空氣舵系統(tǒng)摩擦模型及參數(shù)識別方法研究

李雨青，南宮自軍，劉 博

(中國運載火箭技術研究院，北京 100076)

空氣舵是飛行器廣泛使用的執(zhí)行機構，通過舵面偏轉產生氣動控制力，實現(xiàn)大氣層內飛行姿態(tài)和軌跡控制的目的，是飛行控制系統(tǒng)中的關鍵環(huán)節(jié)[1]。空氣舵系統(tǒng)是空氣舵執(zhí)行機構中的機械部分，一般由連桿、搖臂、舵軸、舵面等組成。空氣舵系統(tǒng)不僅組成復雜，且存在不同類型的非線性因素，如摩擦、間隙等，使其動力學特性中的非線性問題尤為突出。在飛行過程中，如果這些非線性因素導致舵系統(tǒng)結構動力學特性超出了設計范圍，將會影響飛行控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性能和舵翼結構的氣動彈性特性，甚至造成飛行失利。因此，空氣舵系統(tǒng)非線性建模及參數(shù)識別方法研究已成為了工程和學術界研究的熱點。

在飛行器工程研制實踐中，為解決間隙和摩擦非線性對舵系統(tǒng)傳遞特性的影響問題，首先需要對舵系統(tǒng)進行非線性建模。目前對于舵系統(tǒng)的非線性建模主要分為兩類：一類是建立簡化的數(shù)學模型；一類是建立基于接觸碰撞力模型的多體動力學模型。王成華等[2]建立了舵系統(tǒng)含間隙及摩擦的單自由度數(shù)學模型；宿月文等[3]分別基于Hertz接觸模型、K-V線性彈簧阻尼模型、L-N非線性彈簧模型，用拉格朗日方法建立含間隙約束副的多體系統(tǒng)動力學模型，從時域和頻域對不同的摩擦接觸模型下系統(tǒng)動態(tài)響應進行對比分析；李忠洪[4]將回轉鉸鏈碰撞動力學模型引入到傳動機構分析中，建立了考慮間隙摩擦的空氣舵?zhèn)鲃訖C構的動力學方程，并構建了SIMULINK仿真模型。在舵系統(tǒng)建模中，如何對間隙和摩擦等非線性因素建模，是研究的關鍵問題。大量的專家學者對機械系統(tǒng)中的摩擦和間隙非線性因素模型開展了研究，文獻[5-8]研究了各種不同的摩擦模型和間隙模型的特點及建模方法。然而，比較分析舵系統(tǒng)中摩擦非線性模型的研究較少，這直接影響了建模及動特性分析的準確性。為此，本文采用簡化的單自由度模型，討論某型空氣舵系統(tǒng)的摩擦模型。

此外，對于獲取非線性模型中的參數(shù)也是目前工程實踐中面臨的瓶頸難題，主要解決方法是模型參數(shù)的識別。大量的專家學者提出了不同的參數(shù)識別方法，如能量法[9]、頻域法[10]、遺傳算法[11]和等效線性化理論的各種方法等[12]。本文分別采用最小二乘非線性擬合法及遺傳算法對所建模型中的參數(shù)進行識別，并分析了兩種參數(shù)識別方法的效果。

1 空氣舵系統(tǒng)非線性動力學

空氣舵系統(tǒng)由舵面、舵軸、錐銷、搖臂、連桿、鉸鏈組成，如圖1所示，其中在兩鉸鏈處存在間隙和干摩擦等非線性因素。

圖1 空氣舵?zhèn)鲃迎h(huán)節(jié)示意圖

含間隙和干摩擦的空氣舵系統(tǒng)在激勵力矩下的動力學模型可簡化為單自由度非線性彈簧阻尼模型，如圖2所示。舵系統(tǒng)的扭轉剛度取決于舵系統(tǒng)的轉動慣量Jr和舵軸的等效扭轉剛度K。為保證有足夠的強度和剛度特性，一般航天飛行器空氣舵舵面本身剛度相對較大，相當于一個剛體，因此舵軸的扭轉剛度和傳動組件的剛度對舵面偏轉過程中系統(tǒng)的剛度起決定性作用。在簡化過程中，用Jr表示舵系統(tǒng)(含舵面和傳動機構)的轉動慣量，用舵軸等效扭轉剛度K表示舵軸的扭轉剛度和曲柄連桿組件的剛度的串聯(lián)剛度。舵系統(tǒng)的阻尼主要包括兩部分：一部分是軸承游隙和舵系統(tǒng)結構本身的阻尼，可當作黏性阻尼，用黏性阻尼系數(shù)C表示；另一部分為密封環(huán)及運動副導致的舵系統(tǒng)轉動過程中由庫侖摩擦力產生的阻尼，用Tf表示，θr為舵面轉角，Tc為氣動控制力對舵軸的力矩，2e為系統(tǒng)的回環(huán)間隙，同時為了便于建模，將空氣舵角運動等效為線運動的形式進行描述。

圖2 空氣舵系統(tǒng)數(shù)學模型示意圖

舵面的動力學方程為

(1)

(2)

本文分別討論兩種摩擦模型：一種為庫侖摩擦模型；一種為Stribeck摩擦模型。

庫侖摩擦是非零速下的摩擦，是最早被發(fā)現(xiàn)的摩擦現(xiàn)象之一。庫侖摩擦力獨立于接觸面積，與法向載荷成比例，與運動方向相反，而與速度的幅值無關，庫侖摩擦模型如圖3所示。

圖3 庫侖摩擦模型

舵系統(tǒng)庫侖摩擦力矩為

(3)

式中，Mf為庫侖摩擦力。

Stribeck摩擦模型考慮了Stribeck效應，可以描述低速區(qū)的摩擦行為，極大的減少了摩擦的不連續(xù)性。Stribeck摩擦隨速度的不斷增大，摩擦力經歷先下降到一個極小值，然后隨速度增大而增大的過程，如圖4所示[13]，共分為三階段：第一階段為預滑動(pre-sliding regime)和邊界潤滑階段(boundary lubrication)，此時的摩擦力來自于固體-固體間的摩擦；第二階段為部分流體潤滑階段(partial fluid lubrication)，此時油膜部分生成，但固體-固體間的摩擦仍大于潤滑油的黏性效應；第三階段為完全潤滑階段(full fluid lubrication)，此時固-固摩擦消失，摩擦力來自于潤滑油的黏性效應，隨速度增加而增大，此階段也稱為流體動力潤滑階段。

圖4 Stribeck摩擦模型

舵系統(tǒng)Stribeck摩擦力矩為

(4)

式中：Mf為靜摩擦力矩；k1，k3為動摩擦力矩曲線方程系數(shù)，具體形式為

(5)

式中：vm為動摩擦力矩最小時的舵面角速度；k0為最小動摩擦力矩與靜摩擦力矩Mf之比，當k0=1時，Stribeck摩擦模型退化為庫侖摩擦模型。

2 參數(shù)識別方法

參數(shù)識別的目的是找到一組參數(shù)，使模型計算數(shù)據(jù)與試驗數(shù)據(jù)擬合程度最好。影響參數(shù)識別結果的因素有兩個：一是機理分析及建模的準確性；二是算法精度。因此，本文選擇了兩種算法針對兩種模型進行參數(shù)識別，以達到迭代比較的目的。

2.1 最小二乘非線性擬合法

最小二乘非線性擬合一般包括三個步驟：①獲取試驗數(shù)據(jù)；②在結構分析基礎上，根據(jù)試驗數(shù)據(jù)規(guī)律建立含有未知參數(shù)的系統(tǒng)動力學特性數(shù)學表達式；③利用MATLAB nlinfit函數(shù)確定未知參數(shù)的數(shù)值(參數(shù)識別)，即得到擬合的規(guī)律。

在工程實際中得到系統(tǒng)的頻響是非常成熟和方便的，因此已知的觀測數(shù)據(jù)為系統(tǒng)的幅頻響應數(shù)據(jù)。符合幅頻響應數(shù)據(jù)規(guī)律的數(shù)學表達式為幅頻響應函數(shù)，但對于不同的摩擦模型，其表達式的形式不同，因此識別結果和擬合效果也不同。基于最小二乘非線性擬合法的參數(shù)識別流程，如圖5所示。

圖5 基于最小二乘非線性擬合法的參數(shù)識別流程圖

幅頻響應函數(shù)的求解采用諧波平衡法，忽略高次諧波，設在如下正弦激勵下

Tc=T0[sin(ωt)cosh-cos(ωt)sinh]

(6)

舵面響應為

θr=θ0sin(ωt)

(7)

式中：T0和θ0為激勵力矩和舵面轉角的幅值；h為響應與激勵的相位差。

將式(6)和式(7)，以及庫侖摩擦力矩(3)代入式(1)后取出一次諧波項的系數(shù)，得到兩個諧波平衡方程

4Mf+π[Cθ0ω+T0sinh]=0

(8)

π[T0cosh+Jθ0ω2]+

Kθ0[sin(2φ)-π+2φ]=0

(9)

式中，φ=arcsin(e/θ0)。

通過式(8)和式(9)消去相位差，得到摩擦模型為庫侖摩擦模型的舵系統(tǒng)幅頻函數(shù)方程

(10)

將式(6)和式(7)，以及Stribeck摩擦力矩(4)代入式(1)后取出一次諧波項的系數(shù)，得到兩個諧波平衡方程

(11)

π[T0cosh+Jθ0ω2]+Kθ0[sin(2φ)-π+2φ]=0

(12)

式中，φ=arcsin(e/θ0)。

通過式(11)和式(12)消去相位差，得到摩擦模型為Stribeck摩擦模型的舵系統(tǒng)幅頻函數(shù)方程

(13)

2.2 遺傳算法

遺傳算法是一種通過模擬自然進化過程實現(xiàn)最優(yōu)解搜索的智能優(yōu)化算法，其優(yōu)點為適應范圍廣，魯棒性強。

遺傳算法與最小二乘非線性擬合法的區(qū)別在于無需求出函數(shù)表達式，但需要設定一個目標函數(shù)，優(yōu)化各參數(shù)使目標函數(shù)值最小。由于已知的觀測數(shù)據(jù)為系統(tǒng)的幅頻響應數(shù)據(jù)，因此設置的目標函數(shù)應能表征模型計算的幅頻響應曲線與試驗測得的幅頻響應曲線的擬合程度，且擬合程度越高，目標函數(shù)值越小。基于遺傳算法的參數(shù)識別流程，如圖6所示。

圖6 基于遺傳算法的參數(shù)識別流程圖

圖7 空氣舵系統(tǒng)動力學特征參數(shù)示意圖

目標函數(shù)采用統(tǒng)一目標函數(shù)法進行優(yōu)化計算，具有線性加權平方和的形式，具體如式(14)所示

(14)

式中，加權因子wp(p=1,2,…,l)的選取使各分目標函數(shù)wpfp(X)成為無量綱的具有等量級數(shù)值的函數(shù)。各分目標函數(shù)為

(15)

式中：H0為試驗得到各頻率的幅頻響應向量；h0為計算得到各頻率的幅頻響應向量；Y1，Y2，Y3，Y4分別為試驗得到的幅頻響應曲線的四個非線性動力學特征參數(shù)；y1，y2，y3，y4分別為計算得到的幅頻響應曲線的四個非線性動力學特征參數(shù)。

3 參數(shù)識別結果

本文參數(shù)識別采用的已知觀測數(shù)據(jù)為試驗測得的舵系統(tǒng)的頻響數(shù)據(jù)，各待識別的參數(shù)沒有確定的理論值，故評價參數(shù)識別結果是否有效的標準為將各參數(shù)的識別結果代入模型中計算所得的幅頻響應曲線與試驗測得的幅頻響應曲線的吻合程度。

3.1 基于庫侖摩擦模型的參數(shù)識別結果

將庫侖摩擦力矩代入舵系統(tǒng)運動方程中，可以得到摩擦模型為庫侖摩擦模型的舵系統(tǒng)非線性動力學模型。該型空氣舵的轉動慣量為J=0.346 kg·m2，待識別的參數(shù)分別為：舵軸的等效扭轉剛度K、黏性阻尼系數(shù)C、庫侖摩擦力Mf、系統(tǒng)間隙e。本節(jié)分別采用最小二乘非線性擬合法及遺傳算法對所建模型中的未知參數(shù)進行識別，識別得到的參數(shù)值如表1所示，仿真和試驗得到的幅頻響應曲線，如圖8所示。

表1 基于庫侖摩擦模型的參數(shù)識別值

圖8 模型計算與試驗幅頻響應曲線對比圖

3.2 基于Stribeck摩擦模型的參數(shù)識別結果

將Stribeck摩擦力矩代入舵系統(tǒng)運動方程中，可以得到摩擦模型為Stribeck摩擦模型的舵系統(tǒng)非線性動力學模型。該型空氣舵的轉動慣量為J=0.346 kg·m2，待識別的參數(shù)分別為：舵軸的等效扭轉剛度K、黏性阻尼系數(shù)C、靜摩擦力矩Mf、系統(tǒng)間隙e、最小動摩擦力矩與靜摩擦力矩Mf之比k0、動摩擦力矩最小時的舵面角速度vm。本節(jié)分別采用最小二乘非線性擬合法及遺傳算法對所建模型中的未知參數(shù)進行識別，識別得到的參數(shù)值如表2所示，仿真和試驗得到的幅頻響應曲線，如圖9所示。

表2 基于Stribeck摩擦模型的參數(shù)識別值

圖9 模型計算與試驗幅頻響應曲線對比圖

3.3 結果分析

由識別結果可見：

(1)相較于Stribeck摩擦模型，采用庫侖摩擦模型所建立的舵系統(tǒng)非線性動力學模型能較為準確地反映該型空氣舵系統(tǒng)實際的動力學行為。基于庫侖摩擦模型的參數(shù)識別，最小二乘非線性擬合法和遺傳算法識別得到的各項參數(shù)值差異較小，計算得到的幅頻響應曲線與試驗測得的幅頻響應曲線擬合效果均較好，分析認為參數(shù)存在的微小差異的主要原因是不同算法產生的算法誤差。

(2)基于Stribeck摩擦模型的參數(shù)識別，采用兩種參數(shù)識別方法得到的最小動摩擦力矩與靜摩擦力矩Mf之比k0的值均接近1，當k0=1時，Stribeck摩擦模型退化為庫侖摩擦模型，進一步驗證了庫侖摩擦模型能較為準確地反映該空氣舵機械系統(tǒng)的真實摩擦力矩。

(4)最小二乘非線性擬合法的計算時間短，效率高，但需要求出幅頻響應函數(shù)的解析解，對于本文研究的單自由度系統(tǒng)較為適用，對于更復雜的無法求出函數(shù)表達式的系統(tǒng)并不適用。由于在遺傳算法優(yōu)化的過程中需要仿真計算模型的幅頻響應數(shù)據(jù)，故計算較慢，效率較低，但對于任意系統(tǒng)，都具有可行性。

4 結 論

在飛行器工程研制實踐中，由于設計加工制造過程中產生的間隙、摩擦，導致系統(tǒng)的動力學特性存在明顯的非線性特征。本文針對典型的戰(zhàn)術武器空氣舵系統(tǒng)，分別采用庫侖摩擦模型和Stribeck摩擦模型建立了空氣舵系統(tǒng)非線性動力學模型，并使用試驗測得的頻響數(shù)據(jù)識別模型中的未知參數(shù)，得到以下結論：

(1)本文通過建模及參數(shù)識別，比較了庫侖摩擦模型和Stribeck摩擦模型與實際系統(tǒng)的適應程度，結果表明庫侖摩擦模型能夠較為準確地反映實際系統(tǒng)中的摩擦力矩。

(2)本文比較了最小二乘非線性擬合法和遺傳算法參數(shù)識別的效果，結果表明這兩種算法都能取得較好的參數(shù)識別效果，但適用范圍及計算效率不同。

后續(xù)應在在以下方面開展工作：

(1)采用動態(tài)摩擦模型，如Lugre摩擦模型建立舵系統(tǒng)非線性動力學模型，識別模型中的未知參數(shù)，并將模型計算結果與試驗結果對比判斷建模的準確程度。

(2)考慮接觸等非線性因素，研究其建模及參數(shù)識別方法。