爆破振動信號分形維數相關性研究

謝全民

(1.江漢大學 省部共建精細爆破國家重點實驗室，武漢 430056；2.江漢大學 爆破工程湖北省重點實驗室，武漢 430056)

在工程爆破領域，當炸藥在巖土介質中爆炸破碎巖石的同時有一部分能量轉化為地震波。爆破地震波在巖土體中傳播并引發地表及附近建(構)筑物發生振動。爆破振動信號時域特征、振動信號能量特征提取是進行建(構)筑物振動響應分析的主要內容，是進行爆破振動危害控制、進行爆破振動安全評估、制定爆破振動安全判據等的主要依據[1-2]。

婁建武等[3-5]將分形理論用于爆破振動信號分析研究，并構建了其分形盒維數計算模型。在此基礎上，謝全民等[6]再根據爆破振動時頻能量譜圖三維尺度表征的物理意義，建立了能夠描述具有時間-頻率尺度特性又能同時充分反映空間曲面起伏特征的長方體覆蓋模型，且通過大量的試驗數據分析，已充分驗證爆破振動時程信號及時頻能量譜圖均具有分形特征。

在此基礎上，進一步深入探究分形維數與爆破地震波物理參數、爆源參數以及場地介質特征等之間相關性，確定爆破振動信號分形維數影響因素的權重分布，對進一步拓寬分形理論在爆炸與沖擊動力學領域的應用范圍等均具重要研究意義，對優化爆破技術方案設計，實現降震減災等具有參考價值。

1 爆破振動信號分形維數

20世紀70年代，Mandelbort首次提出分形理論，是一套以分形特征為研究主題的數學理論。

設爆破振動實測信號S∈R2，將曲線覆蓋的整個二維平面R×R劃分為盡可能小的網格k(σ1×σ2)(k=1,2,3,…表示網格的放大倍數)。圖1表示用一個基本步長為k(σ1×σ2)的矩形盒去覆該信號，統計在該尺度下有效覆蓋網格數Nkδ。

圖1 標度δ下的總盒數Nkδ(k=1，Nkδ=45)

設所有與S相交的網格數為Nkδi，則在矩形盒覆蓋的模式下振動曲線盒維數定義為

(1)

爆破振動分形盒維數計算模型中基本步長及無標度區間的確定，參考文獻[7]的取值方法。

根據分形理論，曲線的盒維數能夠體現出該曲線的復雜程度。對于數字爆破測振信號，其曲線復雜程度可由其頻率成分反映出來，頻率越高對應信號變化越快，整個信號波形更加充滿整個二維平面，盒維數值D越趨近于平面的分形維數值2。可見，盒維數值D可作為反映爆破振動信號中頻率成分的一個新特征參量，能夠反映振動頻率、持續時間等爆破地震波物理參數。

2 爆破振動信號分形維數影響因素分析

由于爆區內場地介質性質、初邊界條件具有多變性等特點，導致爆破地震波的震源機理、傳播及衰減規律、振動響應機理等均具有較大的復雜性和隨機性。爆破振動信號受到爆源特征、炸藥性能、場地介質特征等復雜因素的影響。因此能夠表征爆破振動信號分形特征的分形維數也受到多因素的綜合影響。研究爆破振動產生、傳播階段所有影響因素并不現實，只能選取主要因素進行影響規律分析。對能夠用于描述爆破振動非線性特征的分形維數參量時，可通過分析影響爆破效果和作用規律的主要物理參量，包括：

(1)描述爆源特征的幾何參量——臺階高度、孔徑、孔深、孔距、排距、最小抵抗線、裝藥長度、填塞長度、藥包直徑、雷管段數、測點至爆源距離等；

(2)描述炸藥性能的物理參量——炸藥密度、爆速、總藥量、段藥量、單孔藥量、比能等；

(3)描述場地介質特征物理參量——巖土介質密度、縱波速度、彈性模量、剪切模量、泊松比等；

(4)描述重力場的物理量——重力加速度。

3 爆破振動信號分形維數的量綱分析

3.1 量綱分析基本理論

量綱用于表征各類物理量類別的標志，如密度、速度、時間和力等，是物理量的固有屬性和本質特征的反映[8]。在工程力學中，常用長度、時間、質量等3個基本量綱，其量綱分別用[L]，[T]和[M]。其他物理量[X]的量綱都可以用它們的冪次乘積來表示

[X]=[M]α[L]β[T]γ

(2)

π定理：設某物理量問題涉及n個物理量p1,p2,…,pn，而我們所選的單位制中有m個物理量(n>m)，則由此可組成n-m個無量綱的量π1,π2,…,πn-m。在物理量p1,p2,…,pn之間存在的函數關系式

f(p1,p2,…,pn)=0

(3)

可表達成相應的無量綱形式

F(π1,π2,…,πn-m)=0

(4)

或者從式(4)把π1解出來

π1=φ(π2,π3,…,πn-m)

(5)

3.2 基于量綱理論的分形維數分析

爆破振動效應研究中，主要涉及的研究對象是爆源因素和場地介質特征，其相關物理量的量綱如表1所示。

表1 爆破振動效應中的主要物理量及量綱

可以認為炸藥描述爆破振動效應的無量綱參量爆破振動信號的分形維數受到23個物理量的影響。爆破振動信號的分形維數D可以表示為

D=φ(ρe,De,Qz,Qd,Qk,e,H,W,φ,L,a,b,h1,h0,d0,n,ρr,cp,E,G,μ,R,g)

(6)

描述該問題的物理量總數n=23。根據π定理，其中獨立量綱取為Qd，R，cp，所以獨立量綱數m=3，于是n-m=23-3=20。以π代表無量綱量，則有

(7)

式中，α，β，γ為待定系數。由于π是無量綱量，根據量綱齊次定理，可知分子分母的量綱應該相等，由此可得

0=(M)α(L)β(LT-1)γ

(8)

(9)

于是可得

(10)

類似的有

(11)

由此可得

ML-3=(M)α(L)β(LT-1)γ

(12)

(13)

于是可得

(14)

依據同樣的方法，可以解得

(15)

將式(7)～式(15)代入函數式(6)可得

(16)

4 爆破振動信號分形維數相關性分析

4.1 與爆源特征參數相關性

設s為爆破振動響應函數，G為脈沖響應函數，H為巖土體的等效濾波函數，f(t)代表時間函數，則一種爆炸荷載等效模型可表示為[9]

s=G*H*f

(17)

當f(t)持續時間?s主頻周期時有

(18)

利用卷積的結合率就有

s=If·G*H

(19)

從式(19)可知，爆破振動響應s是由震源作用沖量If和巖土體等效濾波器H共同影響所決定。

基于爆炸動力學知識，并結合爆破振動信號分形維數影響因素分析可知

If=f1(ρe,D,Qz,Qd,Qk,e,H,φ,W,L,a,b,h1,h0,d0,n)

(20)

從式(20)并結合巖土介質中炸藥爆炸的能量產生及釋放過程可知，炸藥爆炸后的震源作用沖量If受炸藥性能(炸藥密度、爆速、總藥量、段藥量、單孔藥量、比能等)及爆源因素(臺階高度、最小抵抗線、孔深、孔徑、孔距、排距、裝藥長度、填塞長度、藥包直徑、雷管段數、測點至爆源的距離等)的共同影響。

通過式(17)～式(20)，從能量產生及傳播過程定性描述了爆破振動信號分形維數與爆源特征參數之間的相關性，明確了影響爆破振動信號分形維數中爆源參數的主要因素。

4.2 與場地介質特征相關性

基于巖石分形理論，在巖土體內分布的節理、裂隙具有分形結構。在這種分形結構分布序列中還包含更多不同層次的節理裂隙。在大節理裂隙中包含著許多更小的節理裂隙，在這些小節理裂隙中又包含有分形分布韻律。由此看來，巖石成為了多層次的既隨機又自相似的嵌套結構體系。

爆破地震波在巖體這類復雜介質中傳播時，在不同層次介質結構內經過若干次反射、折射，與巖體結構發生相互作用，可視為爆破地震波通過了一系列特殊的帶通或帶阻濾波器。爆破振動信號中包含了地質結構各方面的信息，呈現出很強的非線性性質。這表明爆破振動信號的分形特性與所經歷的場地介質特性存在著密切聯系，是巖土體復雜的動力響應。因此，爆破振動信號分形維數值中蘊含有能反映場地介質結構特征和物理力學參數特征的重要信息。

根據上述分析，可建立爆破地震波分形盒維數D與場地介質結構特征參數u及物理參數v有如下關系

D=D(u,v)

(21)

由第2章中爆破振動信號分形維數影響因素分析可知

u=f2(ρr,cp,E,G,μ)

(22)

v=f3(R,g)

(23)

由式(21)可知，爆破振動信號的分形維數D受描述場地介質結構的重要特征參數u及物理參數v的共同影響。由式(21)～式(23)可知，研究炸藥在巖土介質中產生的爆破振動作用受場地介質的主要特征參數u(巖土介質密度、縱波速度、彈性模量、剪切模量、泊松比等)及主要物理參數v(測點至爆源距離、重力加速度等)等綜合因素的影響。

從爆破振動在巖土體中傳播時所受巖土介質阻尼作用的影響所起到的頻率濾波和振幅削減作用，同時綜合式(17)～式(19)及式(21)～式(23)的定性分析結果可知，爆破振動信號分形維數所受地質結構的濾波作用可由表征場地介質結構的特征參數及物理參數的主要因素來進行描述。

5 爆破振動信號分形維數影響因素權重

考慮爆破振動產生及傳播過程的復雜性、非線性、參數多樣性等情況，爆破振動作用機制尚難以采用函數進行精確描述。爆破振動信號分形維數主要影響因素及權重分布屬于典型的“黑盒問題”。結合神經網絡在處理非線性領域中復雜科學問題的優勢，可基于BP神經網絡對爆破振動實測信號進行樣本訓練和精度校驗。

基于BP神經網絡，進行爆破振動信號分形維數預報的主要步驟，如圖2所示。

圖2 基于BP網絡預報主要流程

在此基礎上，再通過如下方法得到爆破振動分形維數主要影響因素的權重分布：

(1)計算各個主要影響因素所對應的輸入層與所有隱層單元的連接權系數的絕對值和|Wn|；

(2)各影響因素對應權值的計算公式如式(24)所示

(24)

采用文獻[10]中建立及訓練成熟的BP網絡模型，按照上述步驟分別計算該工況下爆破振動信號分形維數主要影響因素的權重，計算結果圖3所示。水平距離影響權重最大占19.9%，孔深的影響權重最小占1.98%，精度滿足工程應用要求。

圖3 分維數影響因素權重分布

考慮到同一施工場地，爆破振動測試過程中采用相同種類的炸藥，由于場地介質不發生變化，因此巖土介質密度、縱波速度、彈性模量等描述場地介質特征等物理參量以及描述炸藥性質的物理參量均未考慮在該模型中。若需要研究不同爆破區域、不同炸藥種類或裝藥結構發生變化等情況下(此時描述場地特征、炸藥特征的主要物理參量可能發生一定變化)，通過進一步完善和擴大該BP網絡模型中的輸入參量種類和個數，按照上述算法，仍可得到爆破振動信號分形維數影響因素的權重分布。

6 結 論

(1)基于爆炸動力學和量綱分析理論可知，爆破振動信號分形維數受地質結構的濾波作用，可由表征場地介質結構的特征參數及物理參數的主要因素來進行定性描述。

(2)通過建立BP神經網絡，實現該爆破振動分形維數預報的同時獲取到了各主要影響因素的權重分布，預報精度和影響因素的權重分布均可滿足工程應用要求。