高中數學錯題資源的成因、整合及其治理研究

◎沈 陽 (江蘇省濱海中學，江蘇 鹽城 224500)

錯題資源作為一種有效的教學素材，常常受到高中數學教師的青睞.在高中數學教學中，引入錯題資源不但可以幫助教師及時發現學生的錯誤理解，還可以促使學生及時發現自己的思維誤區，從而促使教師和學生進行及時的溝通，激活學生思維活力，幫助學生走出思維困境.因此，這就要求教師需要選擇具有代表性、典型性、針對性的錯誤題目，幫助學生正確理解數學知識，彌補學生思維的不足，構建科學的錯題資源庫，從而幫助學生走出思維的“泥濘地”，不斷地優化課堂教學效果.

一、高中數學錯題資源的成因分析

1.高中生對數學的概念、定理理解不透

學生在學習過程中，由于對教師所講的基本知識的內容沒能理解吃透，在其運用相關的概念和定理進行解題時，致使學生的解題思路模糊不清，難以真正地靈活運用所學的知識點.如果出現這樣的情形，教師可以對與此類錯題相關的知識點進行復習鞏固，加深學生對知識點的理解，以便使其更好地理解概念和定理.因此，教師在教學時，一定要對概念、定理進行仔細分析，理解吃透，才能真正學會、掌握.

2.高中生對數學知識點的理解能力欠缺

學生的理解能力與數學學習密切相關.學生的理解能力越強，靈活運用相關知識的水平也就越高，數學學習成績自然也是水到渠成的.有些學生擅長于數學計算，有的學生解題思路清晰，還有的學生問題解決能力比較好.因此，能力不同的學生會在解題過程中出現形形色色的問題，這些不同的問題直接反應了學生理解能力的高低.因此，針對理解能力不佳的學生，教師在講解錯題時需要引導他們直擊問題的要害，精準找出錯誤所在.

3.高中生對數學知識點的思維方式僵化

在高中階段，數學題目的解題很少有簡單的公式、概念、定理的套用，而是會綜合許多學過的知識點，這就需要學生去仔細分析思考，尋找這個題目中用了哪些知識點，以及知識點之間的思維關聯，才能正確地解題.好多高中數學題都是正向求解，學生相對而言解題會很快，一旦題目發生改變，需要逆向求解，那么學生就會出現錯誤，這就反映了學生在解題上存在著思維固化，或者思考的深度不夠.因此，教師在教學時，要告訴學生題目變化的多樣性，不要用一種方式去解題，要融會貫通，學以致用.

二、高中數學錯題資源的整合思考

1.錯題來自學生的整合

在高中階段，學生為了學好數學，提高數學成績，就必須要做大量的習題，只有通過大量數學題的積累才會在數學解題上有質的飛躍，做到熟能生巧.運用自如.大量的刷題就會導致學生在做題的過程中出現這樣或那樣的錯誤.而學生做題錯誤率的高低直接反映學生對數學知識的掌握程度，也能從中看出學生數學成績的進退.雖然學生在練習或者考試中的錯誤的成因不一樣，但具有很多相似之處.為了保證下一次不再重復犯錯，需要將直接反映學生學習程度的錯題進行整合，因為這些錯題可以進行二次開發，可以讓學生加深理解這類題型，從而促使學生真正掌握.

2.錯題來自教師的綜合

由于教師在多年的數學教學實踐中，教了好多屆學生，通過對以往學生大量的習題批改、試卷講評，已經收集了許許多多在數學解題過程中存在的共性錯題，從而知道現在教的學生也許會出現以往學生同樣出現過的錯題.因此，教師在教學過程中需要提示學生，注意不再發生以往同樣的錯誤，更好地學好數學.

3.錯題來自經典的匯合

經典錯題題型都會出現在不同的綜合復習資料中，這些復習資料對學生的學習起到非常大的幫助.如易錯型的數學資料、錯題集錦等等.毫無疑問，這些資料都會對經典錯題進行細致的分析，以此方便教師在教學時能夠針對錯題進行深度講解，從而幫助學生找出錯題的原因，厘清正確的解題思路，科學地解決數學問題，彌補教師數學教學的不足，從而可以不斷地提升數學教學效果.

三、高中數學錯題資源的有效治理

1.正確的錯題管理促進學生頓悟數學知識

每個學生作為一個獨立的個體，他們的數學水平參差不齊.因此，在面對某一數學題目時，所犯錯誤也截然不同，為了幫助學生能夠充分利用課堂時間反省錯誤、糾正錯誤，高中數學教師需要引導學生選擇具有代表性的典型題目，并以這些題目為著眼點，指導學生如何規避一些常犯的錯誤，以及如何正確去理解運用對應的數學概念，從而獲得正確的解題思路，掌握有效的學習方法，培養學生做題的感覺，增強學生學好數學的自信心，讓他們的數學能力可以得到真正的提升.例如在教學“冪函數”時，冪函數的形式為y=xk,在討論冪函數的性質時，學生將k值分為大于零和小于零兩種情況.其中當k>0時，冪函數圖像都經過點(0,0)和(1,1)，在第一象限內遞增；而當k<0時，學生們開始出現了分歧，有的學生認為冪函數圖像只經過(1，1)，在第一象限內遞減，而有的學生則認為冪函數還是經過點(0,0)和(1.1)，在第一象限內遞減.面對學生的分歧，筆者讓他們先試圖根據自己的猜想在草稿紙上畫出冪函數圖形，很顯然當k<0時，如果按照部分學生的思路，冪函數經過點(0,0)和(1,1)，在第一象限內先遞增后遞減，這時筆者沒有直接指出對錯，而是啟發性地問道：“函數自變量的取值范圍是什么”？這一點撥瞬間讓犯錯誤的學生迷途知返，然后加以糾正得出了冪函數的性質，最后筆者還不忘提醒學生將錯題收納到自己錯題本上，以此來提示自己下次不要再犯同樣的錯誤.通過本節課的教學，不但可以培養學生自主思考的能力，而且還有助于學生形成錯題意識，從而為其問題解決能力的提升做好準備.

2.整合錯題資源有助于強化學生理解能力

高中數學知識內容的整體數量劇增，數學語言也更加抽象.因此，學生常常因為理解不到位而犯下種種錯誤，這些錯誤不僅反映了學生知識的薄弱點，而且還反映了不同層次的學生對知識的掌握情況.由此可以得出，這些錯誤是教學中的寶貴資源，為了充分挖掘錯題資源的價值，教師需要在日常教學中引導學生去翻閱自己所整理的錯題，并根據學生的學情，巧妙地運用這些錯題資源來激發學生的潛能，讓學生可以溫故而知新，不斷產生新的數學啟發.例如在教學“二次函數”時，其中有這樣一道例題：已知矩形ABCD，AB=3,BC=1,在AB,BC上分別取點E，G，在BC，DA上或在BC，DA延長線上分別取點F，H，使得BE=BF=DG=DH=x，設四邊形EFGH與矩形ABCD重合四邊形的面積為y，求y與x的函數關系.在面對這一道題目時，很多學生由于思維定式或者審題不清很容易得出錯誤答案y=-2x2+4x，于是根據他們所犯的錯誤，首先筆者引領他們認真讀題，得出自變量的取值范圍0≤x≤3，學生恍然大悟，開始分情況討論，在分情況的過程中，對于學生遺漏x=2這一情況，筆者再次啟發學生，直到學生將0≤x<1、x=2、2

3.分析錯題思路有效改善學生的思維方式

常言道，學習知識要善于分析，分析，再分析.從這句話不難看出分析在學習中的重要地位.進入高中階段，數學學習的思維方式向理性層次躍遷.這就要求高中數學教師在教學過程中引導學生不斷分析錯題，不斷總結經驗，從而促使學生在深入分析的過程中，逐漸改變自己已經形成的錯誤思維，走出解題的困境，產生數學靈感，形成正確的解題思路，為其后續順利地解決數學問題奠定良好的基礎.例如在課堂教學活動中，筆者給學生呈現了這樣一道題目：已知f(x)=loga(2-ax)(a>0且a≠1)在[0,1]上是減函數，則實數a的取值范圍？學生給出解題過程：a>0,y=2-ax是減函數，由復合函數單調性可得出y=logax是增函數，所以a>1.很明顯答案是錯誤的，因為學生在遇到復合的函數時，忽略了函數的定義域，從而導致了錯誤.面對這一現象，筆者引導學生回憶課堂上學習函數的一些原則，通過回憶，學生脫口而出：“函數一定要堅持定義域優先的原則”，在這一原則的指導下，學生重新做這一道題目，很快得出了正確的答案：a>0,y=2-ax是減函數,由復合函數單調性可得出y=logax是增函數,所以a>1,由于2-ax>0在x的取值范圍[0,1]上恒成立，所以2-ax1>0,所以a<2，綜合可以得出實數a的取值范圍為1

總之，錯題資源在高中數學教學過程中可以循環使用，教師應充分挖掘并發揮錯題資源的價值，不但可以更好地去糾正學生在學習過程中常犯的致命錯誤，彌補學生的思維缺失，而且可以進一步培養學生嚴謹的學習態度，養成良好的學習習慣，提升學生分析問題的能力，促進學生的推理決策，從而有利于學生的數學認知由低層次上升到高層次，促使學生的數學思維向縱深方向發展，使學生的數學核心素養快速生成、落地、開花結果，不斷提升高中數學課堂教學的效果.