基于響應面法的油氣潤滑ECT傳感器優化設計

孫啟國,孫 奧,李照威

(北方工業大學 機械與材料工程學院，北京 100144)

0 引言

電容層析成像技術(ECT，electrical capacitance tomography)是一種工業過程層析成像技術。ECT系統主要由電容傳感器、數據采集裝置和計算機構成，其工作原理是被測物體具有不同的介電常數從而導致電容發生變化，其特點是價格低廉，非侵入式，響應速度快，成像過程無干擾[1-2]。目前，此技術被廣泛應用于在多相流識別。

ECT傳感器的結構將直接影響測量電容的采集和靈敏度的分布，進而影響重建圖像的質量。目前，針對大管徑(直徑20 mm以上)的結構參數優化問題進行了較為廣泛地研究。如文獻[3]推導了電容敏感陣列電極的數學模型，根據靈敏度場確定優化指標，分析了結構參數對優化指標影響,并獲得了一組結構優化參數。結果表明結構優化參數可靠，電容陣列敏感電極分辨率提高了10%。文獻[4]設計了一種具有8個電極的ECT傳感器，根據敏感場的均勻程度對傳感器的參數進行選取，采用正交設計法對參數進行計算及優化，得到一組優化參數，結果表明優化后電容傳感器可以獲得較為理想成像結果。文獻[5]建立了12電極的矩形ECT傳感器，通過有限元法計算了電容極板和屏蔽極板長度對靈敏度分布的影響，提出了最佳電容極板長度應該與傳感器的寬度或直徑相同。文獻[6]為研究管內為油水兩相流設計了12電極的ECT傳感器，根據靈敏度的均值和標準差確立了評價函數，改變單一結構參數對電容值重新計算，并結合正交實驗法對4個參數進行優化。文獻[7]采用遺傳算法與響應面法結合的優化方法對電容傳感器的相關結構進行優化，結果表明該方法有效，可以獲得更佳的靈敏度分布。文獻[8]根據仿真得到電容極板間敏感場的分布情況，基于PSO與混沌搜索策略理論提出了一種改進算法，以敏感場中的靈敏度大小為目標，并結合上述算法對ECT傳感器結構進行優化，結果得到一組最優結構。文獻[9]設計了一種三維結構的ECT傳感器，研究了電容極板長度對靈敏度和圖像重建的影響，提出了一個優化的三維ECT傳感器設計，即電容極板的長寬比為0.75。文獻[10]分別以均勻性指標和圖像誤差為目標對傳感器結構進行分析，提出一種模糊綜合指標作為優化目標，并結合正交法進行優化設計，結果表明優化后的傳感器可以同時獲得更好的靈敏度分布和圖像重建結果。然而，目前對于油氣潤滑小管徑(直徑10 mm以下)有關結構參數優化的研究較少。

油氣潤滑ECT傳感器尺寸較小，它對測量電容值、靈敏度場和重建圖像質量的影響更加突出。本團隊曾對油氣潤滑ECT傳感器的二維結構的主要參數進行過優化設計，但考慮的優化參數較少，并且沒有考慮其三維結構參數導致的特定影響。例如在小管徑下，徑向軟場效應更加明顯，管道電容和邊緣電容不可忽略，這都導致傳感器的靈敏度分布不均，測量電容值不準確，圖像處理病態嚴重[11]。

針對以上問題，本文在二維結構參數的基礎上，建立了UMIST型油氣潤滑ECT傳感器的基準三維物理模型；分析了管道厚度、電容極板長度、軸向屏蔽電極長度和徑向屏蔽電極深度4個結構參數對傳感器性能的影響并確定優化范圍；通過靈敏度影響系數和電容響應比確立了傳感器性能優化函數；采用響應面法對上述4個結構參數進行了優化設計。最后以圖像相對誤差和圖像相關系數為評價標準，對優化后傳感器的重建圖像質量進行評判以驗證其可靠性。

1 油氣潤滑ECT傳感器模型建立與結構參數分析

ECT傳感器結構變化會影響正問題中的測量電容值和靈敏度場分布，進而影響反問題中的流型識別和圖像重建質量。本文首先以UMIST型的ECT傳感器作為基準傳感器，并計算測量電容值，然后在基準傳感器上改變單個結構參數值，重新計算測量電容值，最后通過比較滿場/空場電容差的大小來判斷傳感器性能變化，從而確定結構參數的優化范圍。

1.1 物理模型建立

ECT傳感器通常采用低頻激勵，即小于1 MHz，其內部可視為靜電場。在油氣管道中只考慮環狀流，建立基準傳感器。基準傳感器從外到內的構成為外屏蔽罩、軸向屏蔽電極、電容極板、徑向屏蔽電極、管道，如圖1所示。圖2給出了其徑向管道二維視圖，圖中極板張角為θ，徑向電極插入深度為h1，管道圓心到管道半徑距離為R1，管道圓心到管道外徑距離為R2，管道圓心到外屏蔽罩距離為R3，其具體結構參數，見表1。

圖1 基準傳感器的結構圖

圖2 徑向管道二維視圖

表1 基準傳感器的結構參數

1.2 數學模型建立

為了求解ECT模型的電容值及其靈敏度，對三維模型做以下假設:1)各相介質分布均勻且互不干擾；2)屏蔽罩隔絕外部電場；3)管道內無自由電荷。

根據以上假設，電勢分布可以用泊松方程可以表示為[12]：

▽·[ε(x,y,z)▽φ(x,y,z)]=0

(1)

式中，▽·及▽分別為散度及梯度算子，ε(x,y,z)相對介電常數分布，φ(x,y,z)為三維電勢分布。

以8電極傳感器為研究對象，若激勵電容極板為i，狄里赫利邊界條件為：

(2)

式中，k=1,2,...,8且k≠i，V為極板激勵電壓，Γi為激勵極板表面，Γk為檢測極板表面，Γs為徑向屏蔽極板和屏蔽罩表面。

對一端的電容極板i施加電壓V，另外一段的電容極板j由于電勢差就會產生相應的電荷，根據高斯定理可得極板j的電荷量，則i，j倆極板之間的電容可以表示為：

(3)

式中，Q(Γj)為電極j上的感應電荷量，Γj為在極板j周圍的封閉區域。

在第i和第j電容極板間的靈敏度可以表示為：

(4)

式中，p(x,y,z)為(x,y,z)的體坐標點；Ei(x,y,z)，Ej(x,y,z)為i極板激勵，j極板接地時，在(x,y,z)處的電場強度。

1.3 結構參數分析

本文對管道厚度，電容極板長度，軸向屏蔽電極長度，徑向屏蔽電極深度4個結構參數進行分析。由于油氣潤滑ECT傳感器的對稱性，只求解電容極板1與電容極板2、3、4、5間的測量電容及電容變化量。改變結構參數的測量電容值如表2所示，其中滿場為管道內全為潤滑油，空場為管道內全為空氣。由表2數據可以看出，當ECT傳感器的結構發生改變，電容極板間的測量電容值也會發生變化。

表2 改變結構參數的測量電容值

滿場測量電容值與空場測量電容值的差值反映了傳感器對管內整體單元的敏感程度，其差值越大，說明傳感器對管道內多相流變化越敏感，性能越好[13]。因此，本文用滿場/空場電容差值來評價傳感器性能。

各結構參數分析如下。

1)管道厚度R2-R1：管道厚度越大，滿場和空場的測量電容值越大，數據采集越容易，但由于油氣潤滑系統的管道較小，管道電容對測量電容有一定影響，即減低測量電容值的準確性，減低管道厚度可以減小管道電容對測量電容的影響，即提高測量電容值的準確性，故管道厚度的優化范圍不宜太大。從表2可以看出，隨著管道厚度不斷增加，滿場/空場電容差值中的C12、C13不斷減小，C14、C15不斷增加，可見滿場/空場電容差值整體變化并不明顯。綜合考慮油氣潤滑管道厚度的優化范圍在R2-R1∈[1,3]比較合理。

2)電容極板長度l：電容極板越長，其有效面積增加，管內所包含的介質越多，測量的電容值越大，但會出現三維弱化現象，不能很好地反應管道內多相流的分布。電容極板越短，其有效面積減少，雖然能很好的反應管內不同相的分布，但測量電容變得較小，這增加了數據采集的難度。由表2可以看出，電容極板長度越長，滿場/空場電容差值越大，但增加的趨勢不明顯。故電容極板長度的優化范圍為l∈[10,15]。

3)軸向屏蔽電極長度la：油氣潤滑系統中，邊緣電容影響系數超過0.5，即軸向的邊緣電容也會影響測量電容值[14]。軸向屏蔽電極不但可以消除邊緣電容，提高測量電容的準確性，而且可以提高傳感器管道內部靈敏度場的均勻性。由表2可以看出，軸向屏蔽電極長度對滿場/空場電容差值影響不大，故軸向屏蔽電極長度優化范圍為la∈[5,10]。

4)徑向屏蔽電極深度h1：徑向屏蔽電極主要作用于相鄰電容極板對之間，它可以阻斷相鄰電容極板間的電場線，使相鄰電容極板對間的測量電容降低。由于非相鄰電容極板對間的電場線主要經過管道空間，所以徑向屏蔽電極對其影響不大。由表2可以看出，隨著徑向屏蔽電極深度的增加，相鄰電容極板對的滿場/空場電容差值不斷增加，但非相鄰電容極板對的滿場/空場電容差值不斷降低，綜合加工工藝問題，故徑向屏蔽電極深度的優化范圍為h1∈(0,1]。

2 油氣潤滑ECT傳感器優化實驗

2.1 優化函數的確定

油氣潤滑ECT傳感器中，由于“軟場效應”導致管道內部的靈敏度分布不均勻，即管道外側靠近電容極板的位置傳感器的靈敏度高，而在管道中心傳感器的靈敏度相對較低，進而導致重建圖像的質量不佳[15]。因此。優化傳感器的一個重要指標是讓其管道內部具有均勻相等的靈敏度。油氣潤滑ECT傳感器具有8個電極，由于對稱性，典型的靈敏度場只有4個，即1-2，1-3，1-4，1-5。本文定義靈敏度影響系數P：

(5)

(6)

(7)

(8)

P值越小，表示油氣潤滑ECT傳感器中的靈敏度場分布越均勻。

在油氣潤滑ECT傳感器中，測量電容值的準確性是影響圖像重建質量的另一重要指標。在管道內為環狀流的情況下，相鄰電容極板對間的測量電容值最大，表示為：

(9)

相對電容極板對間的測量電容值最小，表示為：

(10)

本文定義電容響應比，表示為：

(11)

電容響應比Cr值越小，說明傳感器所需的量程范圍低，測量的電容值越準確。

綜上所述，油氣潤滑ECT傳感器的優化設計需要同時考慮靈敏度和測量電容值這兩個方面的指標。因此，本文定義油氣潤滑ECT傳感器的性能優化函數，權值系數都為1，結合公式(5)和(11)表示為：

ySOF=P+Cr

(12)

可見，綜合優化函數ySOF值越小，油氣潤滑ECT傳感器的性能越好。因此，本文將優化問題轉化為求ySOF的最小值。靈敏度和測量電容值是通過有限元仿真計算得到的，與傳感器的結構參數并無明顯的數學表達式，因此需要采用一定的優化理論建立數學關系。

2.2 響應面法實驗設計

響應面法(RSM，response surface method)綜合了數學建模和實驗設計，首先通過對少量且具有代表性的樣本點進行實驗，然后回歸擬合并建立所需因素和結果的函數關系，最后根據實驗者的需要取得所需因素的最優水平值。近年來成為發展最快的優化理論方法，多用于醫學制藥，環境工程，機械工程等領域中各種因素的優化設計[16]。

響應面法的基本方法是運用線性或者多次方程來擬合未知復雜的函數。它與正交實驗相比，正交實驗不能在選取區域內獲得樣本點的最優組合，從而無法得到響應目標的最優解。而且當有較多實驗因素時，正交實驗次數會極大增加，增加工作量。響應面法的優勢明顯，例如擬合精度高，實驗次數和周期短，預測效果好等[17]。

一般情況下系統響應Y與影響因素x之間關系可以表示為[18]：

(13)

實驗值與響應值通過響應面法擬合的目標函數可以表達為：

(14)

式中，β0為偏移系數，βi為待定系數，φi(x)為基函數，k為基函數的個數。

在能滿足目標函數的要求下，設計的響應面函數要盡量簡單。本文優化參數較多為非線性問題，因此采用二階響應函數，表達式為：

(15)

式中，βi為一次項系數，βii為二次項系數，βij為交互項系數。

本文影響因素為4個，因此采用Box Behnken Design(BBD)方法確定油氣潤滑ECT傳感器的設計優化方案。BBD實驗點分布如圖3所示。BBD設計法中每個影響因素有3個水平，水平從小到大分別以-1，0，1對其編碼,即-1代表最小值，0代表中間值，代表最大值。各個影響因素水平值和編碼值如表3所示。

圖3 BBD實驗點分布

表3 影響因素的水平值和編碼值

2.3 實驗結果分析

根據表3可自動生成結構參數組合，再通過仿真計算和數據處理可以得到性能優化函數值(ySOF)，最后結合響應面實驗對4個參數進行綜合考慮并優化。響應面實驗具體數據如表4所示。

表4 響應面實驗具體數據

擬合出來的回歸方程需要進行誤差分析，以判讀回歸方程的擬合程度。殘差概率分布幾乎在一條直線上，說明回歸方程擬合效果好[19]。殘差概率分布如圖4所示。

圖4 殘差概率分布

由圖4可知，本次擬合的回歸方程精度高，適應性較好，可以對油氣潤滑ECT傳感器的影響參數進行優化預測。根據預測功能選取ySOF值最小的一組參數組合。優化參數組合如表5所示。

表5 優化參數組合

3 油氣潤滑ECT傳感器優化結構驗證

本文采用LBP和Tikhonov正則化算法對基準傳感器和優化后的傳感器進行圖像重建，并通過圖像相對誤差(IME，the relative error of image)和圖像相關系數(CORR，the image correlation coefficient)來比較圖像質量。

IME和CORR表達式分別如下[20-21]：

(16)

(17)

本文對管內所有像素點進行計算。圖像相對誤差(IME)反應了重建圖像與真實圖像誤差大小，其值越小越好。圖像相關系數(CORR)反應了重建圖像與真實圖像的相關程度，其值越大越好。IME和CORR值如表6所示。

表6 IME和CORR值

由表6可以看出，基準傳感器的圖像相對誤差平均為0.632 3，優化傳感器的圖像相對誤差平均為0.402 4，相比基準傳感器的圖像相對誤差平均降低了22.99%；基準傳感器的圖像相關系數平均為0.710 6，優化傳感器的圖像相關系數平均為0.927 9，相比基準傳感器的圖像相關系數平均提高了21.73%。可見，采用優化傳感器得到的重建圖像質量更高。

4 結束語

針對油氣潤滑ECT傳感器的測量電容值不準確，靈敏度不均勻，圖像重建質量低等問題，采用響應面法對其主要三維參數進行優化設計。結論如下：

1)建立了油氣潤滑ECT傳感器的基準三維物理模型。通過對比滿場/空場電容差的大小，分析了管道厚度、電容極板長度、軸向屏蔽電極長度和徑向屏蔽電極深度4個結構參數對傳感器性能的影響并確定了優化范圍。

2)通過靈敏度影響系數和電容響應比確立了傳感器性能優化函數，采用響應面法建立了上述4個結構參數和傳感器性能優化函數的數學關系，并進行優化設計確定最佳優化方案。

3)采用LBP和Tikhonov正則化算法對優化后的傳感器進行圖像重建，其圖像質量明顯提高，圖像相對誤差平均降低了22.99%，圖像相關系數平均提高了21.73%。