正交各向異性聲源膜板的自由振動特性分析

王久法

(宜昌測試技術研究所，湖北 宜昌 443099)

發聲器可模擬艦船或潛艇的輻射噪聲，應用于反潛戰、水雷戰等軍事領域以及工程領域中，也可發出低頻聲場，應用于海底資源勘探等工程領域中。聲源膜板作為發聲器的重要組成部分，其振動特性對發聲器的性能有著重要的影響。

正交各向異性材料由于在各個方向上具有不同力學性質，通過改變不同方向的性能參數，可以靈活控制結構的振動特性，從而產生不同的輻射噪聲，實現不同噪聲譜的模擬，因此，正交各向異性材料越來越廣泛的應用于發聲器中。

為了分析正交各向異性材料的振動特性，近年來，許多學者進行了大量研究，取得了一系列成果。如Gorman[1]使用疊加法，Hurlebaus等[2]采用Galerkin原理，Xing等[3-4]采用分離變量法，Jafari等[5]采用微分求積法分析了正交各向異性薄板結構的振動特性。不過，這些研究均基于Kirchhoff理論，其適用范圍有限，當結構厚度較大時，該理論得到的計算結果與真實情況間會產生較大的偏差，為了提高計算準確性，Liew等[6-11]采用Reyleigh-Ritz法、分離變量法、譜有限元法等方法開展中厚板結構的振動特性分析。

這些研究在建立邊界約束方程時，邊界條件均假定為固支、簡支和自由等經典條件，而正交各向異性聲源膜板在實際使用時，其邊界條件并非僅僅局限于這幾種經典邊界條件，還存在著均勻彈性支撐等復雜的邊界條件，建立正交各向異性聲源膜板在彈性支撐下的振動模型具有重要的意義。近年來，Li等[12-14]提出一種改進的Fourier級數方法，開展了彈性邊界條件下的板梁結構的振動特性分析。Du等[15-17]將該方法進一步拓展應用，結合Hamilton原理，實現了中厚板、層合板等結構在彈性邊界條件下的振動特性分析。

本文采用改進Fourier級數的方法，將正交各向異性聲源膜板的振動位移函數表示為標準的二維Fourier余弦級數和輔助Fourier級數之和的形式，通過輔助級數的引入，實現了振動位移函數在整個板的求解域內展開時都有連續的一階導數?；贛indlin理論，推導出正交各向異性聲源膜板在任意邊界條件下的振動矩陣方程，不同邊界條件的振動特性可通過求解該矩陣方程而得到。

1 控制微分方程求解

正交各向異性聲源膜板的模型，如圖1所示，聲源膜板結構的四個邊界處分別均勻地布置橫向位移彈簧、旋轉彈簧和扭轉彈簧，通過改變剛度值，實現對任意彈性邊界條件的模擬。

圖1 彈性邊界條件下聲源膜板結構示意圖

經典邊界條件均可通過對彈簧的剛度值進行相應的設置而得到。當所有彈簧剛度值均為零時，可實現自由邊界條件的模擬；橫向位移和扭轉約束彈簧剛度值為無窮大，當旋轉約束彈簧剛度值為零時，可實現簡支邊界條件的模擬；當所有的彈簧剛度值均為無窮大時，可實現固支邊界條件的模擬，文中無窮大取為107×D0。

根據Mindlin理論，正交各向異性聲源膜板結構自由振動的控制方程為

(1)

式中:D1,D2,D3,D12,D6,G4,G5為正交各向異性聲源膜板的材料參數，可參考Liew的研究進行計算。當其為單層板結構時，D1=E1h3/[12(1-v1v2)]，D2=E2h3/[12(1-v1v2)]，D3=D12+D6，D12=v1D1=v2D2，D6=G12h3/12，G4=kG23h,G5=kG13h,J=h3/12;w為撓度;ρ為密度;h為厚度;k為剪切系數;E1,E2,v1,v2,G12,G13和G23為單層板的彈性常數;ω為角頻率。

為了解決振動位移函數在邊界處的不連續問題，本文采用改進Fourier級數方法，將正交各異性聲源膜板結構的橫向位移函數和轉角函數通過沿x軸和y軸方向的兩個分量來描述

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

與y相關的輔助函數可以將式(7)、式(8)中的a和x分別用b和y進行替換得到。從式(4)～式(6)可以看出，振動位移和轉角函數展開時除了標準的二維Fourier級數，還增加了四項輔助的單Fourier級數。通過輔助項，可有效解決振動位移和轉角函數關于x和y的一階偏導在邊界處的潛在不連續性問題。因此，改進的Fourier級數解可以適用于任意的彈性邊界條件，同時也能改善級數的收斂性。

將式(4)～式(6)代入控制式(1)中，并將所有的輔助級數及其導數均展開為Fourier余弦級數，并利用方程左右兩端余弦項系數相等有

(9)

式中:m=0,1,2,…;n=0,1,2,…;輔助級數及其導數的Fourier展開為

(10)

(11)

同理，將式(4)～式(6)代入控制方程式(2)和式(3)中并展開為Fourier余弦級數。將當所有級數展開在數值計算過程中均截斷于m=M和n=N，式(1)～式(3)可以寫為

(BA+CP)+ρhω2(EA+FP)=0

(12)

2 彈性約束邊界條件

彈性約束邊界條件可寫為

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

式中：kx0,Kx0和Kyx0(kxa,Kxa和Kyxa)分別為x=0(x=a)處橫向位移、旋轉和扭轉約束彈簧剛度；ky0，Ky0和Kxy0(kyb，Kyb和Kxyb)分別為y=0(y=b)處橫向位移、旋轉和扭轉約束彈簧剛度。

將式(4)～式(6)代入式(13)～式(18)中，并將輔助級數展開Fourier級數，由方程兩端余弦項系數相等有

(25)

式中，m=0,1,2,…。

(28)

式中，n=0,1,2,…。

同理，將式(4)～式(6)代入式(19)～式(24)中可得另外六個方程式。當級數的截斷數取為m=M和n=N時，約束方程可寫成矩陣表達示為

HP=QA

(31)

將式(31)代入式(12)中，可得到最終的系統方程為

(K-ρhω2M)A=0

(32)

式中：K=(B+CH-1Q)/D1;M=(E+FH-1Q)。

正交各向異性聲源膜板的振動頻率以及振型均可通過求解這一標準矩陣方程的特征值和特征向量得到，其中，特征向量為所對應結構模態形狀分布的Fourier系數。

3 數值結果與討論

本文考慮的正交各向異性聲源膜板為復合材料層合板，由多層等厚的單元板復合而成。單元板的材料性能參數為Ex/Ey=40,G12=3/5Ey,G23=1/2Ey,G13=3/5Ey,vy=1/4,vx=0.006 25;剪切修正系數為k=π2/12。文中:C為固支邊界條件；F為自由邊界條件；S為簡支邊界條件。假設某邊界條件為FSCC，其表示沿邊界x=0，y=0，x=a和y=b的邊界條件分別為自由、簡支、固支和固支。

在求解式(32)時，M和N取值越大，計算結果越精確，當M和N趨于無窮大時得到精確解。在實際的工程應用中，M和N的值越大，其計算時間和成本越大，因此，快速收斂成為該方法是否適用的重要參考指標。為了檢驗收斂性，表1給出了正交各向異性聲源膜板在不同截斷數時的計算結果，其中，聲源膜板為三層板結構0°/90°/0°，聲源膜板的長寬比a/b=1，厚度比b/h=10，邊界條件為SSFF。從表1中可以看出，M和N的值超過10時，計算結果幾乎就不再變化，M=N=3和M=N=16時得到的前八階無量綱固有頻率的最大偏差為1.38%，即本方法具有較好的收斂性，當截斷數取較小的值時就能得到比較精確的結果。

表1 聲源膜板振動方程的收斂性

通過求解式(32)可得到結構在任意邊界條件下的模態信息，表2給出了不同厚度比和經典邊界條件下正交各向異性聲源膜板的前六階無量綱振動頻率參數Ω=(ωa2/π2)(ρh/D0)1/2，其中，聲源膜板為三層板結構0°/90°/0°，D0=Eyh3/[12(1-vxvy)]，兩個方向的振動位移函數展開時均采用相同的截斷數，取值為M=N=12。為了驗證本文方法的準確性，表2中也給出了Liew采用Ritz法以及Liu等研究中采用分離變量法得到的計算結果，通過比較可知，本文方法得到的結果與其他方法得到的結果吻合良好，最大偏差不超過0.5%，即本文方法適用于各種經典邊界條件的振動問題的求解。

表2 經典邊界條件的聲源膜板的頻率參數

表3分別給出反對稱角鋪設以及正規對稱正交鋪設四邊簡支正交各向異性膜板在不同的厚度比條件下的基頻，同時，表中也給出了文獻[18-19]采用高階剪切理論得到的結果。45°/-45°/45°/-45°表示正交各向異性膜板由4層單層板構成，第1層和第3層的主方向的夾角為45°，第2層和第3層為-45°，從計算結果可知，本文方法得到的結果與高階剪切理論得到的結果偏差不超過1%，特別是當厚度比不超過0.1時，兩種方法的偏差不超過0.5%。

表3 四邊簡支正交各向異性膜板的基頻

本方法采用約束彈簧來模擬邊界條件，通過將其作為振動方程中的一個參數，使邊界條件的問題轉化為彈簧剛度參數設置的問題，從而便于研究邊界條件對振動特性的影響。圖2給出了長寬比a/b=1，厚度比b/h=5的聲源膜板在不同彈性支撐剛度下的前十階無量綱振動頻率曲線。其中，板結構四邊上的橫向位移約束彈簧剛度值和扭轉約束彈簧剛度值都為無窮大，旋轉移約束彈簧剛度值為10k×D1。圖中曲線k(k=1,2，…，7)表示為旋轉約束彈簧剛度值都為10k×D1下的計算結果。從圖2中可以看出，當k≤4時，彈簧剛度值對聲源膜板結構的振動頻率產生極為明顯的影響，隨著彈簧剛度值的增加，矩形板的頻率也隨之增大。因此，在發聲器工作過程中，可通過改變聲源膜板的邊界條件，實現不同噪聲譜的模擬。同時，從圖2中也可看出，當k≥5時，曲線幾乎不在變化，頻率值變為邊界條件為CCCC下的結果。從這里也能看出，本文看中剛度值為107×D1近似為無窮大是合適的。

圖2 彈性邊界條件下板的振動頻率

4 結 論

本文采用改進Fourier級數方法，將橫向振動位移函數和轉角函數表示為標準的二維Fourier余弦級數和輔助級數的線性疊加，建立了正交各向異性聲源膜板的在任意邊界條件下通用振動模型，聲源膜板的固有頻率和振型等均可通過求解該矩陣方程得到。聲源膜板的邊界條件采用橫向位移約束彈簧、旋轉約束彈簧和扭轉約束彈簧來模擬，不同邊界條件通過設置相應的邊界彈簧剛度值來實現。最后進行了數值仿真分析，并與其他文獻的結果進行了比較，驗證了本方法的快速收斂性和準確性。