基礎隔震高層建筑結構減震系數研究

賴正聰，潘 文，白 羽，葉燎原，張田慶，賈 毅

(1.昆明理工大學 建筑工程學院，昆明 650500；2.云南省抗震工程技術研究中心，昆明 650500；3.中國建筑第二工程局有限公司，昆明 650500)

隔震結構在抵抗可能遭遇的超罕遇烈度地震作用方面，較非隔震結構具有更高的安全儲備、優勢更為顯著。目前，隔震技術應用正從低矮建筑向高層建筑延伸發展。高寬比較小的低矮隔震結構在地震作用下，基本以整體平動及剪切變形為主，不易發生傾覆。而高寬比較大的高層隔震結構在地震作用下，彎剪變形較為突出，往往因受到較大的傾覆力矩作用而呈現相對顯著的翻轉，隔震層傾角反應也更為劇烈[1-2]。

由于隔震后結構所受到的實際地震作用將顯著減小，從而結構所受內力也隨之大幅減小[3]。因此，在結構設計中可根據內力減小的程度酌情對上部結構地震作用及抗震措施要求適當降低。對此，目前主要根據水平向減震系數大小來確定降低幅度。而正如上所述，低矮建筑與高層建筑在地震作用下的主要受力及變形特征有所不同，新修編的國家標準GB 50011—2010《建筑抗震設計規范》[4](以下簡稱《抗規》)提出：對于多層建筑，取樓層剪力最大比值；對于高層建筑還應考慮傾覆力矩比，并取剪力比與力矩比的較大值。而《建筑隔震設計標準》(征求意見稿)中因采用直接帶隔震層進行結構設計的做法，不存在地震力降低的問題，但針對抗震措施要求降低的規定中強調了用隔震后、前的底部剪力比進行劃分，不再考慮力矩比的影響。兩部標準之間具有顯著的差異。針對上述相關問題，目前僅有少數學者結合實際結構算例[5]或就特定比值的影響因素[6-8]進行了分析，未能給出普適性的結論，尚無缺乏較為深入全面的機理性研究。

本文針對質量、剛度沿高度分布相對均勻的基礎隔震高層建筑結構建立其等效梁模型，基于振型分解反應譜法、編制MATLAB計算程序，分別對隔震及非隔震結構振型數、振型參與質量、地震剪力、力矩等關鍵指標進行探討分析。給出了確定水平向減震系數指標的臨界剛度比、臨界周期比。進一步分析了該兩個臨界比值對減震系數的一般性控制規律。所得研究成果可為相關理論研究及工程應用提供參考和依據。

1 基于等效梁模型的動力分析

高寬比較大的基礎隔震高層建筑結構，其上部結構質量、剛度沿高度分布往往相對較為均勻。可采用圖1所示的等效隔震梁模型進行模擬分析。隔震層總體水平等效剛度Kh、總體抗傾覆轉動剛度Kθ、隔震層水平總體等效黏滯阻尼系數Ch、轉動等效黏滯阻尼系數Cθ均可根據支座性能及布置參數確定[9]。

圖1 基礎隔震高層剪力墻結構簡化分析模型

在非隔震情況下，代以圖2(a)所示的懸臂梁模型。設其受到側向水平激勵力f(x,t)的作用，在不考慮圖2(b)中微元體上轉動慣性力影響的情況下，可采用經典Bernoulli-Euler梁模型進行分析。實際結構在水平力作用下，將同時發生彎曲及剪切變形，但對于本文所探討的問題，采用同時包含兩種變形的整體等效抗彎剛度同樣可得到較為準確的分析結果[10]。梁橫向振動控制微分方程為

圖2 非隔震懸臂梁

(1)

式中：E為材料彈性模量；I為截面等效慣性矩；ρ為材料密度；A為等效截面積。

自由振動情況下，激勵力f(x,t)=0，振動方程演變為式(2)

(2)

采用分離變量法求解式(2)，假設其解y(x,t)可表示為[11-12]

y(x,t)=φ(x)q(t)

(3)

將其代入式(2)，經簡單整理后可分別得到關于模態函數φ(x)和廣義坐標q(t)的兩個獨立微分方程。求解關于φ(x)的4階微分方程可得

φ(x)=C1cosβx+C2sinβx+C3chβx+C4shβx

(4)

其中，

(5)

積分常數Cj(j=1，2，3，4)及參數ω可由滿足特定邊界條件的頻率方程確定，ρl=ρA。

對于總高度為l(梁總長)的非隔震結構，Chopra已給出對應的頻率方程

1+cosβlchβl=0

(6)

利用數值方法求解式(6)，當n=1,n=2,n=3和n=4時，得到

βnl=1.875,βnl=4.694,

βnl=7.855,βnl=10.996

(7)

對應前4階固有頻率分別為

ωn=3.516f0,ωn=22.03f0,

ωn=61.7f0,ωn=120.9f0

(8)

引入邊界條件后，非隔震結構模態函數可表達為

φn(x)=chβnx-cosβnx-

(9)

對應前4階振型曲線如圖3所示。

圖3 非隔震懸臂梁梁振型曲線

對于隔震結構，不考慮阻尼的情況下，等效梁底部即隔震層所受瞬時力矩、剪力分別等于彈簧(支座)翻轉力矩及支座水平剪力。在結構頂部截面處，彎矩、剪力均為0。由以上邊界條件及式(3)～式(5)可得特征方程

(10)

由式(10)、式(5)即可求解各階頻率ωn。但該式較為復雜，難以得出解析解，將基于MATLAB平臺采用數值方法進行計算。通過把所求出的頻率ωn代入由隔震結構邊界條件確定的以待定系數Cj為未知量的方程組便可得到各階模態函數φn(x)。

(11)

式中，Mn，Cn，Kn分別為第n階振型的廣義質量、廣義阻尼系數、廣義剛度。

(12)

(13)

(14)

(15)

式中：Cb為隔震層整體等效黏滯阻尼系數，非隔震結構計算時取0；C0為上部結構Rayleigh阻尼系數。

由此，可采用與離散系統相同的求解方法對隔震與非隔震結構各階地震響應進行計算，然后通過各階峰值反應組合得到隔震等效梁的最大地震反應。計算時，隔震支座水平剛度采用等效水平剛度，以將其非線性行為作等效線性化處理。因高寬比較大的高層隔震建筑形狀往往較為規則，扭轉反應相對較小[13]，因此，可按SRSS組合進行計算。

2 基本問題分析

2.1 隔震結構

工程實踐經驗表明，結構隔震前、后周期比、抗側移剛度比對結構計算振型數及計算結果直接相關，現對相關問題作簡要探討。有效參與振型數需根據有效振型參與質量系數確定，該系數可按式(16)計算。

(16)

圖4給出了不考慮等效梁質量、截面積沿高度變化的情況下，隔震結構1階及1階+2階振型參與質量系數與隔震后、前結構1階周期比rT1的關系。可見，當1階周期比rT1>1.3時，1階振型參與質量系數已超過90%，意味著該情況下可僅考慮1階振型反應即可。而1階+2階的值在所給出的1階周期比范圍(1～5)內均已大于90%。

圖4 隔震結構振型參與質量系數與1階周期比的關系

不妨假設上部結構在沿高度均勻分布水平側向力作用下，基于頂點位移相等的等效梁整體等效截面慣性矩為Ieq(不考慮彈模變化)，則對應的整體抗側移剛度Ks為

(17)

隔震層總體等效水平剛度Kh與Ks具有相同量綱，而總體等效翻轉剛度為Kθ的量綱則不同于Ks。定義無量綱剛度比值rkh=Ks/Kh，rkc=Kθ/Khl2，前者表示上部結構與隔震層抗側移剛度比，后者則為隔震層翻轉剛度與側移剛度比。

圖5給出了不同rkc對應的rkh與rT1關系曲線。可以看到，周期比rT1隨剛度比rkh的增大而增大。rkc由1.6增大到6.4，即增大4倍的情況下，曲線變化較小。意味著隔震層等效翻轉剛度Kθ對結構周期影響較小。在不考慮Kθ影響的情況下，按照前述等效梁動力分析方法，重新計算不同剛度比rkh下隔震后、前結構周期比rT1，通過數值擬合可得到

圖5 rkh與rT1關系曲線

(18)

由式(18)可計算得到與rT1=1.3對應的rkh值為0.8。由前面分析可知，當rkh=0.8時，隔震結構1階振型參與質量系數便超過90%，結構地震反應以基本振型貢獻為主，高階振型反應可忽略。

需作說明的是，本文定義的Ks為結構整體等效側移剛度，并非特定樓層剛度，盡管看似當rkh=0.8時，上部結構剛度較隔震層剛度小，但實際上，從定義式(17)不難發現，對于單一樓層，l要小得多，相應的樓層抗側移剛度值則要大得多。

2.2 非隔震結構

(19)

(20)

表1 非隔震結構前4階參數

表1中為Tun第n階非隔震結構周期，可表達為

(21)

其中，前4階的ωn由式(8)給出，依次代入式(21)可得

(22)

式中，cn依次為式(8)中的各項系數值：3.516，22.03，61.7，120.9。

對于質量沿高度分布相對均勻的高層剪力墻結構而言，可有

(23)

因而，式(22)可變為

(24)

根據式(17)以及rkh的定義，式(24)改寫為

(25)

由表1可見，質量及剛度沿高度分布相對均勻的非隔震結構前4階有效振型參與質量系數之和為0.91。意味著，采用振型分解反應譜法計算時，可僅考慮前4階的貢獻。實際上，前2階振型對結構反應起主要控制作用，該2階的有效振型參與量系數之和已達0.82。

關于這一點，也可由圖6中以賴正聰等研究中的縮尺模型為算例、采用本文等效梁模型計算所得樓層剪力結果看到。圖中縱坐標為各樓層標高與結構總高度(7.576 m)的比值。第1階振型對應的樓層剪力分布基本符合拋物線形狀。而從第2階開始，振型曲線均具有反相位特征，參與振型疊加后，必然導致圖中樓層剪力分布曲線的拋物線形狀發生變形。但從數值上看，仍以第1階振型貢獻為主。同時可見，前2階振型組合計算結果與前4階組合結果差異甚小。這充分證實了前述結論，即采用前4階振型參與計算便可得到較為準確的結果。因此，后面進一步分析時，對于非隔震結構地震反應將采用前4階振型計算組合得到。

圖6 非隔震結構算例樓層剪力計算結果

3 減震系數分析

3.1 樓層剪力比和力矩比

圖7顯示了rkh分別取0.80，1.25，5.00，8.00時對應的結構隔震后、前樓層剪力比、力矩比隨樓層高度比的變化曲線(Tg=0.55 s)。非隔震結構取前4階振型進行SRSS組合，上部結構阻尼比取0.05，隔震層阻尼比參照以往經驗取0.15。其中樓層高度比定義為樓層距結構底部的高度與結構總高之比。

圖7 結構樓層剪力比和力矩比

由圖7可見，不同剛度比rkh對應的隔震后與隔震前結構各樓層剪力比和力矩比最大值通常出現在結構底部。剛度比對樓層剪力比、力矩比隨結構高度的分布均有一定的影響。當剛度比增大超過某個值時，各樓層剪力比均大于力矩比。

3.2 臨界剛度比

根據以上分析結果可知，可較為簡便地通過結構底部剪力比、力矩比對結構減震效能進行評價。根據動力學理論，當取前4階并按SRSS進行組合計算時，非隔震結構底部剪力VbF、底部力矩MbF分別為

(26)

(27)

式中，Ano為非隔震結構第n階振型對應的譜加速度。

隔震結構計算時，可僅考慮基本振型影響[14-15]，其底部剪力VbI、底部力矩MbI分別為

(28)

(29)

式中，A1o為隔震結構第1階振型對應的譜加速度。

由以上分析、結合表1可以看到，因計算非隔震結構Ano所需要的各階周期Tun可由剛度比rkh和隔震結構基本周期TI1確定，同時所涉及的結構質量、高度、αmax、g等參數在計算底部剪力比、力矩比時均可約除，因而，影響該兩個比值的參數僅為TI1，Tg，ξ以及剛度比rkh。

圖8顯示了不同TI1/Tg(以Tg=0.55 s為例)對應的底部剪力比、力矩比隨rkh的變化曲線。可以看到，隨著rkh的增大，結構底部剪力比和力矩比均趨于減小。說明隔震層相對于上部結構越柔，隔震后剪力和力矩降低幅度越大。同時可見，特定TI1/Tg比值對應的底部剪力比和力矩比兩條曲線存在交叉現象，即當剛度比rkh小于某個臨界值時，底部力矩比大于剪力比，此時，應以力矩比作為減震效能的評價指標；當rkh大于該臨界值時則應以底部剪力比作為相應評價指標。該交叉點對應的剛度比即為控制評價指標的臨界剛度比，用符號rkhB表示。

圖8 結構底部剪力比和力矩比(Tg=0.55 s)

從圖8可以看到，特定場地卓越周期Tg下，TI1/Tg比值越大，對應的rkhB越大。由此可見，當隔震層較柔的情況下，唯有進一步提高上部結構抗側移剛度才能有效降低隔震結構在傾覆力矩作用下的整體翻轉反應。表2進一步給出不同場地周期Tg對應的臨界剛度比數值。表中計算結果顯示，特定TI1/Tg對應不同Tg下的rkhB盡管不完全相同，但非常接近。圖9顯示了不同場地卓越周期Tg對應的rkhB隨TI1/Tg的變化曲線。可以看到，各條曲線基本重合、呈現出基本一致的變化規律。

表2 臨界剛度比rkhB

圖9 TI1/Tg-rkhB曲線

為便于應用，對表2中各列數值取平均，并對該平均值與TI1/Tg數值進行擬合，最終可得到二者的關系表達式(30)

(30)

可見，rkhB與TI1/Tg的平方成正比，隔震結構周期的變化對rkhB的影響較為顯著。

3.3 臨界周期比

實際工程中，采用周期比進行分析更為方便，現在上述臨界剛度比分析基礎上，進一步給出臨界周期比(確定減震系數采用剪力比或力矩比進行計算的臨界周期比值)。式(18)表達了隔震后、前結構第1階周期比rT1與剛度比rkh的內在關系。將臨界剛度比計算表達式(30)代入式(18)便可得到隔震后、前結構1階臨界周期比rT1B計算式(31)，同時直觀地給出了圖10所示的rT1B隨TI1/Tg的變化曲線。

圖10 TI1/Tg-rT1B曲線

(31)

因周期比rT1隨剛度比rkh的增大而增大(見圖5)，結合上述對臨界剛度比的討論可知，當隔震后、前結構1階周期比rT1rT1B時則應以底部剪力比作為相應評價指標。

需作進一步說明的是，以上分析結論對于《抗規》及《建筑隔震設計標準》(征求意見稿)所給出的不同反應譜或不同結構阻尼比取值均成立。因不同的譜加速度、阻尼比都只會使得隔震結構底部剪力、力矩同比例改變，圖8中交叉點對應橫坐標即臨界剛度比rkhB不會改變，進而臨界周期比rT1B亦必然不受影響。進而言之，以上關于該兩個臨界比值分析所得規律和結論是具有普遍性的。

4 結 論

本文基于等效梁模型，對質量、剛度沿高度分布相對均勻的基礎隔震高層建筑結構減震系數取值問題進行了分析探討，最終可得出如下結論以供后續理論研究及實際工程應用參考：

(1)當隔震后、前結構基本周期比rT1>1.3或上部結構整體等效剛度與隔震層水平等效剛度之比rkh>0.8時，可有效抑制高層剪力墻隔震結構高階振型反應，僅需考慮基本振型對結構地震反應的貢獻。

(2)結構隔震后、前的底部剪力比、力矩比與上部結構整體等效剛度與隔震層水平等效剛度之比rkh、基本周期比rT1有關，與質量、阻尼等參數無關。

(3)當rkh小于臨界剛度比rkhB或rT1小于臨界周期比rT1B時，底部力矩減震效果較剪力要差，應以隔震后、前結構底部力矩比作為減震效能評價指標；當rkh大于臨界剛度比rkhB或rT1大于臨界剛度比rT1B時，則應以底部剪力比作為評價指標。其中，rkhB和rT1B可按本文所給數值取用。