鏈接史實故事 凸顯數學學科育人功能

王瑩瑩 （安徽亳州利辛高級中學）

高中數學傳統的教學策略是練習、復習、歸納和總結，訓練了學生的數學思維和邏輯思維。應在習題練習過程中，鏈接史實故事，幫助學生從人文觀角度認識數學，理解某些數學知識產生的歷史原因和背景，體驗數學文化，培養學生高尚的數學情操，提升數學技能，當遇到數學難題時，會結合故事背景進行思維轉換，最終的目的是培養學生的自主探究能力，在美學中提升審美能力，結合現代數學發展批判思維。

一、追溯概念發展，引導自主探究

高中數學是一門邏輯性很強的學科，也是一門概念性很強的學科，掌握概念才能理解數學原理，追溯概念的發展歷程，才能引導學生對相關文化產生興趣，愿意探究歷史并自主探究，在歷史的品鑒學習中，既掌握了數學知識又學到了前人探索的經驗，凸顯了數學的育人功能。

16 世紀，意大利數學家卡爾達諾首先在《大術》中最虛數進行記號，但僅僅是個形式表示。17 世紀法國數學家、哲學家笛卡爾正式提出“虛數”概念，并指出與“實數”相對應，最初認為是真實不存在的數字。直到19 世紀初，高斯系統地使用了i，并主張用a+bi 表示，虛數才開始進入數學歷史。歐拉在很多地方都用了虛數，但又認為是虛幻的數字，挪威測量學家維塞爾提出平面表示復數，高斯提出了復平面的概念，復數才開始在數學、水利、地圖乃至航空中得到應用。所以，虛數的發展經歷了朝代更替，幸好數學家們沒有放棄相應的研究，后人在前人研究的基礎上進行了探究，最終促進了現代社會的發展。請學生課后查閱資料，指出虛數在水利、地圖中的具體應用，并發揮想象，指出現在科技中還存在的問題，評估可能的發展方向。

通過歷史追溯數學概念的發展歷程，讓學生意識到數學也是一項“科研項目”，是經過了幾個世紀才有的比較系統化的知識。學生在自主探究過程中，可以領略前人追求真理的風采，培養了獨立好學的精神。

二、理解數形結合，滲透融合思想

數形結合是數學中常用的思想之一，不管是數學計算思維培養還是邏輯思維驗證，都起到了至關重要的作用，特別是函數解題和圖形標識。沒有形，數學沒有直觀概念，沒有數，形沒有存在的意義和價值，那么，數形結合思想是如何傳承的，二者又是如何相互滲透的？

學習球體積的計算公式，中外很多人進行了研究，南北朝時期，祖沖之父子獨立研究出了“祖暅原理”，祖暅在求球體積時，使用一個原理:“冪勢既同，則積不容異”。“冪”是截面積，“勢”是立體的高。意思是兩個同高的立體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等。更詳細點說就是，界于兩個平行平面之間的兩個立體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積恒相等，則這兩個立體的體積相等。

劉徽為《九章算術》作注時指出，原書的說法有些是不正確的，只有“牟合方蓋”（垂直相交的兩個圓柱體的共同部分的體積）與球體積之比，才正好等于正方形與其內切圓的面積之比。但劉徽沒有求出兩圓柱體垂直相交部分的體積公式，所以也就得不出球體積公式。祖沖之父子應用“等高處橫截面積常相等的兩個立體，其體積也必然相等”這一原理，求出了“牟合方蓋”的體積。而球體體積等于π／4 乘以“牟合方蓋”體積，從而最終算出球體積。

所以，通過數形結合的方式，將形象的數學語言與直觀的圖形有機地結合起來。使抽象思維和形象思維結合起來，通過對圖形的處理，發揮直觀對抽象的支柱作用，實現抽象概念與具體抽象、表象的聯系與轉化，化難為易、化抽象為直觀。學生通過對數形結合歷史的認知，理解古人的智慧，并產生強烈的民族自豪感。

三、挖掘美學內涵，提升審美能力

高中數學不僅是一項邏輯思維課程，更是一項美學課程，讓學生在學習過程中感受思維美和邏輯美，可以引發學生對數學的興趣，突破學生的思維枷鎖，讓學生跳離煩瑣的公式計算和空間立體推理，在歷史故事的長河中，看到數學家為了追求簡潔美、對稱美、奇異突變美所做的努力，幫助學生發現數學的形態美和思維嚴謹美，提升學生的邏輯審美能力。

學習等比數列時，教師引入黃金分割數列。該分割比例起源于畢達哥拉斯，據說在古希臘，有一天，畢達哥拉斯經過鐵匠鋪，突然發現鐵匠打鐵的聲音非常悅耳，在駐足傾聽后，他把這個規律用數理的方式表達出來。其學派研究的正五邊形和正十邊形作圖被定義為初始黃金分割。學生都知道黃金分割比值約為1:0.618，這個數字在自然界和人們的生活中比較常見。人的肚臍是身高的黃金分割點，膝蓋又是肚臍到腳跟的黃金分割點。當一個人的身材比例接近于黃金分割點時，會顯得整個人勻稱、美麗和大方。對于黃金分割數列，其數學表達形式為：0，1，1，2，3，5，8，13，21……需要特別指出的是，該數列有第0 項，為0，第1 項是1，要求學生觀察數列并回答兩個問題，數列中具體數字之間有什么聯系？為什么將其稱為黃金分割數列。學生進行演算發現，從第二項開始，都是前兩項的和，而前一項和后一項的比值逐漸接近于黃金分割比值，被稱為最具美感的數列。

在數學教學中加入美學內容，拓展了嚴謹的邏輯計算，開闊了學生的視野，幫助學生品位數學的美，同時加深學生對知識的理解，提升了審美能力。

四、轉化經典題目，激發創新意識

數學題目萬變不離其宗，通過轉化經典的數學古題，向學生闡述古人的智慧，激發求知欲，將古題靈活用于現代式教學，挖掘思想精華，用于新題的思考，激活學生的創新意識。

楊輝三角，又被稱為賈憲三角或帕斯卡三角，用于解釋二項和的乘方規律。與楊輝三角聯系最緊密的是二項式乘方展開式的系數規律，即二項式定理。請學生根據楊輝三角圖示進行公式推導，提示，第三行中，三個數恰好對應兩數的和的平方的展開式中每一項的系數，即(a+b)2=a2+2ab+b2，第四行中，每一個數有對應的是兩個數和的立方展開式的系數，以此類推，向后的每一行都對應了兩個數和的（n-1）次方展開式系數，學生很容易計算出第（n+1）行的計算公式。那么，三個數字的和是否有相似的規律？四個數字呢……

學生在一定思維的基礎上，結合數學經驗，對后續題目進行總結計算，從而開發學生的數學思維，進行數學命題的大膽猜測和驗證，引導了學生正確的思維方向，學生在觀察過程中，闡述了自己的邏輯思維，豐富了想象，創新了數學計算方法，最終實現數學綜合能力的提高。

五、品鑒經典悖論，發展批判思維

高中數學課標要求學生在數學學習過程中，逐步認識數學的人文價值和科學價值，理解應用價值和文化價值，從數學歷史中獲得真知，在數學實踐中品鑒經典，培養并發展學生的批判意識和批判思維，體會數學的美學意義，樹立學生的辯證唯物主義觀。

極限函數有一個很經典的問題，芝諾提出的“追龜說”。這個故事講的是阿喀琉斯追烏龜的故事。阿喀琉斯是古希臘神話中有名的勇士，擅長跑步和打仗，公元前5 世紀，芝諾提出讓烏龜先位于阿喀琉斯前面的1 千米處，二者賽跑，并假定阿喀琉斯的跑速是烏龜的十倍。比賽開始，假設阿基里斯跑了1 千米，耗時t，此時烏龜領先100 米，當阿喀琉斯跑完100 米，耗時t/10，烏龜在他前面10 米，繼續跑10 米，烏龜依然繼續領先，所以，無論該勇士如何跑，烏龜都在他前面，他只能無限接近烏龜，但永遠追不上。這個結論正確么？學生指出存在的問題，因為大家都知道現實中有一種問題叫追擊問題，當前者速度慢而后者速度快時，二者經過一定的時間間隔后總會相遇。請學生思考，這兩個理論都是追擊問題，阿喀琉斯的問題出現在什么地方？如何反駁這個理論。學生發現追擊問題其實也是時間問題，在芝諾的追擊問題中，將一個固定的時間長度進行了無窮項的劃分，是數列{1000，100，10，1，0.1，···}的極限問題，引入極限的算法。那么跳出固定的時間長度，即當時間超過t 的間隔時，芝諾論還存在么？

通過引入經典故事，激發學生的認知沖突，通過引用經典入數學課程，通過批判經典，發展學生的批判思維，向學生展示不同的數學理論，指明相對和絕對區別，讓學生學會辯證地看待問題，思考問題。

綜上所述，在高中數學課程中鏈接歷史故事，有助于活躍課堂氛圍，為學生學習數學注入新的靈感，開動思維。讓學生看到了數學的實用性和價值，不再單純著眼于數學使用的思維方式，而是站在藝術和教育的層面上看數學對于人類社會的意義，從而愿意學習數學并應用數學。