含時摩擦系數和擴散調控布朗粒子的異常輸運

由曌婷,羅玉輝,2,楊鳳藻

(1.昆明理工大學 理學院，云南 昆明 650500;2.昭通學院 物理與信息工程學院，云南 昭通 657000)

近年來，遠離平衡態的異常輸運現象[1-2]激起了很多學者的興趣，得到了廣泛的關注.該現象中的棘輪效應[3-4]和負遷移現象[5-7]被廣泛研究.棘輪效應，其特征是在沒有外部擾動的情況下，平均的有向運動已經是非零的，并且在整個正、負的靜力范圍內不改變其方向.在過去的幾十年里，這一輸運現象已經被研究在各種系統中[8-10].此外，負遷移現象是一種看似矛盾的運動，其粒子的運動方向與一個小的外力方向相反，這與熱力學第二定律相違背，熱力學第二定律[7,11]指出：當系統處在熱力學平衡時，負遷移發生是不可能發生的.然而，當一個時間周期力驅動一個系統，使得系統遠離平衡，負遷移現象的發生成為可能.這一現象已經在實驗驗證[12]和理論預測[13-14]被研究.

近二十年來，棘輪效應和負遷移等異常現象被廣泛研究[7,15-17].可以注意到，在以往的大多研究中把摩擦系數假設為是一個常數.然而，眾所周知，在真實系統中，摩擦研究起來是非常復雜的，理論[18-20]和實驗[21]的研究都證明了摩擦系數不是一個常數，而是隨某些參數而變化的，例如它會隨著位置、速度[22]、溫度[23]、時間[24]而發生變化.近來，大量的研究[25-26]證明了含時的摩擦在布朗粒子的運動中起著極其重要的作用.那么，含時摩擦系數是如何影響慣性布朗粒子的輸運呢?推測,它將顯著地影響粒子的輸運行為(比如，棘輪效應,負遷移現象和異常擴散).此外，擴散系數在一定程度上受到初始擴散系數的影響，從而對系統產生影響.因此，在上述討論的推動下，慣性布朗粒子在含時摩擦系數和初始擴散系數的對稱周期勢中的粒子輸運問題仍然是一個懸而未決的問題，也是本研究的主題.

1 模型

考慮一個慣性布朗粒子受到時間周期力和外部偏置力的驅動在空間周期對稱系統中的運動.其中振幅為a，角頻率為ω的時間周期力使得系統處于非平衡狀態.因此，粒子的欠阻尼動力學是由阻尼系數γ(t)和熱漲落導致的含時的擴散系數d(t)引起的含時擴散的朗之萬方程建模的，即

(1)

其中撇表示x的導數.η(t)是零均值的一個高斯白噪聲<η(t)>=0，不同時刻之間存在δ關聯，即<η(t)η(t′)>=δ(t-t′).V(x)周期為L的對稱周期勢V(x)=V(x+L),勢壘高度ΔV，顯正弦形式為:

(2)

γ(t)代表含時的阻尼系數[26]，即

(3)

其中γ0是初始時刻的阻尼系數γ0=γ(0)，此外，它包含了含時的溫度T(t)，表示形式為

(4)

這里的擴散的冪律指數α≥0，T0是初始溫度T0=T(0)，τ0表示為溫度衰減的時間特征.τ0的值越大，溫度下降得越慢.因此，在這里我們考慮由熱漲落導致的含時的擴散系數[26]，即

(5)

其中d0是初始擴散系數d0=d(0).因此，在引入含時的阻尼系數和擴散系數，方程式(1)可重寫為：

(6)

在本文中，固定參數振幅a=4.2，角頻率ω=4.9，周期L=1，初始摩擦系數γ0=1，勢壘高度ΔV=1.

一般地，朗之萬方程(6)對應的福克-普朗克方程是無解的.因此，為了研究相關的異常輸運的現象，必須使用數值模擬方法.文中采用步長為Δt=10-2的精確的歐拉算法.速度和位移的初始條件是滿足在區間[-1,1]上的均勻分布的，所有的平均值是通過500條不同的軌道得到的，每條隨機軌道演化迭代次數為107次.此外，通過平均速度、平均軌道、均方位移以及含時的擴散系數來研究異常輸運的特性.

2 數值模擬結果

在圖1中，描述了對于不同的初始擴散系數D0，v作為偏置力f的函數，當f=0時，隨著初始擴散系數D0的增大，平均速度?v?也在增大，也就是說，隨著初始擴散系數D0的增大，棘輪效應在增強.此外，我們發現當f≠0時，隨著初始擴散系數D0的增大，平均速度v的值也是在增大的.對于圖2，當無偏置力(f=0)，初始擴散系數D0在增大時，平均軌道隨著時間t的增大而增大，換句話說，平均速度隨著初始擴散系數D0的增大而增大.這與圖1結果相一致.總之，初始擴散系數D0增強了棘輪效應.

圖3中，描述了對于不同的溫度衰減的時間特征τ0，v作為偏置力f的函數，當f=0時，隨著溫度衰減的時間特征τ0的增大，平均速度v在減小，也就是說，隨著溫度衰減的時間特征τ0的增大，棘輪效應在減弱.此外，我們發現當f≠0時，隨著溫度衰減的時間特征τ0的增大，平均速度v的值反而是在減小的.對于圖4，當無偏置力(f=0)，溫度衰減的時間特征τ0在增大時，平均軌道隨著時間t的增大而減小，換句話說，平均速度隨著溫度衰減的時間特征τ0的增大而減小.這與圖3結果相一致.簡言之，溫度衰減的時間特征τ0減弱了棘輪效應.

圖5中，描述了對于不同的擴散的冪律指數α，v作為f的函數，當f=0時，擴散的冪律指數α較小(取α=0.5)時，平均速度為-0.02，顯然棘輪效應出現，但是當擴散的冪律指數較大(取α=1.0)時，隨著偏置力f的變化，擴散的冪律指數在0附近波動，即平均速度幾乎為零，換句話說，棘輪效應消失，然而當擴散的冪律指數更大(取α=1.5)時，從圖5中的小圖很顯然發現有負遷移現象發生.圖6刻畫了當無偏置力(f=0)時，平均軌道隨時間的變化的曲線，擴散的冪律指數α較小(取α=0.5)時，隨著時間t的增大，平均軌道是負的，即平均速度是負值，但是隨著擴散的冪律指數α的增大，平均軌道趨近于零，即平均速度為零.這與圖5相吻合.

τ0=10，γ0=1，α=1.5 τ0=10，γ0=1，f=0，α=1.5 圖1 平均速度隨偏置力f變化的曲線 圖2 平均軌道隨時間t變化的曲線

D0=10，γ0=1，α=1.5 D0=10，γ0=1，f=0，α=1.5圖3 平均速度隨偏置力f變化的曲線 圖4 平均軌道隨時間t變化的曲線

τ0=10，γ0=1，D0=10 τ0=10，γ0=1，D0=10，f=0圖5 平均速度隨偏置力f變化的曲線 圖6 平均軌道隨時間t變化的曲線

圖7中，描述了均方位移和依賴時間的擴散系數隨時間變化的曲線圖.圖7(a)～ (c),通過均方位移 ?x2(t)?∝tβ來研究粒子的擴散，對所得到的結果進行線性擬合， 0<β<1是亞擴散，β=1是正常擴散， 1<β<2是超擴散，β=2是彈道擴散，β>2是巨擴散.為了更好地理解粒子的擴散性質，我們也呈現了依賴時間的擴散系數如圖7(d)～(f).從圖7(d)中發現，當D0=0.1時，D(t)在短時間內隨著時間的變化先減小，然后恒定不變，最后增大，即粒子先經歷亞擴散，然后正常擴散，最終超擴散；當初始擴散系數較大時(如D0=1，10)時，D(t)在短時間內隨著時間的變化一直增大，即粒子經歷超擴散.此外，隨著初始擴散系數D0增大，擴散系數也在增大.圖7(e)，當τ0=10時，D(t)在短時間內隨著時間的變化一直增大，即粒子經歷超擴散；當溫度衰減的時間特征τ0較大(如τ0=100，1 000)時，D(t)在短時間內隨著時間的變化先增大，然后恒定不變，最后增大，即粒子先經歷超擴散，然后正常擴散，最終超擴散.此外，隨著溫度衰減的時間特征τ0增大，擴散系數在減小.從圖7(f)，我們可以發現，當α=0.5時，D(t)在短時間內隨著時間的變化先增大，后減小，最后增大，即粒子先經歷超擴散，然后亞擴散，最終巨擴散；當α=1.0時，D(t)在短時間內隨著時間的變化先增大，然后恒定不變，即粒子先經歷超擴散，然后正常擴散；當α=1.5時，D(t)在短時間內隨著時間的變化一直在增大，即粒子經歷超擴散.

圖7 均方位移(上)和依賴時間的擴散系數(下)隨時間t變化的曲線.

3 結語

借助于數值模擬研究了在空間周期對稱系統中慣性布朗粒子在外部偏置力和時間周期力的驅動下的輸運問題，進而討論了含時的摩擦和擴散系數對粒子異常輸運的影響.研究結果表明：隨著初始擴散系數D0的增大，擴散系數在增大，棘輪效應在增強.然而隨著溫度衰減的時間特征τ0的增大，擴散系數在減小，棘輪效應在減弱.當擴散的冪律指數α較小時，有棘輪效應現象出現，但是當擴散的冪律指數較大時，棘輪效應消失，然而當擴散的冪律指數更大時，負遷移現象出現.此外，不同的初始擴散系數、溫度衰減的時間特征、擴散的冪律指數對應于不同的擴散.我們的發現可能應用于粒子的分類[14，27]、癌細胞的分離[28-29]、分子馬達的控制[30]以及其它微觀現象.