隨機車輪不圓順及車輛參數對軌道頻域振動響應影響分析

李明航，馬 蒙，譚新宇，張厚貴，劉衛豐

(1.北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044；2.北京市勞動保護科學研究所，北京 100054)

地鐵列車誘發的振動主要由準靜態激勵和動態激勵產生。其中動態激勵的產生機制包括：車輪不圓順和軌道不平順、軌道節疤和車輪扁疤、多邊形磨耗等引起的激勵，以及周期性軌道結構的參數激勵等[1]。因此，振動響應大小與列車狀態、線路類型、鋼軌狀態及輪軌養護維修水平等直接相關。

通過統計分析大量的現場測試數據，李憲同等[2-3]發現同一測試斷面一天內多趟列車引起的隧道壁振動響應呈現明顯的離散特征，最大Z振級相差超過5 dB；馬蒙等[4]發現同一列車車輪鏇修后，隧道壁振動響應在環境振動關心的20 Hz～80 Hz內平均衰減量超過10 dB。究其原因，針對某一固定測試斷面，在較短時間內雖然車速、車型和線路條件等基本一致，但由于不同列車狀態等，導致了短時間內的多列不同列車通過引起的頻域振動響應呈現顯著的不確定性，且不同頻段的離散特征差異顯著[5]。列車狀態差異具體可分為車輛參數差異(如載質量波動、車輛懸掛系統老化及制造誤差等)及車輪不圓順的差異。目前針對該問題的研究仍以統計分析大量現場實測數據為主，對于其離散原因、不同頻段的控制因素等機理性研究并不充分。

列車運行引起的振動響應是典型的隨機過程。在理論研究方面，考慮隨機激勵或結構參數隨機性引起的隨機振動問題主要采用隨機模擬[6]、隨機攝動理論[7]、正交展開理論[8]、概率密度演化理論[9]等方法。在車-橋耦合、車-軌耦合隨機振動分析領域，余志武等[10]應用概率密度演化理論，分析了車輛參數隨機性的車橋豎向隨機振動；徐磊等[11]分析了高速鐵路軌道概率不平順譜、車輪磨耗發展引起的車軌耦合隨機振動問題；項盼[12]分析了固定輸入不平順譜激勵作下，車輛隨機參數引起的車軌耦合隨機振動響應。但諸類研究主要從車輛運行安全性、乘客舒適性等角度出發，重點分析車-軌耦合系統振動響應的時域隨機特性，且未見考慮車輪不圓順隨機性對車-軌耦合系統的頻域振動響應影響分析。

隨著軌道交通運營引起的振動及噪聲問題愈發凸顯，尤其是針對已開通線路，在無法實施更換減振、降噪產品的條件下，通過制定合理的列車養護維修策略等手段降低振動及噪聲影響的技術潛力值得深入挖掘。針對該問題首先應給出不同列車車輪磨耗水平及參數隨機性對車-軌耦合系統的頻域振動響應影響的理論分析結果。

本文通過實測不同運營里程典型列車車輪不圓順，構建隨機車輪不圓順譜；測試某一地鐵隧道區間軌道高低不平順、鋼軌表面粗糙度及軌道振動響應；基于車-軌耦合頻域解析模型，以輸入實測軌道不平順譜耦合隨機車輪不圓順譜作為激勵，采用隨機模擬法，詳細分析了隨機車輪不圓順及車輛參數對軌道頻域振動響應影響。

1 車輪不圓順測試及其隨機譜構建

1.1 實測車輪不圓順

車輪不圓順測試列車為6節編組的地鐵B型車。選取測量的4列典型列車累積運營里程數分別為10.6萬km(Ta車)、11.3萬km(Tb車)、14.1萬km(Tc車)及15.5萬km(Td車)，且均未開展過車輪鏇修作業，標準車輪半徑為0.42 m。采用TriTops車輪不圓順測試儀對全車所有車輪進行現場測試，該儀器具備3個等距測量探針，可同時測量距離輪緣外側70 mm的名義滾動圓處及其左右10 mm處，3個不同車輪踏面位置的不圓順，如圖1所示。

圖1 測試儀器及測點位置

車輪不圓順測試樣本的功率譜密度函數(power spectral density, PSD)估計是構建其隨機譜函數的基礎，后文簡稱為車輪不圓順譜。本文選用周期圖法進行車輪不圓順譜估計，對測試數據施加漢寧窗，為保證功率譜幅值的準確性，加窗恢復系數設為2[13-14]。

城市軌道交通引起的環境振動及結構二次噪聲領域，重點關心200 Hz以下頻段的振動響應。考慮以40 km/h作為下限運營車速，則重點關心波長大于50 mm。車輪不圓順的上限影響波長為車輪周長(≈2.62 m)[15]。因此，本文給出的車輪不圓順譜統計結果均只反映0.05 m～2.62 m波長范圍。4列典型列車車輪不圓順測試樣本的PSD及其初步統計結果，如圖2所示。在某些波長處，不同測試樣本車輪不圓順譜相差超過3個數量級；車輪不圓順譜呈現與各階多邊形磨耗典型波長相對應的峰值；均值譜、5%及95%分位譜呈現相似的波動趨勢，三條統計譜線間主要表現為量級的差異。

圖2 典型列車車輪不圓順譜測試PSD樣本與分位數譜

韓鵬等[16]研究發現，隨著運營里程的增加，車輪踏面的磨耗量呈現以實際滾動圓為中心的正態分布特征，單位運營里程車輪磨耗量同樣呈現正態分布特征。因此，即使本文選取的列車無法反應車輪鏇修全周期內的運營狀態，但考慮運行線路整體線形，同一列車動車、拖車的輪對質量差異，同一車輪多個測量點等眾多隨機因素共同作用下，本文測得的車輪不圓順譜基本可以反映整個車輪鏇修周期內的大多數車輪不圓順狀態。以圖2給出的樣本為基礎構建隨機車輪不圓順譜是合理的。

1.2 車輪隨機不圓順譜構建

遍歷車輪隨機不圓順所有激勵形態是分析其引起振動響應不確定性問題的關鍵。實測數據表明，車輪不圓順表現為顯著的多邊形磨耗特征，車輪不圓順譜在各階多邊形對應波長處出現明顯峰值，且離散超過3個數量級。為了便于統計分析，將不圓順譜轉換為等效粗糙度級

(1)

式中：r0為參考值，1 μm；λ為關心波長范圍內的不同波長取值；PSD(λ)為波長λ對應的功率譜密度值。

測試樣本的等效粗糙度級樣本及其均值、5%及95%分位數譜線統計結果，如圖3所示，5%及95%分位數譜基本關于均值譜對稱。

圖3 測試車輪等效粗糙度級樣本及分位數譜

圖4給出了5階～20階多邊形對應波長處的等效粗糙度級的統計分布規律。將功率譜轉換為等效粗糙度級譜LPSD后，不同典型波長處的分布特征相似，呈現正態分布特征，且不同波長處的標準差基本一致。

圖4 典型多邊形磨耗對應波長等效粗糙度級統計

假設車輪等效粗糙度級譜不同波長處具備相同的分布特征，在數值上只表現為均值μ(λ)的不同，標準差一致。以測試樣本0.05 m～2.62 m波長段各個離散波長點對應的標準差為樣本，其樣本均值作為全波長統一標準差σtot，構建隨機車輪不圓順譜的概率密度函數

(2)

圖5給出了等效粗糙度級及車輪不圓順譜的5%及95%分位數的估計值與實測樣本統計結果，在0.05 m～2.62 m波長范圍內，估計譜與實測統計譜基本吻合，本文采用的估計方法可以較好地反應實測車輪不圓順譜的分布特征。

圖5 車輪不圓順實測分位數譜與估計分位數譜

2 頻域車-軌耦合解析模型與模型校核

文獻[17]提出的頻域車-軌耦合模型，如圖 6所示。具備力學概念明確、全解析、計算效率高等優點。本文采用該模型進行軌道頻域振動響應的求解。

圖6 DTVI2扣件軌道對應的車軌系統力學模型

2.1 車輛與軌道控制方程

計算模型參考地鐵B型車，采取6節編組，單節車輛模型考慮為具備2系彈簧質量體系的10自由度2維模型，具體包括車體的沉浮及轉動自由度、2個轉向架的沉浮及轉動自由度和4個輪對的沉浮自由度。各子結構均考慮為剛體，系統方程通過對各個剛體各自由度采用D’Alembert原理計算獲得；輪軌間采用赫茲接觸，接觸參數見文獻[18]；同時考慮軌道高低不平順譜及車輪不圓順譜作為系統激勵。

列車第m節車輛的頻域控制方程為

(3)

參考“無限-周期”理論[19-22]，將軌道結構視為以扣件間距L為周期的離散支撐無限-周期結構。鋼軌簡化為無限長歐拉梁，扣件支撐簡化為彈簧阻尼單元。軌梁的振動響應可統一在一個特征周期長度內進行求解。在頻域內，頻率為ωl的單位移動荷載作用下，一個特征周期內的軌梁振動方程為

(4)

2.2 輪軌耦合不平順譜擬合

為反應輪軌接觸面的完整激勵信息，需要同時考慮軌道動態不平順、鋼軌表面粗糙度及車輪不圓順的全部激勵能量。目前，輪軌耦合不平順譜主要用于輪軌激勵引起的滾動噪聲問題，重點考慮輪、軌表面粗糙度的激勵信息，主要形式分為三類：

(1)輪、軌分離譜[23]，即分別對車輪踏面及鋼軌表面粗糙度譜進行測量估計，然后按照能量疊加的方式進行線性疊加。該方法完全不考慮車輪踏面粗糙度與鋼軌表面粗糙度間的相干性，一定程度上會高估輪軌表面的實際激勵信息。

(2)只考慮鋼軌表面粗糙度。該方法顯然會丟失車輪表面的激勵信息。

(3)輪軌聯合粗糙度譜[24-25]，該方法可通過現場測試列車通過引起的鋼軌振動衰減規律等方式獲得，體現了車輪踏面粗糙度與鋼軌表面粗糙度間的相干性。

在輪軌相互作用過程中，由于列車軸荷載作用，車輪踏面與鋼軌接觸部分會出現局部彈性變形，形成半徑5 mm～8 mm的橢圓形接觸斑，其對于小于該尺寸波長段對應輪、軌粗糙度有明顯的接觸濾波作用，導致激勵減弱。

為了保證激勵信息的完備與激勵能量的等效，采用不同波長處車輪及鋼軌粗糙度能量疊加的方式，綜合考慮輪、軌耦合激勵作用。本文重點關注50 mm以上波長的輪、軌不平順，遠大于接觸斑尺寸，因此可以忽略接觸濾波效應。

輪軌耦合不平順的擬合以馬龍祥提出的改進三角級數擬合方法為基礎，同時考慮車輪不圓順及軌道不平順的影響。該方法假設不平順的樣本函數由不同頻率成分的諧波分量組成，且不同波長間相互獨立。則列車第k軸歷經的對應激勵頻率ωl(l=-NR,…,-1,1,…,NR)的輪軌耦合不平順幅值可以表達為

(5)

(6)

S(Ωl)=SWheel(Ωl)+SRail(Ωl)

(7)

式中：S(Ω)為輪、軌耦合不平順PSD；SWheel(Ωl)為車輪不圓平順的PSD，SRail(Ωl)為軌道不平順的PSD，定義在空間角頻率區間[Ω1,ΩNR]上，該區間的選擇依賴于感興趣的頻率范圍和列車速度；ΔΩ和Ωl(l=1,2,…,NR)為將區間[Ω1,ΩNR]等分為NR個子區間后的子區間長度及各子區間的中心空間頻率；θlk為不同軸之間0～2π內的隨機相位。

2.3 模型驗證

筆者在車輪不圓順測試列車運營線路某單線隧道區間直線段，敷設DTVI2扣件普通整體道床軌道斷面，進行了鋼軌垂向振動加速度測試，列車運行速度約60 km/h。結合運營單位提供的線路運營信息，提取累積運營里程分別達到14.1萬km列車(Tc車)及完成車輪鏇修作業后1.2萬km列車(Te車)引起的振動響應。兩列典型列車引起的鋼軌垂向振動加速度時程及頻譜，如圖 7所示。顯然，Tc車引起的鋼軌振動響應時程遠高于Te車；頻域內，50 Hz～400 Hz全頻段內Tc車引起的鋼軌振動響應時程遠高于Te車，且在100 Hz附近具有一個與車輪14階多邊形磨耗直接相關的特征峰值。

圖7 典型列車引起鋼軌加速度時程及頻譜

參考測試斷面的軌道參數及車輛類型，表1及表2分別給出了車-軌耦合模型的車輛及軌道建模參數。

表1 地鐵B型車關鍵參數

表2 DTVI2扣件軌道參數(對應兩股軌道)

本文實測獲得的軌道高低不平順最短分析波長為2 m；鋼軌表面粗糙度采用CAT小車進行檢測，可獲得3 m以下波長鋼軌表面粗糙度。綜合考慮測量數據的可靠性，模型輸入的軌道不平順譜分段采用測試區間實測軌道動態不平順譜(≥2 m波長段)及鋼軌表面粗糙度譜(<2 m波長段)；車輪不圓順譜采用運營14.1萬km對應的Tc車車輪不圓順均值譜(≤2.62 m波長段)。軌道不平順譜與車輪不圓順譜作為聯合激勵，生成的輪軌耦合譜如圖 8所示。<0.5 m波長段耦合譜的幅值主要體現為車輪不圓順譜的幅值特征，≥0.5 m波長段體現為鋼軌表面粗糙度譜及軌道動態不平順譜的幅值特征。

圖8 Tc車輪軌耦合不平順譜

振動加速度級定義為

(8)

式中：fi為第i個中心頻率；a(fi)為第i個中心頻率處的振動加速度有效值；a0為參考加速度值，10-6m/s2。提取典型列車(Tc車)通過引起的實測鋼軌垂向振動加速度級對比模型計算結果，如圖9所示。

平均絕對百分比誤差(mean absolute percentage error，MAPE)可用于定量分析模擬計算結果與測試結果(約定真值)間的差異。MAPE是絕對誤差與被約定真值之比，一般以百分數表示

(9)

式中：qi為計算值；Qi為約定真值；以計算值，真值形成一組數對，n為數對的個數。

如圖9所示，計算結果與實測值在8 Hz～200 Hz全頻段內吻合良好，大部分中心頻率的分頻加速度級位于實測數據的95%置信區間內，MAPE僅為2.4%。

圖9 實測典型列車通過與模型計算鋼軌加速度級

3 隨機不圓順譜及隨機參數對軌道頻域振動響應的影響分析

除考慮隨機車輪不圓順激勵外，同時考慮了隨機車輛參數(載質量，一系懸掛彈簧剛度、阻尼，二系懸掛剛度、阻尼)對軌道頻域振動響應的影響。各項隨機參數的均值見表2，變異系數均設為5%。假設不同參數間相互獨立，且服從正態分布。

基于協方差矩陣Cholesky因子分解的線性變換方法[26]，獲得200組隨機向量，進行隨機模擬。計算工況分別考慮60 km/h，70 km/h，80 km/h及90 km/h，4個運行速度級。通過隨機向量，生成的車輪不圓順譜及輪軌耦合不平順譜模擬計算樣本，如圖10所示。

圖10 輪軌耦合隨機不平順譜模擬計算樣本

提取運營里程在10萬km～16萬km內的列車通過引起的實測鋼軌振動加速度級與計算結果相比較。圖11給出了60 km/h運行速度下計算結果與實測樣本的均值及標準差。顯然，在8 Hz～200 Hz全頻段內計算均值與實測均值吻合良好，MAPE計算結果僅為2.1%；在12.5 Hz以上頻段，計算結果基本可以包絡實測結果，模擬計算加速度的標準差普遍更大。這是由于，在實際的車輪磨耗過程中，車輪踏面的磨耗量呈現正態分布特征，模擬計算的車輪不圓順譜的分布特征由名義滾動輪及其左右10 mm的3個測量點的統計結果獲得。因此，與實際的列車經過測試斷面時歷經的車輪不圓順相比，本文采用的測試樣本包含很多不圓順的極端情況，數據覆蓋范圍更廣。

圖11 計算值與實測值對比

圖12給出了不同車速條件下的鋼軌振動加速度級計算結果。隨機車輪不圓順譜導致，12.5 Hz以上分頻加速度級顯著離散，該頻段的振動響應受動態激勵控制；在車輪7階～9階多邊形磨耗對應頻段，即50 Hz～100 Hz頻段內，分頻振級離散超過20 dB；對于8 Hz以下頻段，加速度響應受準靜態激勵控制，在車輛參數5%的變異系數條件下，并未導致該頻段的加速度級出現明顯的離散。

圖12 鋼軌振動加速度級模擬計算結果

圖13給出了不同車速條件下中心頻率25 Hz，40 Hz，63 Hz及100 Hz處的分頻振動加速度級分布特征。不同車速條件下4個中心頻率的振動加速度級均表現為明顯的正偏態分布特征。該現象與輸入的輪軌耦合不平順譜直接相關。圖 10(a)所示，通過車輪不圓順譜概率密度函數生成的隨機樣本離散超過4個數量級，實測的鋼軌粗糙度譜量級介于隨機車輪不圓順譜樣本之間。二者疊加后，其能量較低的耦合不平順譜主要表現為實測軌道高低不平順譜及鋼軌表面粗糙度譜的量級。因此，會出現大量接近軌道不平順譜的輪軌耦合不平順譜計算樣本，從而導致鋼軌振動加速度級計算結果呈現正偏態的分布特征。此外，隨著車速的增加，與不同中心頻率振動響應直接相關的典型輪軌耦合不平順波長隨之變化，分頻加速度級并未表現出一致增加的趨勢。

圖13 典型頻率鋼軌振動加速度級模擬計算結果分布特征

4 結 論

通過實測不同運營里程典型列車車輪不圓順，構建了隨機車輪不圓順功率譜密度函數的數學模型，并基于頻域車-軌耦合解析模型，采用隨機模擬法系統分析了隨機車輪不圓順及隨機車輛參數作用下軌道的頻域振動響應。研究結果表明：

(1)以輪軌耦合不平順作為激勵，輸入車-軌耦合模型，在8 Hz～200 Hz全頻段內計算均值與實測均值吻合良好，可獲得準確的軌道系統頻域振動響應；

(2)隨機車輛參數、隨機車輪不圓順耦合軌道不平順作用下，8 Hz以下的振動響應未出現顯著離散；16 Hz以上的振動加速度離散明顯，63 Hz以上頻段差值超過20 dB，且在典型頻率處均呈現正偏態分布特征。