完整系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)維梯度表示及其穩(wěn)定性分析

王嘉航， 顧 玲， 翟相華

（1.蘇州科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215011；2.河海大學(xué) 土木與交通學(xué)院，江蘇 南京 210098）

梯度系統(tǒng)是一類數(shù)學(xué)系統(tǒng)，是微分方程和動(dòng)力系統(tǒng)中的重要部分。 如果一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)能夠成為梯度系統(tǒng)，那么就可以利用梯度系統(tǒng)的性質(zhì)來研究力學(xué)系統(tǒng)的行為，特別是穩(wěn)定性問題[1]。 約束力學(xué)系統(tǒng)的梯度表示及其穩(wěn)定性分析研究已經(jīng)取得了一定的重要成果[2-11]，但這些研究成果大多是針對整數(shù)階模型的。 在實(shí)際應(yīng)用中，相比整數(shù)階模型而言，分?jǐn)?shù)階模型往往更為合適，如在粘彈性流體力學(xué)、量子力學(xué)、統(tǒng)計(jì)力學(xué)、砂巖力學(xué)等性質(zhì)研究時(shí)往往需要用到分?jǐn)?shù)階微分方程[12]。 近年來，分?jǐn)?shù)維研究逐漸成為了物理、力學(xué)以及數(shù)學(xué)等領(lǐng)域的熱點(diǎn)研究問題。文獻(xiàn)[13]指出任意階α≠1（包括α 為整數(shù)）的分?jǐn)?shù)維梯度系統(tǒng)都可稱之為分?jǐn)?shù)維的。關(guān)于Birkhoff 系統(tǒng)、非自治Birkhoff 系統(tǒng)、弱非完整系統(tǒng)以及完整系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)維梯度表示已有相關(guān)研究結(jié)果[14-18]。筆者進(jìn)一步研究準(zhǔn)坐標(biāo)下完整系統(tǒng)、相對運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)和變質(zhì)量完整系統(tǒng)這三類系統(tǒng)的二階分?jǐn)?shù)維梯度表示，并利用分?jǐn)?shù)維梯度系統(tǒng)的性質(zhì)研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，最后舉例說明結(jié)果的應(yīng)用。

1 準(zhǔn)坐標(biāo)下完整系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)維梯度表示及其穩(wěn)定性分析

1.1 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可以表示為[2]

其中L*為用準(zhǔn)速度表示的Lagrange 函數(shù)，有

對準(zhǔn)坐標(biāo)πs的偏導(dǎo)數(shù)定義為

其中Ps*為用準(zhǔn)速度表示的非勢廣義力，有

設(shè)系統(tǒng)非奇異，即

則可由方程（1）解出所有的ω˙s，簡單記作

1.2 系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)維梯度表示及其穩(wěn)定性分析

設(shè)準(zhǔn)坐標(biāo)下完整系統(tǒng)不含時(shí)間t，若將方程（6）化為梯度系統(tǒng)，需要將其表示為一階形式，令

則方程（6）可統(tǒng)一表示為

其中

對于式（8），如若滿足以下條件

則它是一個(gè)梯度系統(tǒng)，此時(shí)可求得勢函數(shù)V=V（a），使得

應(yīng)注意，如果條件（10）不滿足，還不能斷定它不是一個(gè)梯度系統(tǒng)，因?yàn)檫@依賴于方程組的一階表達(dá)形式[1]。

一般情況方程（8）不是一個(gè)α＝2 階的分?jǐn)?shù)維梯度系統(tǒng)，若滿足則是一個(gè)α＝2 階的分?jǐn)?shù)維梯度系統(tǒng)。

滿足條件（12）的分?jǐn)?shù)維梯度系統(tǒng)，可以求得勢函數(shù)V=V（a），使得

如果勢函數(shù)V 在解的鄰域內(nèi)正定，那么勢函數(shù)V 可取為Lyapunov 函數(shù)，利用Lyapunov 定理來研究解的穩(wěn)定性，也可利用Rumyatsev 定理來研究系統(tǒng)部分變量的穩(wěn)定性。如果勢函數(shù)V 不能成為Lyapunov 函數(shù)，那么根據(jù)分?jǐn)?shù)維梯度系統(tǒng)任一平衡點(diǎn)處的線性化系統(tǒng)都只有實(shí)特征值這一性質(zhì)，可通過求解其線性化系統(tǒng)的特征根來分析解的穩(wěn)定性：如若特征根全為負(fù)實(shí)根，則解是漸近穩(wěn)定的；如果特征根存在正實(shí)根，則解是不穩(wěn)定的。

1.3 舉例

二自由度系統(tǒng)為

試將其化為α＝2 階的分?jǐn)?shù)維梯度系統(tǒng)，并研究零解的穩(wěn)定性。

解 由系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程（1）得

令，a1=q1， a2=q2， a3=-ω1， a4=-ω2。

由方程（8）得

因?yàn)?/p>

所以條件（10）不滿足，此系統(tǒng)不是一個(gè)通常梯度系統(tǒng)。 但滿足條件（12），所以該系統(tǒng)是α＝2 階的分?jǐn)?shù)維梯度系統(tǒng)。

由式（13）可以求出勢函數(shù)V 為

勢函數(shù)V 在a1=a2=a3=a4=0 的鄰域內(nèi)正定，由Lyapunov 定理可知：零解a1=a2=a3=a4=0 是穩(wěn)定的。

2 相對運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)維梯度表示及其穩(wěn)定性分析

2.1 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程有形式[2]

2.2 系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)維梯度表示及其穩(wěn)定性分析

勢函數(shù)在a1=a2=0 的鄰域內(nèi)正定，根據(jù)Lyapunov 定理可知：零解a1=a2=0 是穩(wěn)定的。

3 變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)維梯度表示及其穩(wěn)定性分析

3.1 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程有形式[2]

設(shè)系統(tǒng)（28）非奇異，即設(shè)

則可由方程（28）解出所有廣義加速度，記作

令

則方程（31）可寫為

其中

引進(jìn)廣義動(dòng)量ps和Hamilton 函數(shù)H

則方程（28）可以寫為

其中

方程（36）還可寫成如下的形式

其中

3.2 系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)維梯度表示及其穩(wěn)定性分析

一般來說，系統(tǒng)（33）或者（38）都不是梯度系統(tǒng)，對于方程（33），如果滿足條件

則是一個(gè)α＝2 階的分?jǐn)?shù)維梯度系統(tǒng)。 對于方程（38），如果滿足條件

方程（33）或者方程（38）在條件（43）或條件（44）下，可以化成階α＝2 的分?jǐn)?shù)維梯度系統(tǒng)，如果勢函數(shù)V在解的鄰域內(nèi)正定，可以利用Lyapunov 定理來研究解的穩(wěn)定性，也可利用Rumyatsev 定理來研究系統(tǒng)部分變量的穩(wěn)定性。

3.3 舉例

一變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)以水平角β 的初速度v0射出后，在重力場中運(yùn)動(dòng)，其質(zhì)量變化規(guī)律為m=m0exp（-γt），其中m0，γ 為常數(shù)，假設(shè)微粒分離的相對速度vr的大小為常量，方向永遠(yuǎn)與v0相反。 試將系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程化為α＝2 階的分?jǐn)?shù)維梯度系統(tǒng)，并且研究其零解的穩(wěn)定性。

解 系統(tǒng)的Lagrange 函數(shù)和反推力分別為

其中，q1=x，q2=y 分別為水平坐標(biāo)和鉛垂坐標(biāo)，廣義力為

4 結(jié)語

研究了準(zhǔn)坐標(biāo)下完整系統(tǒng)、相對運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)和變質(zhì)量完整力學(xué)系統(tǒng)這三類系統(tǒng)成為α＝2 階的分?jǐn)?shù)維梯度系統(tǒng)的條件，并給出勢函數(shù)V。 若勢函數(shù)V 可以取為Lyapunov 函數(shù)，則可以利用Lyapunov 定理來研究解的穩(wěn)定性，也可利用Rumyatsev 定理來研究系統(tǒng)部分變量的穩(wěn)定性；如果勢函數(shù)V 不能成為Lyapunov函數(shù)，則可以根據(jù)其線性化系統(tǒng)的特征根的正負(fù)來判斷解的穩(wěn)定性。 例題說明了方法的有效性。