精密包裝彈性支撐緩沖系統振動特性修正模型及分析

嚴國平，彭震奧，鐘 飛，于道航，周宏娣，楊小俊

(湖北工業大學 機械工程學院，武漢 430068)

緩沖包裝系統可用來吸收外部的能量，起到保護產品的作用，被廣泛應用于產品包裝運輸過程中。由于緩沖包裝系統在運輸過程中道路條件的影響，緩沖包裝系統通常會受到垂直于行駛方向(縱向)的振動激勵，這也是目前減振研究的主要方向。另外，實際工程應用中的緩沖減振結構種類較多，國內外學者對各類緩沖包裝力學模型進行了廣泛的探索。

王蕾等[1]以懸掛式緩沖包裝為研究對象，探討該緩沖包裝系統的沖擊特性；李輝等[2]在考慮易損件的情況下建立了二自由度的懸掛緩沖包裝力學模型并在跌落環境下對其跌落防護做出了評價；李宏衛[3]給出一種新的算法用以評估緩沖包裝力學模型強非線性并進行了試驗驗證。郝蒙[4]細化了易損件的形式，針對性地討論了易損件結構為懸臂梁的緩沖包裝特性；Sakar[5]采用歐拉-伯努利梁假設法對包含懸臂梁的緩沖包裝進行了研究，討論了對系統固有頻率的影響。盧富德等[6-8]以單層瓦楞紙板研究為基礎，提出了多層瓦楞紙板間的動力學模型并進行了響應特性的計算；於崇銘等[9]給出了彈藥運輸三自由度緩沖包裝模型并建立其在簡諧激勵下的振動力學微分方程；Gao等[10]建立了半正弦加速度脈沖下的緩沖包裝系統動力學方程，研究了考慮產品質心偏移的旋轉與平移耦合問題；盧富德等[11-12]建立了可降解餐具碗在緩沖包裝作用下的有限元模型，研究了受沖擊載荷的泡沫包裝餐具碗的應力分布及抗沖擊能力。以上這些研究主要針對緩沖包裝系統在工作振動方向進行分析，較少考慮側向緩沖系統對振動特性的影響。而對于精密包裝來說，側面包裝緩沖要求較高，橫向彈簧緩沖系統對于縱向振動激勵有較大影響，對其進行振動特性分析時如果不考慮側向緩沖系統則可能會使系統振動分析誤差較大，達不到精確分析的要求。

有鑒于此，本文引入橫向彈簧的徑向剛度作為計算修正參數，較全面地對精密包裝彈性支承緩沖系統振動特性進行深入研究，并通過試驗對該理論修正模型進行了驗證，為精密包裝彈性支撐緩沖系統振動特性數值精確分析提供依據。

1 精密包裝緩沖系統減振分析修正模型

1.1 彈性支撐緩沖系統的力學模型

某精密包裝內部減振器分布，如圖1所示。將貨物及其包裝箱以及安裝底板看作整體，可得到簡化力學模型如圖2所示。以物塊質心為參考點，坐標系建立于質心處，質心的運動由沿坐標軸的平動位移x，y，z以及繞各坐標軸的轉動角度α，β，γ組成。同時系統中的等效剛度系數為kai，kbi，kci，kdi，阻尼系數分別是cai，cbi，cci，cdi，i的取值分別為0，1，2，i的編號與彈簧阻尼的固定端編號一致。設包裝產品的質心為M′，其到面ADHE的距離為w1，到面BCGF的距離為w2，到面EFGH的距離為h1，到面ABCD的距離為h2，到面DCGH的距離為l1，到面ABFE的距離為l2。

1.集裝箱；2.貨物安裝底板；3.減振器；4.貨物。

圖2 力學模型

本文采用能量法研究質心M′的六自由度運動。為了獲得彈簧的彈性勢能，需先對A,B,C,D四個點的運動位置與質心M′的運動位置之間存在的關系進行準確判斷。由于所述模型的轉動是繞過質心的坐標軸轉動，可先計算出模型繞DH棱轉動時的坐標變化，再進一步完成繞M′點旋轉的位置推算，如圖3所示。

圖3 轉動模型

圖3中ABCDEFGH為轉動前位置，A′B′C′DE′F′G′H為繞DH軸旋轉了角度σ之后的位置。通過計算轉動后的實際位移及其在X軸的投影，可推出旋轉前后各幾何邊在X軸投影的差值，再運用右手定則可求得圖2中模型下方四個支撐點的坐標[13]為

(1)

系統的總動能T，包括平動動能以及轉動動能，可表示為

系統的總彈性勢能V為X軸向彈性勢能Vkx，Y軸向彈性勢能Vky以及Z軸向彈性勢能Vkz之和，可表示為

V=Vkx+Vky+Vkz

(3)

其中，Vkx，Vky，Vkz的表達式分別為

系統的總耗散能U為X軸向耗散能Ucx，Y軸向耗散能Ucy以及Z軸向耗散能Ucz之和，可表示為

U=Ucx+Ucy+Ucz

(7)

其中，Ucx，Ucy，Ucz的表達式分別為

整個包裝緩沖系統總能量E包含物塊運動總動能T，彈簧產生彈性勢能V以及阻尼構件產生的耗散能U。其能量方程[14]表達式為

(11)

為簡化模型，設定X，Y，Z軸向的各彈簧系數各自相等，如式(12)所示

(12)

將式(11)進一步簡化得到各軸向安裝的彈簧阻尼相同時的能量方程為

進而可得如下方程

(14)

(15)

(16)

1.2 考慮彈簧徑向剛度的修正模型

式(15)未考慮橫向緩沖系統對Y方向振動系統的影響，忽略了X，Z方向彈簧對Y方向振動產生的作用。這里引入X，Z方向彈簧的徑向剛度作為計算修正參數代入式(15)中，以期獲得考慮橫向彈簧影響的精密包裝彈性支承緩沖系統振動的精確計算模型。

彈簧徑向剛度可由彈簧軸向剛度與軸撓度計算得到。軸向剛度k的計算式為

(17)

式中:d為彈簧線徑;Gt為彈簧材料的剪切模量；D為彈簧內徑與外徑的平均值；n為有效圈數。

彈簧在載荷P的作用下的軸向撓度f

(18)

當兩支承面的接觸方式為彈性接觸時，且兩支承面能發生相對轉動，徑向剛度kr計算公式為

(19)

式中：H為彈簧在載荷P的作用下兩支承面間的高度；i為載荷P對彈簧徑向變形的影響因子，其表達式為

(20)

系數i也可根據參考文獻[15]進行查找。

設krai，krbi，krci，krdi為X，Z向彈簧的徑向剛度，i取1和2，設定所有徑向剛度相等，緩沖系統Y軸向振動微分方程式(15)可修正為

(4ky+8kr)y+(2ky+4kr)(l1-l2)α+

(2ky+4kr)(w2-w1)γ=0

(21)

整個包裝緩沖系統振動方程可表示為

(22)

式中:M為包裝緩沖系統的整體質量矩陣；C為包裝緩沖系統的整體阻尼矩陣；K為包裝緩沖系統的整體剛度矩陣；X為包裝緩沖系統的整體廣義位移向量。

包裝緩沖系統的整體質量[M]表示為

(23)

包裝緩沖系統的整體阻尼矩陣[C]表示為

包裝緩沖系統的整體剛度矩陣[K]表示為

(25)

2 具體算例

表1 徑向剛度參數表

表2 工況參數

圖4為工況一下不同側向彈簧壓縮力時y向位移變化結果曲線，圖4為工況一下徑向剛度系數變化下幅頻曲線。

圖4 工況一時Y向位移變化曲線

從圖4中可以看出，當橫向彈簧減振器上壓縮力P發生變化時，由于其壓縮引起彈簧徑向剛度的差異，使得貨物包裝箱的固有頻率隨其產生變動；當橫向彈簧減振器所受軸向壓縮力增大時，緩沖系統在Y向的固有頻率也會同步增大。這一規律表明：若產品運輸時主要遭受高頻激勵時，可考慮對產品包裝箱兩側降低壓緊程度，降低其固有頻率，防止出現共振現象；當產品在遭受低頻激勵狀態時，可適當增大壓緊力，保護集裝箱內部產品。

圖5表明，徑向剛度系數i越大，緩沖包裝系統共振幅值響應越大。為避免短暫共振帶來的危害，應適當降低精密緩沖包裝系統固有頻率值以保護被包裝的產品。進一步地將本文所提出的修正模型所得Y軸向固有頻率與未考慮橫向緩沖系統影響的計算方法所得結果進行對比，如表3所示。

圖5 工況一時徑向剛度系數變化下幅頻曲線

表3 Y軸向固有頻率值

由表3中數據可以看出，理論計算時，未考慮橫向彈簧徑向剛度時，緩沖系統固有頻率沒有變化。而考慮橫向彈簧徑向剛度時，精密緩沖包裝系統固有頻率計算結果產生了較大的差異，且橫向彈簧軸向預壓力越大，緩沖系統Y軸向固有頻率越高。這說明對于側面包裝緩沖要求較高的精密包裝來說，橫向緩沖系統對其縱向振動特性的影響不能忽略。

圖6中，工況二時精密包裝緩沖系統在X，Z軸向的加速度峰值更小。雖然此時依然存在加速度變化不穩定的現象，但相較于工況一，其加速度的變化差值更小。在初位移狀態下，因加速度變化過大導致的產品損壞的幾率在一定程度上低于工況一。

圖6 兩工況下包裝緩沖系統加速度對比曲線

工況二時質心位置將偏向于圖2中的C點，為滿足安裝準則，以C點處Y軸向的彈簧剛度kyc為變量，討論其對振動響應的影響。分別令kyc為1 000 N/mm，2 000 N/mm，3 000 N/mm，Y軸向振動加速度影響變化如圖7所示。

圖7 工況二時C點彈簧剛度非對稱時響應曲線

由圖7可知，工況二時C點Y軸向剛度增加，產品包裝箱的Y軸加速度響應產生相位差，加速度幅值隨之增加。此時其X軸向加速度響應存在一段不穩定的波動，該波動會隨C點Y軸向剛度的增加而減少。因此，工況二下，為平衡集裝箱內產品的各向加速度響應，不應無限制地增加或減少單一支承點的減振器剛度，否則會對其他方向產生不利影響。

3 試驗研究

精密包裝緩沖系統振動試驗平臺，如圖8所示。測試用振動實體模型，如圖9所示。選用的彈簧變形量設計為20 mm左右，其參數如表4所示。振動試驗臺選用DY-300-3電動振動試驗臺(蘇州試驗儀器總廠)，除原廠配備的數據采集系統外，運用LabView軟件編制了相應的附加數據采集系統，用以對采集的數據進行比較。對振動臺進行標定，原振動臺自身存在2.34%的輸出頻率誤差。使用瞬干膠將傳感器與物塊上端黏合，測量其縱向加速度數據。

表4 彈簧參數表

1.緩沖包裝振動系統；2.振動平臺；3.控制系統；4.采集系統。

1.物塊；2.彈簧減振器；3.振動臺臺面；4.夾具板；5.角鋁固定件。

各軸向彈簧剛度kx=ky=kz=k時，對其進行橫向彈簧在無壓緊力時進行掃頻試驗，其結果如圖10所示。推導所得的理論值如圖11所示。

圖10 橫向彈簧無壓緊力時掃頻試驗曲線

圖11 橫向彈簧無壓緊力時理論計算曲線

圖10與圖11所示表明，在各向選用參數相同彈簧作為緩沖減振系統的情況下，兩圖所示趨勢基本一致。其中各固有頻率點所對應的加速度響應值存在一定的差異，主要為振動臺的加速度穩定性較差所致。當選用彈簧剛度越大，系統的固有頻率隨之增加，且振動響應幅值在共振點處明顯提高，具體修正模型計算結果與試驗所得固有頻率值見表5。

表5 固有頻率及誤差

對固有頻率的理論計算值與試驗實測值進行比較，結果顯示兩類數值接近。誤差最大值僅為3.732%。由于振動臺自身存在2.34%的輸出頻率誤差，各自實測固有頻率值還可再分別降低2.34%，理論結果與試驗測試結果將更為接近，這表明：本文所提出的考慮橫向彈簧徑向剛度的精密包裝緩沖系統振動特性修正模型具有較好的可行性。

實際緩沖包裝系統中橫向與縱向彈簧可能存在差異，令橫向彈簧剛度為k1，縱向彈簧剛度為k2，試驗分析k2在1.38 N/mm，2.25 N/mm以及3.5 N/mm時橫向彈簧剛度對縱向固有頻率的影響。測試結果曲線如圖12所示。

圖12 不同橫向彈簧剛度下試驗曲線

由圖12測試結果可知：縱向固有頻率總會隨著橫向彈簧剛度k1的變化而變化。針對本試驗結構，當縱向彈簧剛度k2一定時，橫向彈簧剛度k1不會改變縱向固有頻率的曲線形態。在縱向彈簧剛度k2相同的情況下，隨著橫向彈簧剛度k1的增大，縱向固有頻率的峰值點逐漸后移，其最大值也會逐漸變大。

當橫向彈簧有一定預壓緊力時，橫向彈簧對物塊的作用力較大，采用三種不同的橫向剛度彈簧進行測試。測試結果如圖13所示。

由圖13可知：當彈簧剛度為2.25 N/mm且橫向彈簧存在壓縮時，壓縮長度增大，系統固有頻率也會隨之增加，分別是6.579 Hz，6.692 Hz和6.788 Hz，且加速度響應峰值略有增加，這與理論分析得到的規律一致。當彈簧剛度分別為1.38 N/mm和3.5 N/mm時，其試驗結果的規律與之類似。這說明在壓縮工況下，固有頻率會隨著橫向彈簧壓縮量的增加而增加。可見，橫向緩沖系統的剛度對于精密包裝緩沖系統縱向振動的影響具有一定的規律性。

圖13 不同壓縮量時三種橫向彈簧剛度時加速度試驗曲線

對比橫向無彈簧與橫向有彈簧以及不同橫向彈簧剛度作用等工況下的測試結果，如圖14所示。由圖可知：當縱向彈簧剛度k2一定時，安裝橫向彈簧后，緩沖包裝系統縱向固有頻率對應加速度峰值點增大。當增加橫向彈簧剛度k1后，緩沖包裝系統縱向固有頻率峰值點也隨之增大。

圖14 橫向有無彈簧及橫向彈簧剛度不同的試驗曲線

隨著緩沖包裝系統固有頻率的增加，彈簧剛度為k2=1.38 N/mm，k1=0(即無橫向彈簧)與k2=1.38 N/mm，k1=1.38 N/mm時，相同固有頻率下所對應的加速度比大于1并逐漸增大；當頻率為4.168 32 Hz時，兩工況下縱向加速度值比出現峰值并逐漸減小，此過程中橫向彈簧有利于提高精密包裝彈性支撐緩沖系統的減振效果。當頻率增加到5.243 86 Hz時，兩工況下縱向加速度比小于1并逐漸減少，后逐漸趨于穩定，即當固有頻率增加到5.243 86 Hz時，橫向彈簧對精密包裝彈性支撐緩沖系統的減振效果影響較小。同理，當彈簧剛度為k2=1.38 N/mm，k1=0(即無橫向彈簧)與k2=1.38 N/mm，k1=2.25 N/mm時縱向加速度比峰值出現在4.306 22 Hz，增加到5.435 93 Hz時加速度比小于1并逐漸減少。彈簧剛度為k2=2.25 N/mm，k1=0(即無橫向彈簧)與k2=2.25 N/mm，k1=1.38時,縱向加速度比峰值出現在4.805 18 Hz，增加到5.780 58 Hz時加速度比小于1并逐漸減小。當彈簧剛度為k2=2.25 N/mm，k1=0和k2=2.25 N/mm，k1=2.25 N/mm時，加速度比峰值出現在4.821 67 Hz，增加到5.952 56 Hz時加速度比小于1并逐漸減小。由此可見，精密包裝彈性支撐緩沖系統在特定固有頻率范圍內(本試驗例中其值均小于6 Hz)振動，在縱向彈簧的基礎上安裝橫向彈簧，對包裝件緩沖性能的提高有明顯作用。

4 結 論

通過引入彈簧徑向剛度對包裝緩沖系統振動特性進行理論與試驗研究，可以得到如下結論：

(1)當橫向彈簧軸向預壓緊時，隨著壓緊力的增大，包裝緩沖系統固有頻率及加速度響應峰值也會隨之增加。運輸中遭受高頻激勵時，可降低包裝緩沖系統兩側預緊力，遭受低頻激勵時，可提高包裝緩沖系統兩側預緊力，從而避免共振現象的發生，保護包裝內部產品。

(2)徑向剛度系數越大，包裝緩沖系統共振幅值響應越大。為避免共振，應適當降低包裝緩沖系統的固有頻率，且應充分考慮橫向彈簧對其振動特性的影響。

(3)工況二時緩沖包裝系統在X，Z向的加速度峰值更小。相較于工況一，其加速度的變化差值更小。在初位移狀態下，因加速度變化過大導致的產品損壞的幾率在一定程度上低于工況一時的振動系統。為平衡產品的各向加速度響應，不應無限制的增加或減少單一支承點的減振器剛度，否則會對其他方向產生不利影響。

(4)試驗結果表明：縱向固有頻率總會隨著橫向彈簧剛度的變化而變化。在各向選用相同參數彈簧減振的情況下，系統的固有頻率變化趨勢基本一致。在縱向彈簧剛度相同的情況下，當橫向彈簧剛度越大，系統的固有頻率越大，且振動響應幅值在共振點處明顯提高，其峰值點也隨之明顯后移，這與理論相一致。