跟蹤控制問題描述

如圖3所示，航跡跟蹤控制的目的是選擇合適的控制輸入，使位置誤差向量ep漸進(jìn)收斂至0：

圖3 航跡跟蹤示意圖

ep=(d-p)×Td

(4)

式中,Td為參考航跡點(diǎn)d處的單位切線矢量，p為飛行器當(dāng)前位置，同時(shí)速度方向與航跡的方向Td一致，使:

eγ=γd-γ

(5)

式(4)和式(5)表明，只要根據(jù)飛行器當(dāng)前位置選擇一個(gè)參考點(diǎn)，并求出沿航跡切線方向的向量，就可以使用此目標(biāo)公式設(shè)計(jì)滾動(dòng)時(shí)域控制的目標(biāo)函數(shù)，因此它適合于任何航跡，而不局限于直線或圓弧等特定形式的航跡。

2 航跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)

2.1 控制目標(biāo)

根據(jù)1.2節(jié)的討論，航跡控制的目標(biāo)是最小化控制輸入與跟蹤誤差：

(6)

由圖3可知，為了達(dá)到控制目標(biāo)，正確選取預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)的參考航跡點(diǎn)d是提高控制器性能的關(guān)鍵，本文根據(jù)當(dāng)前位置p(k)和速度矢量V(k)，使用歐拉法對(duì)未來的位置p(k+i)進(jìn)行預(yù)測(cè)，并在慣性系下定義未來有限時(shí)域內(nèi)的參考航跡點(diǎn)，如圖4所示。這種方法的思想來源于駕駛員對(duì)車輛的操縱：駕駛員總是相對(duì)于車輛縱軸來預(yù)判未來的位置[16]。

圖4 預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)參考航跡點(diǎn)的選取

2.2 滾動(dòng)時(shí)域控制

RHC航跡控制器是系統(tǒng)穩(wěn)定、快速跟蹤參考航跡的關(guān)鍵，在進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)時(shí)，首先將飛行器方程(1)～(3)在平衡點(diǎn)處進(jìn)行線性化，再按一定采樣周期進(jìn)行離散化處理，得離散狀態(tài)方程：

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)

y(k)=Cx(k)

(7)

式中,狀態(tài)量、被控量和控制量依次為：

x= [V,α,q,θ,pow,h]T

y=[V,γ,h]T

u=[δt,δe]T

(8)

式中,γ=θ-α為航跡傾斜角，pow為發(fā)動(dòng)機(jī)功率水平。V為飛行器總速度，δe、δt分別表示升降舵偏轉(zhuǎn)角和油門開度。為了對(duì)控制增量進(jìn)行限制，避免控制量突變，需要將式(7)轉(zhuǎn)換成以控制增量Δu(k)為輸入的形式，定義狀態(tài)增量與控制增量：

Δx(k)=x(k)-x(k-1)

Δu(k)=u(k)-u(k-1)

(9)

增廣狀態(tài)向量：

(10)

建立以ξ(k)為狀態(tài)量、Δu(k)為控制輸入的積分增廣狀態(tài)空間表達(dá)式[17]：

(11)

Y(k)=Fξ(k)+ΦΔU(k)

(12)

飛行器的控制量在控制時(shí)域內(nèi)定義為：

umin(k+j)≤u(k+j)≤umax(k+j)

Δumin(k+j)≤Δu(k+j)≤Δumax(k+j)

j=0,1,…,Nc-1

(13)

類似地，狀態(tài)約束在預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)定義為：

xmin(k+j)≤x(k+j)≤xmax(k+j)

j=0,1,…,Np-1

(14)

定義了目標(biāo)函數(shù)(6)和約束(13)～(14)后，可使用二次規(guī)劃算法求解該優(yōu)化問題，生成最優(yōu)控制指令序列后使用其中第一個(gè)作為最優(yōu)控制輸入，而下一時(shí)刻的控制量則根據(jù)下一時(shí)刻的狀態(tài)反饋重新計(jì)算。

3 仿真結(jié)果與分析

3.1 撞地概率計(jì)算

使用撞地概率指標(biāo)對(duì)地形跟隨系統(tǒng)進(jìn)行評(píng)價(jià)。假設(shè)t時(shí)刻飛行器的海拔高度為h(t)，地形海拔高度為T(t)，飛行器與地形之間的凈高度差為he(t)=h(t)-T(t)，預(yù)設(shè)的安全高度為H0，定義高度誤差為Δh(t)=H0-he(t)，將飛行器看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則撞地事件可以用如下公式表示[18]：

Δh(ti)≥H0

(15)

滿足式(15)的所有時(shí)刻ti均視為撞地。統(tǒng)計(jì)全過程中所有的ti，得到每次撞地事件所經(jīng)歷的時(shí)間tpi，最后根據(jù)總仿真時(shí)間ttotal，得到本文使用的撞地概率計(jì)算公式：

(16)

除了計(jì)算相對(duì)實(shí)際地形的撞地概率，本文還考慮了離地Hsafe處“虛擬地形”的撞地概率，即選取不同的離地高度Hsafe，當(dāng)飛行器滿足:

Δh(ti)≥H0-Hsafe

(17)

時(shí)表示飛行器撞上了離地Hsafe處的“地形”，其撞地概率同樣用公式(16)計(jì)算。

3.2 仿真結(jié)果

本文的地形數(shù)據(jù)從地理空間數(shù)據(jù)云平臺(tái)上得到，如圖5所示，該地形在起伏度分級(jí)上屬于“高山起伏”[19]。飛行器初始速度V=200 m/s，初始高度h=80 m，RHC采樣周期Ts=0.1 s，預(yù)測(cè)時(shí)域Np=20，控制時(shí)域Nc=20，RHC控制器的權(quán)矩陣設(shè)置為：

圖5 50 km地形剖面

Q= diag[0.01,200,0.01]

R= diag[2000,15]

(18)

升降舵以一階慣性環(huán)節(jié)表示其動(dòng)態(tài)，增益為1/0.049 5，偏轉(zhuǎn)幅度為±25°，偏轉(zhuǎn)速率限制為±60°/s。

仿真1:圖6顯示了50 km的地形上進(jìn)行地形跟隨的結(jié)果，可以看出，飛行器的實(shí)際飛行航跡與參考航跡貼合十分緊密，顯示了較高的跟蹤精度，即使在某些坡度較大的地方也不會(huì)有撞地的危險(xiǎn)，這是因?yàn)镽HC可以根據(jù)前方航跡的變化提前動(dòng)作以減小過峰谷時(shí)的過沖。圖7為飛行器的各個(gè)狀態(tài)隨時(shí)間的變化曲線，包括航跡傾斜角γ、迎角α和速度V，可以看到迎角處于約束范圍[-10°,45°]內(nèi)，速度保持在200 m/s附近。圖8為高度、航跡角誤差曲線及執(zhí)行器輸入，高度誤差最大5.80 m，平均值0.10 m，標(biāo)準(zhǔn)差1.26 m，結(jié)果表明航跡控制方法有效完成了地形跟隨任務(wù)。

圖6 地形跟隨結(jié)果

圖7 狀態(tài)曲線

仿真2:為了驗(yàn)證系統(tǒng)在存在導(dǎo)航誤差時(shí)的跟蹤效果，在水平與高度方向均存在導(dǎo)航誤差的情況下進(jìn)行了多次仿真。導(dǎo)航誤差來自GPS，呈高斯分布，方差為1，誤差水平(均值)有不同等級(jí)。一般GPS的導(dǎo)航誤差最大為10 m，本文增設(shè)了20 m與30 m的誤差水平。RHC參數(shù)設(shè)置保持不變，每個(gè)誤差水平下進(jìn)行50次仿真，記錄其跟蹤誤差數(shù)據(jù)及撞地概率。除了計(jì)算相對(duì)實(shí)際地形的撞地概率，還計(jì)算離地10 m、20 m處“虛擬地形”的撞地概率，取所記錄數(shù)據(jù)的平均值作為最終結(jié)果，將不同誤差水平下的平均誤差及撞地概率數(shù)據(jù)記錄在表1中。圖9為某一次仿真的結(jié)果。

從表1中可以看出，隨著導(dǎo)航誤差增大，跟蹤誤差也隨之增大，但在誤差水平達(dá)到30 m時(shí)才有可能出現(xiàn)撞地事故，這意味著飛行器實(shí)際飛行過程中的某些位置離地面不到10 m，但對(duì)于實(shí)際地形，撞地概率依舊為0，從圖9中也可以看出這一點(diǎn)。

表1 水平與高度方向均存在導(dǎo)航誤差的地形跟隨結(jié)果

圖9 30 m導(dǎo)航誤差水平下的地形跟隨結(jié)果(29～35 km)

表2為只有水平方向的導(dǎo)航誤差時(shí)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在30 m誤差范圍內(nèi)均不存在撞地危險(xiǎn)，顯然只有水平導(dǎo)航誤差時(shí)的系統(tǒng)性能要比存在高度導(dǎo)航誤差的情況好得多。從表1與表2的數(shù)據(jù)可以看出，高度方向的導(dǎo)航誤差對(duì)地形跟隨撞地概率的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于水平方向，因此從地形跟隨的安全角度來說，應(yīng)盡量減小高度測(cè)量誤差，除了使用GPS外，最好添加氣壓計(jì)或無線高度表等額外傳感器作為輔助。

表2 只有水平方向存在導(dǎo)航誤差的撞地概率統(tǒng)計(jì)

仿真3:與基于適應(yīng)角導(dǎo)引的地形跟隨系統(tǒng)進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。適應(yīng)角法是傳統(tǒng)地形跟隨中使用最廣泛的方法，在利用前視傳感器獲得前方地形信息后，通過適應(yīng)角可以得到航跡傾斜角的指令。角指令由如下公式給出[20]：

(19)

式中,Kθ為增益，F(xiàn)s為抑制函數(shù)。本文的抑制函數(shù)分為三段，分別對(duì)應(yīng)飛行器在地形跟隨中的3個(gè)階段，以飛行器與障礙物/地形的相對(duì)位置劃分為：末段沖刺、中程拉起和遠(yuǎn)程下滑。斜距在3個(gè)階段有著不同的值，分別為3 500 m、3 900 m、4 627 m，雷達(dá)對(duì)前方地形的探測(cè)角度為±8°，參數(shù)Kθ為1.12。

圖10顯示了適應(yīng)角法地形跟隨的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，與本文基于數(shù)字地圖的地形跟隨系統(tǒng)相比，該方法的貼地效果較差，在過峰后的過沖較大，增加了飛行器暴露的時(shí)間，而在某些地方飛行器離地面非常近，增加了撞地概率。在實(shí)際應(yīng)用中，基于適應(yīng)角導(dǎo)引的地形跟隨系統(tǒng)通常會(huì)犧牲貼地性能以保證安全性，這是其缺陷所在。對(duì)比仿真表明，本文所使用的地形跟隨方法具有更優(yōu)異的貼地性能以及更好的安全性。

圖10 地形跟隨結(jié)果比較

4 結(jié)束語

本文設(shè)計(jì)了亞音速飛行器地形跟隨控制系統(tǒng)。使用最優(yōu)航跡規(guī)劃算法生成參考航跡，該航跡能夠在貼近地形的同時(shí)減少不必要的飛行機(jī)動(dòng)。針對(duì)精確航跡跟蹤問題，基于RHC設(shè)計(jì)了一個(gè)航跡跟蹤控制器，即使存在導(dǎo)航誤差時(shí)該控制器也具有良好的跟蹤性能。討論了目標(biāo)函數(shù)的設(shè)計(jì)，以及預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)參考航跡點(diǎn)的選取，提高飛行器對(duì)復(fù)雜曲線航跡的跟蹤性能。最后，與使用適應(yīng)角法的地形跟隨系統(tǒng)進(jìn)行對(duì)比仿真，結(jié)果表明，本文所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)具有良好的安全性和優(yōu)異的貼地性能，非常適合在高山地形上執(zhí)行地形跟隨任務(wù)。