基于改進Jacobian-Torsor理論的轉子組件裝配精度控制方法

丁司懿，鄭小虎

東華大學 機械工程學院，上海 201620

現代航空發動機的工作轉速極高，中國自主研制的大型客機發動機驗證機(CJ-1000AX)首臺整機核心機轉速最高達到6 600 r/min，國外成熟的民用渦扇發動機的工作轉速一般在10 000 r/min以上，某些小型發動機則具有高達40 000～50 000 r/min的轉速。轉子及連接件在這樣的高速運轉下，同時受到熱載荷、氣動力、慣性力和振動負荷的影響和沖擊[1]，極易疲勞和斷裂。如果轉子的定心方案設計不妥、裝配不當、平衡不好，零件前期制造過程中的傾斜、偏心、跳動等偏差累積將在杠桿效應作用下成倍增大，待安裝零件會進一步累積已裝好組件的偏心或傾斜誤差，使最后裝配完成的轉子部件產生巨大的偏擺和傾斜，最終導致航空發動機工作時產生劇烈振動，直接影響整機安全性和可靠性，造成不可估量的損失[2]。

同心度是眾多測量參數中能夠較好地反映裝配結構狀態的參數指標，有助于全面、多角度地反饋轉子、機匣和支承的相對位置及結構狀態。同心度測量包括轉子同心度測量、轉靜子同心度測量與支承同心度測量，每一類同心度測量指標詮釋的結構狀態與側重點都有所不同，需要利用不同的分析、控制技術加以分析和解決[3]，本文研究的是多級轉子組件裝配同心度控制。在轉子堆疊過程中產生的不同心量是每一級鼓盤類零件不同心量累積的結果，當轉子高速旋轉時，這些不同心量將產生較大的不平衡力和不平衡力矩，二者綜合作用，嚴重影響發動機的運轉安全和效率。為將殘余不平衡力和力矩減至最小，應在轉子裝配過程中將平衡好的單盤優化組合裝配。轉子組件的同心度偏差是各零件同心度偏差的矢量累加，而累加的方式受各轉子之間周向安裝相位角的影響。轉子裝配優化技術就是優化各轉子之間的周向安裝相位角度，以使轉子組件的同心度偏差或不平衡量最小。

目前，中國仍采用傳統的以千分表人工手動測試為主的裝配方法[4]，根據操作人員的經驗對各級轉子進行反復試錯調整。通過設定某一閾值條件檢測每次零件堆疊后的偏心度，確保其符合閾值范圍后再向上疊加后一級零件。該方法耗時長、效率低，極大增加了返工頻率，甚至無法完成既定的裝配目標。一般地，裝配一臺轉子部件需要花費4～5天，反復拆裝4～5次，并使零件重復經歷冷、熱循環加工，極大縮短了發動機零部件的使用壽命。

三維裝配偏差分析是一種控制偏差傳遞的有效手段，無論是在實際裝配階段還是產品研發階段，構建一個合理的偏差傳遞模型、提出一種可行的裝配方案是提高產品質量、降低設計風險和成本的根本途徑。Hussain團隊[5-8]研究了航空發動機堆疊優化技術以控制轉子部件的整體同心度，主要在二維結構上進行了嘗試，提出了3種優化策略；隨后在考慮噪聲干擾、測量精度和可調方向角的問題上研究了三維狀態下的直接堆疊過程[9]和平行堆疊過程[10]，并提出了一種概率求解方法[11]。然而上述堆疊方法不能充分考慮零件形位偏差對裝配同心度的影響，而且優化目標僅局限于單級零件的同心度控制，并非轉子組件整體同心度控制目標；Alison[12]利用子測試系統得到轉子不同位置的應力信號，通過分析零件的容損參數確定了公差與裝配精度的映射規律，最終改善了轉子組件整體的裝配性能。近年來，隨著數字化裝配技術的發展，中國也逐漸引進并掌握了一些先進的航空發動機轉子裝配技術[13]，在數字化工裝設計[14-15]、數字化測量[16-17]、數字化預裝配[18-19]等方面均取得了突破。陳雪峰等[20]提出了一種檢測航空發動機轉子裝配性能的新方法，通過激振各級轉子并采集多載波耦合信號獲得航空發動機轉子的脈沖響應，最后針對8個子信號提取轉子系統的平均裝配性能指標，該方法為事后檢測方法，無法在裝配前對航空發動機轉子質量進行有效評價，亦無法對轉子裝配提供有效指導；張子陽等[21]針對航空發動機高壓轉子拉桿結構提出了基于非線性阻尼的裝配檢測方法，根據能量方程推導出了基于希爾伯特黃變換(Hilbert-Huang Transform，HHT)的非線性阻尼識別公式，反映了螺栓擰緊力矩對裝配接觸面的影響規律；曹茂國[22]采用Powell算法對轉子各級盤的角向安裝位置進行了工藝裝配優化設計，減小了作用在軸頸上的力和力矩。然而，這些方法都無法充分考慮轉子的幾何結構和偏差量方面對裝配精度的影響，不能建立有效的同心度偏差控制方法。基于上述問題，本文將著手解決精密回轉組件的同心度偏差控制問題，結合改進的雅可比旋量(Jacobian-Torsor，J-T)理論對回轉體裝配偏差傳遞規律進行深入探討，并提出有效的裝配工藝新方法。

1 J-T理論及其改進算法

1.1 偏差模型概念和區間定義

基于J-T理論的偏差模型采用了以下概念定義：

1) 功能單元(Function Element，FE)

FE為裝配體中各個零件或零件之間的幾何特征要素，它們可以是實體要素，也可以是虛擬要素。例如圓柱體的柱面、端面特征，就是實體要素；圓柱回轉軸線，就是虛擬要素。

2) 內部功能單元(Internal Function Element，IFE)

IFE為位于單體零件內部的幾何特征要素，它們之間存在彼此約束關系，兩兩構成一個內部約束對，簡稱內部副。

3) 接觸功能單元(Contact Function Element，CFE)

CFE為位于不同零件連接特征上的幾何要素，它們之間存在直接或間接的接觸關系，兩兩構成一個外部約束對，簡稱接觸副。

4) 功能要求(Functional Requirement，FR)

FR即封閉環的幾何精度要求，是最終裝配完成后的目標測量量和控制量。

“區間運算”用于進行帶有不確定性問題的數學表征與計算，在J-T理論中，區間運算主要被應用到公差域中矢量分量的上、下界與功能要求副之間的關聯關系之中。區間運算以矢量矩陣的形式描述公差域在6個自由度方向上的邊界范圍，充分考慮了可能的數值誤差對裝配結果的影響，使任何可能的結果都以閉合區間的形式保證其合理性。任意元素的區間符號表示為

(1)

表1 區間運算法則Table 1 Operation using the arithmetic by interval

1.2 J-T模型

J-T模型包含雅可比矩陣和旋量模型兩部分，裝配偏差的傳遞類似于機器人的運動誤差傳遞，對于三維裝配偏差尺寸鏈而言，各個功能單元與功能要求的關系表達式為

[J1,J2,J3,J4,J5,J6]FE2, …,

[J1,J2,J3,J4,J5,J6]FEn]·

[δqFE1, δqFE2, …, δqFE(n-1), δqFEn]T

(2)

式中：δs為偏差在FR的X、Y和Z坐標軸上的移動；δα為偏差繞X、Y和Z坐標軸的轉動；δqFEi為功能單元i的6個自由度方向上的變動量；[J1,J2,J3,J4,J5,J6]FEi為功能單元i的6×6雅可比矩陣。

關于式(2)中的雅可比矩陣，其列向量為

(3)

式中：C1i、C2i和C3i分別為坐標系i的x、y、z軸在坐標系0中的方向向量；di和dm為坐標系i和m的原點在坐標系0中的位置。

(4)

Desrochers等[23]考慮到偏差域發生傾斜的情況，引入了投影矩陣RPti。RPti是一個含有3組方向轉換向量的3×3矩陣，可以實現偏差域變動方向與偏差分析方向的有效轉換。

綜合以上分析，最終雅可比矩陣為

(5)

Clément等[24]在Hervé[25]的位移集理論的基礎上提出了工藝拓撲關聯表面(Technologically and Topologically Related Surfaces，TTRS)的概念。根據TTRS的定義，將特征變動用矢量集合加以描述，即為旋量。因為特征變動量遠遠小于裝配體實際尺寸，所以旋量又被稱為小位移旋量(Small Displacement Torsor，SDT)。

一般地，SDT模型包含6個變動矢量：3個移動矢量和3個旋轉矢量，以此表征某個特征元素的位置和方向，如圖1所示，圖中TSU和TSL分別為特征的公差上、下極限；下標SU和SL分別代表小位移旋量上限和下限；T為公差域；d為回轉體直徑；S0為名義特征；S1為變動特征；TPO為位置度公差；TPRA為平行度公差。

圖1 小位移旋量模型Fig.1 Small displacement torsor model

則旋量S1相對S0可表示為

T1-0=[u,v,w,α,β,γ]T

(6)

式中：u、v和w為局部坐標系中沿x、y和z軸方向的移動量；α、β和γ為繞x、y和z軸的轉動量。

SDT理論用旋量約束及變動方程表征FE在三維公差域中的微小變動，雅可比理論用矩陣變換表征點集在剛體開環運動鏈中的微小位移。J-T 理論將SDT理論和雅克比理論相結合：

FR=JFE

(7)

式中：FR為功能要求矩陣；FE為功能單元矩陣；J為待求特征的雅可比矩陣，其具體表達參見式(3)。

將式(7)展開后可得

[[J1,J2,J3,J4,J5,J6]FE1,

[J1,J2,J3,J4,J5,J6]FE2,…,

[J1,J2,J3,J4,J5,J6]FEn]·

(8)

1.3 考慮回轉效應的雅可比矩陣的構造與求解

J-T模型并不能直接應用到與旋轉優化相關的操作上，也就是說該偏差模型無法對轉子各種堆疊方案進行評價和優化。針對航空發動機轉子件的回轉特性，引入回轉副(Revolution Joint，RJ)的概念對零件的回轉調節機制加以表征。如圖2所示，圖中ti為輪廓度公差，Hi加框表示該尺寸為固定值，是理想尺寸，不帶公差從而便于分析。圓柱體底面為零件基準面，頂面含有輪廓度公差，RJ與基準面N重合，不含任何公差信息。可以看出，RJ本質上屬于一種接觸型功能單元(CFE類型)，可在雅可比矩陣中方便地表達。

圖2 轉子回轉副Fig.2 Rotors with revolution joint

圖3(a)描述的是兩級回轉體裝配，圖中Di為第i個圓柱體的上端直徑。設定全局坐標系0位于第1級回轉體下表面中心，同時在每級零件裝配面中心位置有各自局部坐標系1、2、3；每級零件上表面含有一個帶參考基準的輪廓度公差ti(i=1,2)，待求的FR是全局坐標系下圓柱體b上表面中心沿著偏心方向的偏差累計量tf。

圖3 兩級轉子裝配Fig.3 Two-stage rotor assembly

(9)

圖4為偏差帶傾斜的情況，需要根據偏差傳遞方向對FE進行投影轉化，在轉子堆疊過程中，偏差分析方向和FE、FR的偏差域變動方向相同，不存在額外的偏差域投影過程。因此，與RJ雅可比矩陣相關的投影矩陣RPti是一個單位矩陣。

圖4 旋量投影Fig.4 Torsor projection

(10)

(11)

(12)

式中：H1和H2分別為第1級和第2級轉子高度。

對于n級回轉體裝配，其總共包括n個IFE和n-1個CFE。其功能要求FRn為頂端零件上表面中心沿著偏心方向在全局坐標系0下的偏差累計量。假設使第i個零件圍繞z軸旋轉θi-1角度，則在全局坐標系下，RJ所含的局部方向變換矩陣的一般形式可表示為

(13)

通過對零件偏差在特征高度和特征角度上進行傳遞修正，可以推出一般形式下修正的雅可比擴展矩陣Je，其IFE和CFE的具體形式為

(14)

(15)

式中：Hi為第i級零件的高度；θi為第i+1級零件相對于坐標系0的旋轉角度。

2 多級轉子裝配尺寸鏈建模與偏差控制

2.1 轉子尺寸鏈的偏差傳遞模型

如圖5所示，圖中εi為第i級轉子偏心距，對于多級回轉體堆疊，全局坐標系0位于第1級轉子的底部回轉中心，回轉主軸穿過第1級圓柱的基準面中心并與之垂直，偏差自下而上進行傳遞。根據雅可比矩陣特點，[[J1,J2,J3,J4,J5,J6]FE1, [J1,J2,J3,J4,J5,J6]FE2,…, [J1,J2,J3,J4,J5,J6]FEn]表征了偏差從FE1到FEn的傳遞過程。

圖5 多級轉子堆疊過程Fig.5 Stacking process of multistage rotors

然而，按照傳統手段堆疊而成的轉子組件通常會出現局部同心度超差的情況，如圖5(a)所示。由于傳統裝配方法是一個逐級堆疊調整的過程，屬于“裝配一級、控制一級、檢驗通過一級”，操作者仍基于經驗和試湊法實現該過程，成功率低；更重要的是，該方法過分關注于單級零件的同心度水平，無法對組件整體的同心性能進行評價和控制。導致后端零件很容易出現同心度超差的情況，即使能夠滿足組件整體的裝配精度要求，其整體同心度也并非最優解。

為解決局部性能過優、整體精度超差的問題，不僅要對安裝級零件的同心度偏差進行調節和控制，而且要注重各級零件的偏差聯動效應。隨著零件級數的增多和杠桿效應的放大，仍會不可避免地出現頂部同軸度難以控制的局面，這就需要再次微調下端零件的轉角，以適當放大下端零件的裝配偏差為代價，補償上端零件的裝配精度，補償效果如圖5(b)所示。

修正的雅可比擴展矩陣Je能夠較好地反映零件的回轉特性及零件之間的偏差耦合聯動效應。在[[J1,J2,J3,J4,J5,J6]FE1, [J1,J2,J3,J4,J5,J6]FE2,…, [J1,J2,J3,J4,J5,J6]FEn]基礎上，進一步考慮各級零件的旋轉調節過程：偏差將在相鄰兩級轉子關節處發生圍繞z軸的方向轉變，從而引起偏差傳遞路徑的變化。最后的偏差傳遞矩陣將變為[[J1e,J2e,J3e,J4e,J5e,J6e]FE1, [J1e,J2e,J3e,J4e,J5e,J6e]FE2,…, [J1e,J2e,J3e,J4e,J5e,J6e]FEn]。

轉子裝配特征為典型的平面特征，如圖1所示。該特征含有3個不變度，意味著每組偏差旋量有且僅有3個有效矢量。Roy和Li[26]已給出平面特征偏差旋量表達式的詳細推導，對于單級轉子而言，每組表面SDT有效矢量的變化范圍可以表示為

(16)

式中：D為圓柱直徑。

不等式方程組式(16)包含了轉子平面特征可能出現的所有的偏差情況，根據1.1節中介紹的SDT區間算法，將其代入J-T模型并結合雅可比擴展矩陣可構建出FR和所有FE之間的SDT偏差傳遞關系。n級轉子裝配FR與各FE的偏差傳遞關系可表示為

[[Je]IFE1, [Je]CFE1, [Je]IFE2, [Je]CFE2, …, [Je]CFE(n-1), [Je]IFEn]·

(17)

式中：tn為第n個零件的輪廓度公差；Dn為第n個圓柱體的上端直徑。

(18)

式中：εn為第n級圓柱體上端面的同心度偏差；un為第n級圓柱體上端面的同心度沿x坐標軸的偏差；vn為第n級圓柱體上端面的同心度沿y坐標軸的偏差。

式(16)～式(18)分別為n級回轉體裝配的一般性偏差傳遞模型、同心度偏差表達式以及矢量變動約束不等式。如果零件偏差已知，一個確定性的同心度偏差便可以求得，通過優化算法能確定最終各級轉子最佳安裝角和對應的最優同心度。

2.2 組合堆疊同心度評價方法

為衡量組件整體的同心性能、考慮各級零件偏差之間的影響關系，采用多級偏心度(Multistage Eccentricity，ME)概念作為整體評價指標。

多級偏心度為

εt=[(ξ2ε2)2+(ξ3ε3)2+…+

(ξiεi)2+…+(ξnεn)2]1/2

(19)

對應的目標控制量為

εmin=min{εt}

(20)

式中：εmin為εt的最小值；ξi為第i級零件偏心度加權系數，表示第i級零件的重要程度，i=2,3,…,n；εi為第i級零件偏心度。視所有零件同等重要，因此ξi=1，下標從i=2開始是因為偏心度是從第2級零件開始計算。

2.3 組合堆疊同心度控制方程

根據式(19)和式(20)的定義，結合n級轉子裝配偏差方程式(17)，可以確定轉子裝配同心度控制函數的一般形式：

t=2,3,…,n

(21)

式中：ti為第i個零件的輪廓度公差。

根據控制函數式(21)，利用一般優化算法可求解轉子最佳控制角度及最優同心度。采用遺傳優化算法對組合堆疊下的同心度控制進行分析和計算。

3 高壓渦輪轉子裝配案例分析與討論

3.1 建模及求解

3.1.1 零件精度與控制要求

圖6為某型航空發動機高壓渦輪轉子(High Pressure Turbine Rotor，HPTR)組件，該組件主要由① HPT后軸、② HPT盤、③ HPT前封嚴盤、④ HPT前軸組成。研究以轉子1～轉子4為代表的4級HPTR組件裝配同心度控制問題，需要控制HPTR整體同心度在0.038 mm范圍內，各級零件的結構和公差信息如表2所示。

圖6 HPTR同心度控制要求Fig.6 Concentricity control requirement of HPT rotors

表2 HPT轉子零件圖Table 2 Drawings of parts of HPT rotors

3.1.2 偏差控制方法

在本例中，全局坐標系0位于零件1的底面中心，局部坐標系1～7位于各級零件接觸功能單元表面偏差帶的中心位置。裝配連接關系如圖7所示。可以看出，偏差傳遞路徑為IFE1-CFE1-IFE2-CFE2-IFE3-CFE3-IFE4-FR。回轉副RJ位于相鄰轉子接觸功能單元上，與CFE重合，可使各級轉子位姿旋轉變動。

圖7 HPTR連接關系圖Fig.7 Connection diagram of HPTRs

利用Leitz P MM-Xi三坐標測量儀對零件特征面進行測量和數據采集，如圖8所示。每個面均勻選取5個點，以表征旋量坐標，具體測得的旋量偏差信息如表3所示。

圖8 測量和數據采集Fig.8 Measurement and data acquisition

表3 特征偏差旋量Table 3 Deviation torsos of points

根據Je的求解方法式(14)和式(15)可以確定各級轉子FE對應的雅可比擴展矩陣，如表4所示。

表4 雅可比擴展矩陣Table 4 Jacobian extended matrixes

根據Je和已測得的偏差旋量，可以推出最終的4級HPTR裝配偏差傳遞函數：

(22)

式中：δFRtotal為功能要求總偏差；δutotal、δvtotal和δwtotal分別為沿x、y和z軸方向的總移動偏差量；δαtotal、δβtotal和δγtotal分別為繞x、y和z軸方向的總轉動偏差量；因從第2級零件開始進行旋轉調姿,i≥ 2。

根據同心度偏差方程式(18)，可以求出第4級轉子的偏心度表達式：

(23)

式中：[δutotal]4=0.011 8 cosθ3-0.002 67 cosθ2-0.010 8 cosθ4+0.000 321 sinθ2-0.014 0× sinθ3-0.014 3 sinθ4-0.002 30，[δvtotal]4=0.014 0 cosθ3-0.000 321 cosθ2+0.014 3 cosθ4-0.002 67 sinθ2+0.011 8 sinθ3-0.010 8 sinθ4+0.003 10。

同樣地，可以求出[δutotal]i和[δvtotal]i，并得到第i級轉子的偏心度表達式εi(i=2,3,4)。

為了使HPTR整體同心度最佳，需要控制并優化多級偏心度εt，根據式(19)和式(20)尋找最佳θi使εt最小。針對式(22)，可確定該4級HPTR堆疊的目標控制方程為

(24)

式中：δFRn為第m級轉子的第n個功能要求偏差值。

3.2 結果與討論

3.2.1 結果優化

針對式(24)，采用遺傳優化算法(Genetic Algorithm，GA)尋找使得HPTR整體同心度(用多級偏心度εt表征)最佳的各級轉子安裝角θi組合。設定種群數目為50，交配比率Pc=0.80，變異率Pm=0.05[27-28]，所求結果如表5所示。

表5 GA優化結果Table 5 GA optimized results

由表5可知，當交配比率和變異率分別為0.80 和0.05時，平均進化代數將近達到18.3代，可見采用GA可使結果較快地收斂到最優值。圖9 顯示了該4級HPTR裝配時的安裝角度與多級偏心度εt之間的關系。如圖9所示，圖中θcomponent2、θcomponent3和θcomponent4分別為第2、3和4級零件的安裝角，第2、3、4級零件的安裝角度分別由3個互相垂直的平面表示，而3個平面的交點即為經遺傳優化后所求的多級偏心度εt。當3級零件的安裝角度分別為3.513、5.206、0.953 rad時，可獲得最小的多級偏心度結果，其值為0.042 mm。

圖9 多級偏心度與4級零件安裝角度關系Fig.9 Relationship between multistage eccentricity and installation angles of four-stage parts

可看出利用提出的改進J-T模型所求結果(0.042 mm)超出目標控制量(0.038 mm)10.53%，但在一定誤差范圍內及剛體假設條件下，該結果在一定程度上是可接受的，并可付諸指導實際裝配。該方法具備一定實用性和可操作性。

3.2.2 實驗對比

為驗證本文方法的有效性，采用徑向跳動千分表對HPTR零件的止口柱面進行測量，以及軸向跳動千分表對轉子零件安裝邊的端面進行圓跳動測量。前者用于表征轉子偏心度，而后者主要用來調節傾斜量。如圖10所示，采用直接裝配手段對HPTR組件進行安裝：完成一級零件堆疊后對其進行同心度測量，如果同心度超差，則拆卸零件并旋轉一定角度重新安裝，以確保每次增加零件后都能滿足同心度閾值條件，然后再向上安裝下一級轉子。

圖10 HPTR實際裝配過程Fig.10 Actual assembly process of HPTRs

按照此過程對該4級組件重復進行了10次安裝和測量，每次測得的各級零件徑向跳動量以及多級偏心度εt如表6所示，表6的最后一行同時列舉了采用改進的J-T模型進行安裝的同心度偏差計算值和實際值。

表6 裝配結果對比Table 6 Comparison of assembly results

可看出采用手動調整法進行裝配時，組件整體徑向跳動量(用多級偏心度εt衡量)在0.050～0.095 mm之間波動，且僅僅通過手動調整很難一次性達到目標精度要求；整個裝配過程需要反復調整，時間耗費至少5.5 h。而采用基于J-T多級控制理論的組合堆疊法進行計算和安裝，總共花費3.0 h便可獲得接近0.038 mm的徑向跳動結果，其中最佳安裝結果為0.037 mm。

對比計算結果和最佳實測結果可以看出，二者相對誤差為13.56%，這是由于理論計算模型認為零件是純剛體，忽略了接觸變形、過盈壓緊、形貌匹配等因素影響；但在誤差允許范圍內，理論計算結果仍然具備指導意義。在θ2=3.513 rad、θ3= 5.206 rad、θ4=0.953 rad的安裝角指導下，實際裝配結果較好地滿足了組件同心度要求。上述結果表明，改進的J-T多級裝配理論有利于精密回轉組件裝配偏差控制，具有較高的實用性，該模型可與計算機輔助設計(Computer Aided Design，CAD)/計算機輔助公差設計(Computer Aided Tolerancing，CAT)系統相集成，給實際操作者提供指導和幫助。

4 結 論

1) 針對傳統的J-T模型不能直接應用于與旋轉優化相關的操作這一問題，引入了RJ以表征航空發動機轉子件的回轉特性，并由此推導出雅可比擴展矩陣，從而完成對傳統J-T模型的修正。

2) 結合航空發動機轉子結構和裝配特點分析了轉子偏差的傳遞規律和偏差聯動效應，結合裝配特征的旋量模型推導出多級轉子堆疊的同心度偏差傳遞函數和控制方程。

3) 結合修正的J-T模型對某4級渦輪轉子裝配體進行驗證，當各級安裝角度分別為3.513、5.206、0.953 rad時，可獲得最高同心度0.042 mm。結果表明該模型可以有效預測組件整體精度并確定最佳裝配方案，具有較強現實指導意義。