新型三角形結構電磁式振動能量采集器的設計與分析

陳春明，袁天辰，陳立群,3,4

(1.上海大學 力學與工程科學學院，上海 200444；2.上海工程技術大學 城市軌道交通學院，上海 201620；3.上海大學 上海市應用數學和力學研究所，上海 200444；4.上海大學 上海市能源工程力學重點實驗室，上海 200444)

在自然界中，大量能量因振動而耗散，從環境振動中采集能量越來越受到研究者們的關注。將振動能轉換為電能的能量采集器主要有三種形式：電磁式[1-2]、壓電式[3-4]和靜電式[5]。由于環境中的振動頻率通常很小，且往往覆蓋較寬的頻率范圍[6]，因此，使能量采集器具有較大的采集帶寬和較低的工作頻率是研究的重點。

為了實現上述目的，研究者們提出了許多結構。一種最常見的思路是利用懸臂梁作為壓電能量采集系統的主要部分[7-10]。Li等[11]提出了一種雙穩態壓電能量采集器，該系統由兩個“懸臂梁-質量”子系統組成，并證明其可以在加速度為1g的簡諧激勵下產生0.35 μW的峰值輸出功率，且能量采集帶寬為14～28 Hz。Zhou等[12]分析了非對稱三穩態能量采集器的動力學特征。通過將磁力引入到基于懸臂的壓電能量收集器，Zhou等[13]提出了一種四穩態能量采集器，并證明它可以產生比雙穩態能量采集器更高的輸出電壓。除了向系統中引入磁體和增加懸臂梁的數量外，一些研究者還通過改變傳統的基于懸臂梁的壓電式能量采集器的結構來擴大能量采集帶寬。Harne等[14]使用了一個由兩個相連的懸臂組成的L型結構，并分析了此系統的1∶2內共振。Deng等[15]設計了一種蹺蹺板式的結構，并表明它可以通過有效地克服能量采集系統中廣泛存在的“勢壘現象”來拓寬采集帶寬。Zhou等[16]研究了4種具有塞子結構的壓電式能量采集器，并比較了它們的能量采集效率。但是，基于懸臂梁的能量采集系統無法在低頻下獲得好的能量采集效果，這是由懸臂梁的固有頻率通常較高導致的[17-18]。因此，研究者們提出了許多其他方法[19]，例如使用非線性能量阱[20]、可調節式的雙質量阻尼系統[21]和圓形復合板[22]。張穎等[23]基于環形Halbach永磁陣列，提出了一種徑向電磁式旋轉能量采集系統，以收集軸承的旋轉動能用于軸承健康監測。代胡亮等[24]設計了一種可將人體運動中動能轉化為電能的混合式振動能量采集系統，該系統兼具壓電式和電磁式能量采集器的特點。Kuang等[25]提出了含有一個磁性滾動擺的能量采集系統。由于磁力會在系統中引入強烈的非線性，因此其在低頻范圍內獲得了4.8 Hz的采集帶寬。Thomson等[26]提出了一種使用介電彈性體的環境振動能量采集器，并證明它可以有效地采集能量，且能量密度為9.15 J/kg。Li等[17]使用了在隔振方面具有顯著效果的X型結構來采集振動能量，并證明了它可用于橋梁的健康監測。Wei等[27]在X型結構上附加了兩個“杠桿-質量”組件，并證明了該結構有利于隨機振動的能量采集。

本文提出了一種新型三角形結構電磁式振動能量采集器，利用杠桿結構放大磁鐵和線圈之間的相對位移，提高采集器的輸出電壓。創新地在輕桿末端設置彈簧，形成三自由度非線性動力系統，拓寬了系統的采集器頻帶，達到高效寬頻采集環境振動能量的設計目的。

1 系統的設計與建模

1.1 設 計

能量采集器主要包括兩個部分：其一為系統上部的一個振動方向豎直的主質量塊，該質量塊由一非線性彈簧與系統的框架相連；其二為主質量塊正下方的兩個放置于滑軌上的滑塊，其上分別固定有用于電磁式能量采集的組件——線圈和磁鐵。滑塊分別與同側的支座通過非線性彈簧連接。兩個輕桿將滑軌上的支座與主質量塊連接，使系統具有三角形結構，如圖1所示。

圖1 系統的示意圖

此種類似杠桿的結構能夠放大滑塊的位移，當基座振動時，兩個滑塊具有相對位移和相對速度，根據電磁感應理論，線圈和磁鐵的相對速度與感應電流正相關。

1.2 建 模

系統的動能可表示為

(1)

系統的勢能為

(2)

式中：k11，k21和k31分別為三個彈簧的線性剛度；k13，k23和k33分別為它們的非線性剛度；z1，x2和x3分別為大質量塊與基座的相對位移和兩個滑塊的絕對位移；x4和x5為支座的位移，如圖2所示，可以寫成

圖2 支座的位移

(3)

式中，L和θ分別為輕桿的長度及輕桿相對于水平面的裝配角。

根據電磁感應理論，當線圈與磁鐵作相對運動時，線圈中會產生感應電動勢，同時兩者會受到一對方向相反的電磁力，且平均磁通量密度B，感應電流I，線圈總長度Lcoil，外負載電阻R及電磁力Fe具有以下關系

(4)

進而有

(5)

(6)

在本系統中，由于電磁力與滑塊的相對速度有關，則可以將其視為一種黏性阻尼，系數為

(7)

根據哈密頓原理，系統的歐拉-拉格朗日方程為

(8)

(9)

其中，

(10)

2 不同設計參數對振動能量采集的影響分析

2.1 裝配角θ

表1 系統參數

在所給的系統參數下，系統在低頻范圍出現兩個共振峰。在其他參數確定時，裝配角對系統能量采集的影響，如圖3所示。當θ=π/3時，在第一個波峰處，外負載兩端的電壓為1.28 V，外激勵頻率為7.5 Hz，在第二個波峰處電壓和頻率分別為0.85 V和43.5 Hz。而當θ減小至π/5時，兩個波峰處的感應電壓增大，依次為2.61 V和2.44 V。雖然裝配角的減小會提高感應電壓的幅值以及加強系統的非線性，但是也同時提高了第一個波峰附近的采集頻段(在每個波峰附近，設大于電壓幅值一半的頻率范圍為系統的采集頻段)。當θ由π/3減小至π/5時，第一個采集頻段由6～7.5 Hz變為12～15 Hz。可見，較大的裝配角有利于10 Hz以下低頻范圍的能量采集，較小的裝配角則能使系統輸出較大的電壓。通過改變裝配角的大小，系統能夠滿足不同環境和不同要求下的能量采集。

圖3 不同裝配角θ下的電壓-頻率曲線

當θ=π/3時，各質量在第一個波峰處的速度歷程曲線，如圖4所示。主質量與基座的相對速度幅值為0.36 m/s，線圈和磁鐵的絕對速度幅值為0.65 m/s，且它們的相對速度幅值為1.3 m/s。可見，得益于三角形結構的對稱性，當系統的質量分布也對稱時，線圈和磁鐵作穩定的反向運動，使系統具有良好的能量采集效率。當θ=π/3時，兩個波峰處的感應電壓歷程曲線，如圖5所示。

圖4 f=7.5 Hz, θ=π/3，時的速度-時間曲線

圖5 θ=π/3時的電壓-時間曲線

2.2 質量m1，m2和m3

除質量外，本節中的其他參數見表1，且裝配角θ=π/3。當m1=0.6 kg及m2=m3=0.35 kg時，兩個電壓幅值依次為0.96 V與0.5 V，采集頻段為5.5～7 Hz。當主質量提高到1 kg時，電壓幅值分別提高了77%和154%，但是采集頻段和共振峰頻率變化很小，如圖6所示。主質量的增大不但提高了電壓幅值，還增強了系統的非線性特征，其原因是：系統中僅有主質量的運動方向與基座振動方向平行，主質量的增大使輸入系統的總能量增大，進而使各質量的位移和速度增大，提高了感應電流I。然而，在實際應用中，過大的主質量會使系統出現混沌等不利于能量采集的現象，對主質量的調整需要考慮動力學穩定性。

圖6 不同主質量m1下的電壓-頻率曲線

當m1=0.8 kg時，滑塊質量大小對電壓的影響，如圖7所示。當m2=m3=0.25 kg時，采集頻段依次為6.5～8 Hz和37.5～45 Hz，電壓幅值依次為1.25 V和1.09 V。當滑塊質量提高到0.45 kg時，第一個采集頻段變為5.5～7 Hz，第二個變為35～42.5 Hz，且電壓幅值依次為1.32 V和0.69 V。不同于單獨改變主質量的情形，單獨調整滑塊質量幾乎不影響系統的非線性特征，且對兩個采集頻段輸出電壓的影響不同。較小的滑塊質量會使第二個采集頻段獲得較大的輸出電壓，而增大滑塊質量會提高第一個電壓幅值，并使兩個頻段的頻率范圍減小，有利于超低頻范圍的能量采集。

圖7 不同質量m2和m3下的電壓-頻率曲線

2.3 剛 度

在本節中，除剛度外，其他系統參數見表1，且裝配角θ=π/3。彈簧的非線性剛度恒定時，不同線性剛度大小對系統能量采集的影響，如圖8所示。當k11=k21=k31=2 000 N/m時，能量采集頻段依次為5～6.5 Hz和29～39 Hz。當k11=k21=k31=6 000 N/m時，采集頻段變為6.5～8 Hz和42.5～48.5 Hz。可見，線性剛度的改變會對電壓-頻率曲線產生“平移”效果，較小的線性剛度下，系統的能量采集頻率范圍相對較小。由圖還可知，線性剛度越大，系統的非線性特征就越不明顯，較小的線性剛度不但更有利于低頻范圍的能量采集，還可以獲得較寬的采集頻段。

圖8 不同線性剛度下的電壓-頻率曲線(i=1,2,3)

單獨改變非線性剛度時，電壓-頻率曲線的變化，如圖9所示。當k13=k23=k33=5×107N/m3時，采集頻段依次為5.5～6.5 Hz和34.5～40 Hz。當非線性剛度值提升至1.5×108N/m3時，采集頻段變為6.5～8 Hz和37～46.5 Hz。由圖可知，彈簧的非線性剛度與能量采集頻率范圍內曲線的傾斜程度相關，非線性剛度越大，系統的硬非線性特征越顯著，進而使得波峰附近的能量采集范圍越寬。需要指出的是，在實際應用中，彈簧的線性剛度和非線性剛度會同時變化，對電壓-頻率曲線的影響等同于“平移”和“傾斜”效果的疊加。作為一種常用的連接件，兩端固定的薄金屬片可作為本系統中的非線性彈簧，其能夠提供線性剛度以及三次非線性剛度[28]，在其他系統參數確定時，通過改變其長度，其剛度值會變化，進而改變系統的工作頻率范圍，使本系統能夠根據需要方便地進行調整。

圖9 不同非線性剛度下的電壓-頻率曲線(i=1,2,3)

3 與參照系統的比較

為體現所設計系統結構對輸出電壓的影響，提出一個傳統的豎向能量采集系統，并加以比較。該參照系統的能量采集組件與主質量和框架相連，如圖10所示，且其運動學方程為

圖10 參照系統

(11)

在比較中，為使兩系統的主質量位移和波峰位置盡量相近，采用如下的質量和結構參數：m1=1.5 kg，M1=0.8 kg，m2=m3=M2=M3=0.35 kg，θ=π/5。兩系統的剛度和阻尼系數見表1，此時，在基座激勵同為A=g的情況下，最大輸出電壓對應頻率處(設計系統為18 Hz，參照系統為19 Hz)的電壓-時間曲線，如圖11所示。

圖11 兩系統在最大輸出電壓對應頻率處的電壓-時間曲線

在此種參數下，設計系統與參照系統的電壓-頻率曲線，如圖12所示。本文所設計的系統的最大輸出電壓為4.98 V，為參照系統的1.76倍。此外，設計系統還具有可用的第二個采集頻段。該對比說明了在主質量位移基本相同的情況下，得益于三角形結構的位移放大作用，相較于豎置能量采集組件的系統，該設計系統能夠顯著提高輸出電壓。

圖12 兩系統在主質量位移基本相同時的電壓-頻率曲線

4 試驗驗證

為驗證該能量采集器的可行性及數值計算結果的準確性，根據圖1設計加工了該能量采集器的試驗原型，如圖13所示。試驗中采用兩端固支的銅制長方形薄片作為連接件，以提供線性剛度與三次非線性剛度。試驗平臺如圖14所示，主要設備為激振器、功率放大器、振動控制器和數據采集器。一臺電腦用于生成控制信號，經由功率放大器使激振器以選定方式振動，若干加速度傳感器分布于試驗原型各處，并由與另一臺電腦相連的數據采集器收集試驗原始數據。試驗中使用一個阻值為470 Ω的電阻代表外負載，其與線圈導線串聯，并由數據采集器收集電壓數據。

圖13 系統的試驗原型

1.該系統; 2.加速度傳感器; 3.線圈導線; 4.數據采集器; 5、6.電腦; 7.振動控制器; 8.功率放大器; 9.激振器。

連接件的剛度項及滑軌的阻尼值可由恢復力曲面法辨識得到[29]，辨識結果為：k21=k31=2 945.8 N/m，k23=k33=9.11×107N/m3及c2=c3=c4=1.9 N·s/m。試驗系統的其他參數為：m1=0.71 kg，m2=m3=0.32 kg，c1=0.5 N·s/m，Lcoil=50 m，B=0.02 T。需要指出的是，系統中的銅片具有相同的彈性模量和幾何尺寸，且使用兩個銅片夾持上方的主質量，以提高穩定性，因此，其剛度值為滑軌上銅片的兩倍，即：k11=5 891.6 N/m，k13=1.82×108N/m3。

試驗中使用幅值為1g的加速度激勵，在5～80 Hz的頻段進行雙向掃頻，采樣頻率設置為5 120。對原始數據進行后處理，可以得到與頻率對應的電壓值，如圖15所示。

圖15 試驗數據(正向掃頻)及包絡線

將試驗參數代入系統運動方程，得到此參數下的電壓-頻率數值解曲線。數值解與試驗結果的對比，如圖16所示，可見：系統的試驗電壓曲線峰值頻率分別為9.4 Hz和38.4 Hz，對應數值解的峰值頻率為8 Hz和39 Hz；試驗曲線的共振峰數量與位置、非線性特征、采集頻段曲線斜率與數值解基本一致。以上結果驗證了系統運動方程和數值解的可靠性，并說明了該系統可以實現有效的振動能量采集。

圖16 數值解與試驗結果的對比

5 結 論

本文提出了一種基于三角形位移放大結構的新型電磁式振動能量采集器，并根據電磁感應理論及哈密頓原理推導了它的動力學方程，通過理論分析和試驗驗證，得出了以下結論：

(1)基于所設計的三角形采集器構型，通過杠桿放大了電磁能量轉換組件的相對位移和相對速度。在外激勵相同的情況下，最大輸出電壓是對照線性豎直振動能量系統的1.76倍。

(2)通過輕桿末端設置彈簧，形成三自由度非線性動力系統，拓寬了系統的響應頻帶。覆蓋了兩個主要的頻率范圍：第一個在5～15 Hz，第二個在20～45 Hz，使系統具有良好的振動能量采集效果。

(3)通過改變系統設計參數，可以調整采集器的工作特性：較大的裝配角、滑塊質量以及較小的剛度值有利于低頻范圍的能量采集，而較小的裝配角和滑塊質量則能夠提高第二個采集頻段的輸出電壓。

本文所提出的新型三角形結構電磁振動能量采集器的這些新特性使之能夠針對環境中普遍存在的低頻振動源進行有效的能量采集，并且通過簡單地調整裝配角等參數，覆蓋較寬的頻率范圍。