關于整函數的周期性研究

趙 瑩， 孫桂榮

（蘇州科技大學 數學科學學院，江蘇 蘇州 215009）

1 引言及主要結果

假設讀者熟悉亞純函數Nevanlinna 值分布理論的基本內容和相關符號[1-3]。 特別地，ρ（f）表示整函數f（z）的級，當ρ（f）＜∞時，稱f（z）為有窮級整函數。

在復域微分方程方面，有很多學者研究了微分方程解的增長性、零點分布等[4-5]，而Eremenkot[6]發現周期性對Kuramoto Sivashinsky 方程的亞純函數解表示有重要作用。這些都說明研究亞純函數的周期性問題具有重要意義。然而，針對熟知亞純函數與整函數之間的關系，筆者主要研究的是整函數的周期性。1978 年，日本學家Ozawa[7]就證明了存在大量周期整函數。

眾所周知，任何以c 為周期的周期整函數f（z）都可以寫成一個處處收斂的級數

Baker[8]證明了如果f（z）是一個非常數的整函數，而p（z）是一個多項式，且deg p（z）≥3，那么f（p（z））不是周期函數。 最近，關于整函數的周期性問題，有部分學者圍繞著楊重駿提出的一個猜想進行了研究。

猜想1[9]假設f（z）是超越整函數，對某個正整數k，如果f（z）f（k）（z）是周期函數，則f（z）也為周期函數。

2018 年，王培和扈培礎[9]證明了k=1 時猜想是正確的。

定理1 假設f（z）是超越整函數，對某個正整數k，如果（f2（z））（k）是周期函數，則f（z）也是周期函數。

隨后，劉凱等人[10]研究了當f（z）有非零Picard 例外值時，猜想1 是正確的。

定理2 假設f（z）是超越整函數，d≠0 是f（z）的一個Picard 例外值，對某個正整數k，如果f（z）f（k）（z）是周期函數，則f（z）也為周期函數。

思考 猜想1 中研究的整函數f（z）f（k）（z）的形式與Hayman 猜想的其中一種形式f（k）（z）fn（z）相似，能在一定條件下得到f（z）是周期函數，故筆者想到Hayman 猜想的另一種形式f′（z）-afn（z），那么在一定條件下，是否也能推出f（z）是周期函數呢？

定理3 假設f（z）是有窮級超越整函數，0 為f（z）的一個Picard 例外值，如果f′（z）-afn（z）（n≥2）是周期為c 的函數，則f（z）=eaz+b，其中a，b≠0，并且eac=1，即f（z）是以c 為周期的周期函數。

問題1 如果f（z）有非零Picard 例外值，那么，定理3 的結論是否成立？

對這個問題進行了進一步的討論，得到以下結論。

定理4 假設f（z）是有窮級超越整函數，d 為f（z）的一個非零Picard 例外值，如果f′（z）-afn（z）（n≥2）是周期為c 的函數，則f（z）=eaz+b，其中a，b≠0，并且eac=1，即f（z）是以c 為周期的周期函數。

2 引理

（2）當1≤k＜j≤n 時，gj（z）-gk（z）不恒為常數；

（3）當1≤j≤n，1≤h＜k≤n 時，T（r，fj）=o{T（r，exp（gh-gk））}（r→∞，r?E），其中E?（1，∞）是有窮的對數測度。

3 定理3 的證明

由于0 是f（z）的一個Picard 例外值，且f（z）是有窮級超越整函數，因此存在多項式p（z），使得f（z）=ep（z）且T（r，p（z））=S（r，f）。

因為f′（z）-afn（z）是周期函數，且周期為c，則

接下來，由引理1 對（2）式進行兩種情況討論。

情形1 deg p（z）≥2

由于e（n-1）（az+b），e（n-1）（az+b）+na都不為常數，由引理1 知，eac=1。

故

即f（z）是以c 為周期的周期函數。

定理3 得證。

4 定理4 的證明

由于d 是f（z）的一個非零Picard 例外值，且f（z）是有窮級超越整函數，因此存在多項式p（z），使得f（z）=ep（z）+d 且T（r，p（z））=S（r，f）。

因為f′（z）-afn（z）是周期函數，且周期為c，則

故ac=0。 f（z+c）=ea（z+c）+b+d＝eaz+ac+b+d=eaz+b+d＝f（z）。

即f（z）是以c 為周期的周期函數。

定理4 得證。

5 結語

文中主要研究的是形如Hayman 猜想形式的整函數的周期性，得到了一些相關結果，證明了超越整函數f（z）在有Picard 例外值時（包含零和非零兩種情況），如果f′（z）-afn（z）（n≥2）是周期函數，則f（z）也為周期函數。 在文中的研究基礎上，可開展更廣泛的研究工作，可以探討如果f（z）沒有例外值，或者是更一般的形式，此結論是否成立。