基于粒子群優(yōu)化的雙脈沖發(fā)動機空空導彈爬高彈道研究

陳鹿斌，趙華超

(中國空空導彈研究院， 河南 洛陽 471000)

1 引言

現代戰(zhàn)爭離不開制空權的支持，而性能先進的空空導彈是奪取制空權的重要保證[1]。美國蘭德公司在最近發(fā)表的研究報告中再次強調:“空中優(yōu)勢是美國所有常規(guī)軍事行動的基礎，而當前的空中優(yōu)勢依賴于先進的態(tài)勢感知、隱身和超視距空空導彈”。超視距空空導彈最重要的性能指標之一，就是最大發(fā)射距離或等射程下最大末速，當發(fā)射距離相比對手處于優(yōu)勢地位，就可以做到先敵發(fā)射，先敵脫離，先敵命中，提高載機生存能力。在結構尺寸、質量約束下，不斷增加射程是空空導彈的重要發(fā)展方向之一，爬高彈道作為一種特種彈道，對于提高空空導彈的攻擊距離具有重要的現實意義[2]。李偉喆，陳萬春在研究雙脈沖空空導彈彈道優(yōu)化問題時[4]，以導彈過載為設計變量，飛行末速最大為性能指標，利用Radau偽譜法進行優(yōu)化。楊志紅，徐寶華在研究吸氣式高超聲速飛行器爬升彈道優(yōu)化問題時[4]，以攻角為設計變量，末端彈道傾角為性能指標，利用高斯偽譜法進行優(yōu)化。國內研究多針對單一變量進行優(yōu)化，優(yōu)化后的彈道工程實現有一定難度。因此對于雙脈沖空空導彈爬升彈道的優(yōu)化問題還需要做新的研究。

2 爬高彈道增程原理

為滿足快速作用性[5]，需簡化導彈空間運動的方程和模型的計算量，因此作如下假設：

1) 平衡假設

認為在每一時刻，導彈相對于自己重心保持平衡(即處于平衡狀態(tài))，在此狀態(tài)有平衡攻角和平衡舵偏角相對應，作為氣動特性參數的給定值均為平衡狀態(tài)值。

2) 無慣性假設

在整個彈道上，除了受控飛行的初始段有慣性外，在其余段認為給定過載的實現過程是無慣性的，在每個瞬間，在模型中所建立的過載與攻角之間是平衡關系。

建立三自由度導彈動力學微分方程[6]：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

導彈飛行距離：

(7)

目標運動方程：

(8)

(9)

(10)

載機運動方程完全類同目標運動方程。

導引律方程：

(11)

vc=vm-vT

(12)

可以看出提升發(fā)動機性能和優(yōu)化氣動外形減小阻力是增加空空導彈射程的有效手段。同時，阻力項中，空氣阻力

(13)

式中：ρ為當前飛行高度下的空氣密度；V為當前飛行速度；S為空空導彈的參考面積；Cx為阻力系數。由阻力表達式可知空空導彈的空氣阻力在一定條件下隨空氣密度的減小而減小。空氣密度隨高度增加而減小且減小程度十分明顯，在0～25 km范圍內，減小了近97%。所以，空空導彈在密度較小的高空飛行可以大大減小阻力，增大射程[7]，因此在較大高度飛行可以提高射程。

3 雙脈沖固體火箭發(fā)動機

3.1 發(fā)動機數學模型[8-9]

設I為雙脈沖發(fā)動機的總沖，I1為Ⅰ脈沖總沖，I2為Ⅱ脈沖總沖。則有

I=I1+I2

(14)

M為雙脈沖發(fā)動機的總裝藥量，M1為Ⅰ脈沖裝藥質量，M2為Ⅱ脈沖裝藥質量。則有

M=M1+M2

(15)

F1為Ⅰ脈沖平均推力，t1為Ⅰ脈沖推力持續(xù)時間，F2為Ⅱ脈沖平均推力，t2為Ⅱ脈沖推力持續(xù)時間。則有

(16)

mc1為Ⅰ脈沖工作期間的質量流量，mc2為Ⅱ脈沖工作期間的質量流量。則有：

(17)

Δt為Ⅰ、Ⅱ脈沖工作間隔時間，若Δt=0，則雙脈沖發(fā)動機為連續(xù)點火，若Δt≠0，雙脈沖發(fā)動機為間隔點火。推力大小如圖1所示。

圖1 雙脈沖固體火箭發(fā)動機推力與時間的關系示意圖

3.2 雙脈沖固體火箭發(fā)動機彈道特點

雙脈沖固體火箭發(fā)動機在空空導彈爬高彈道上的工作過程可以分為4個階段[10]：①Ⅰ脈沖發(fā)動機工作，導彈以給定的爬升角開始爬升；②Ⅰ脈沖發(fā)動機工作完畢到Ⅱ脈沖發(fā)動機開始工作前這段間隔時間內，導彈進行無動力飛行；③Ⅱ脈沖發(fā)動機開始工作，空空導彈二次加速；④ 空空導彈無動力飛行直至命中目標。采用雙脈沖固體火箭發(fā)動機空空導彈的爬高彈道曲線如圖2所示，常規(guī)發(fā)動機與雙脈沖發(fā)動機導彈速度曲線如圖3所示[11]。

圖2 雙脈沖空空導彈典型彈道曲線示意圖

圖3 常規(guī)發(fā)動機與雙脈沖發(fā)動機導彈速度曲線示意圖

在總沖一定的條件下，通過優(yōu)化爬升角、爬升時間、雙脈沖固體火箭發(fā)動機點火間隔及發(fā)動機推力比，可提供不同的推力形式，均可使末速增大。但以前的研究多是單一變量且沒有經過優(yōu)化設計。

4 粒子群優(yōu)化算法

由上文知，爬升角、爬升時間、點火間隔及發(fā)動機推力比都會影響爬高彈道的作戰(zhàn)性能。當同時考慮這4種參數的設計時，如何選擇能夠讓導彈具有最遠的射程或者等射程下最大的末速，是本文研究的主要內容。

在考量速度，距離等結果因素下，如何選擇最優(yōu)的點火間隔，本研究選擇使用粒子群算法進行彈道優(yōu)化。

4.1 粒子群算法原理[12]

粒子群優(yōu)化算法(partical swarm optimization,PSO)是一種模擬鳥群覓食行為而發(fā)展起來的一種基于群體協作的隨機搜索方法。PSO算法首先初始化一群隨機粒子(隨機解)，然后通過迭代找到最優(yōu)解。在每一次迭代中，粒子們通過跟蹤2個“極值”來更新自己的位置。第一個極值是粒子本身所找到的最優(yōu)解，這個解稱為個體極值；另一個極值是整個種群所找到的最優(yōu)解，這個極值稱為全局極值。

4.2 粒子群算法基本流程

應用PSO算法解決優(yōu)化問題的過程中，對于n維尋優(yōu)變量，粒子解可以編碼為X=[x1,x2,…,xn],適應度函數fitness=f(X)。

1)初始化群微粒，設定參數運動范圍，設定學習因子c1、c2、c1為局部學習因子，c2為全局學習因子，一般取c2大一些。最大進化代數G，cg代表當前的進化代數。在一個D維參數的搜索解空間中，粒子組成的種群規(guī)模大小為Size，一般取20～40，對于比較難的問題，粒子數可以取到100～200。每個粒子代表解空間的一個候選解，其中第i個粒子在空間中的位置表示為Xi，速度表示為Vi。第i個粒子從初始到當前迭代次數搜索產生的最優(yōu)解為個體極值pbest，整個種群目前的最優(yōu)解為gbest。隨機產生Size個粒子，隨機產生初始種群的位置矩陣和速度矩陣。

2) 適應度評價：將各個粒子的初始位置作為個體極值，計算群體中各個粒子的最初適應值f(Xi)，并求出種群最優(yōu)位置。

3) 更新粒子的速度和位置，產生新種群，并對粒子的速度和位置進行越界檢查。為避免算法陷入局部最優(yōu)解，加入一個局部自適應變異算子進行調整[13]。

(18)

(19)

其中，cg=1,2…,G,i=1,2…,Size,r1和r2為0到1的隨機數。ω為慣性權重

(20)

4) 比較粒子的當前適應值f(Xi)和自身歷史最優(yōu)值pbest,如果f(Xi)優(yōu)于pbest,則pbest=f(Xi)，并更新粒子位置。

5) 比較粒子當前適應值f(Xi)與種群最優(yōu)值gbest。如果f(Xi)優(yōu)于gbest，則gbest=f(Xi),更新種群全局最優(yōu)值。

6) 檢查結束條件，若滿足，則結束尋優(yōu)；否則cg=cg+1，跳轉至第三步，結束條件為尋優(yōu)達到最大進化代數，或評價值小于給定精度。

PSO算法流程如圖4所示。

本研究中對點火間隔、爬升角、爬升時間和Ⅰ/Ⅱ級推力比進行了尋優(yōu)，粒子可以直接編碼為[Tgap,θc,Tc,η]，適應度函數fitness=max(vf)。

5 仿真分析

5.1 仿真參數設置

導彈總體參數：導彈初始質量m0=200 kg,導彈直徑180 mm，彈長3 650 mm，參考面積S=0.028 m2。

本研究的目標函數是最大末速:

f(X)=max(vf)

設計變量X由點火間隔Tgap，爬升角度θc，爬升時間Tc，Ⅰ/Ⅱ級推力比η組成:

X=[Tgap,θc,Tc,η]

發(fā)動機參數設置：發(fā)動機總沖I(kN·s)，Ⅰ脈沖發(fā)動機總沖I1(kN·s)，Ⅱ脈沖發(fā)動機總沖I2(kN·s)，總裝藥質量為mf(kg)。

圖4 PSO算法流程框圖

限制Ⅰ/Ⅱ級脈沖最大點火間隔為90 s，導彈爬升角0°～60°,導彈過載nm

5.2 仿真條件設置

條件①：發(fā)射距離R1km，發(fā)射高度11 km，速度1.5ma；目標高度11 km，速度1.5ma；進入角180°，目標不機動。

條件②：發(fā)射距離R2km，發(fā)射高度10 km，速度1.2ma；目標高度10 km，速度1.2ma；進入角0°，目標不機動。

5.3 仿真結果及分析

通過粒子群尋優(yōu)結果，以最大末速vf作為尋優(yōu)指標。條件①的最優(yōu)參數點火間隔42 s，爬升角25°；條件②的最優(yōu)參數點火間隔22 s，爬升角36°。在此條件下與原彈道結果如表1所示。

由表1可以看出優(yōu)化過的彈道對比原始彈道，條件①下優(yōu)化彈道飛行末速比原始彈道提高了271 m/s，增速比26.4%；條件②下優(yōu)化彈道飛行末速比原始彈道提高了245 m/s，增速比39.6%。

由圖5和圖7可以看到加大了爬升角度，爬高彈道的爬升高度變高。間隔點火能夠降低飛行彈道的最大速度，從圖5中可以看到，迎頭攻擊時，在飛行后期點火，可以在接近目標的時候獲得更大的速度，在Ⅱ脈沖發(fā)動機能夠工作完全之前，越遲點火可以獲得越高的末速。

尾后攻擊對于最優(yōu)點火間隔有著不同的選擇，雖然前期隨著點火間隔變大，末速會隨著提高，但是過大的點火間隔會使整個攻擊時間拉長，彈道距離變長，末速降低。又分別對條件①、②下的全進入角進行了參數尋優(yōu)，并與原始彈道進行了對比。結果如表2所示。

表1 原始彈道與優(yōu)化彈道結果

圖5 條件①XOY平面彈道曲線

圖7 條件②XOY平面彈道曲線

表2 全進入角度優(yōu)化結果

在極坐標中畫出了優(yōu)化前后末速與進入角關系，如圖9所示。可以看到對于全進入角優(yōu)化后彈道的末速都大于原始彈道的末速。

圖9 優(yōu)化前后末速圖

另在極坐標中畫出了優(yōu)化前后等末速飛行距離與進入角關系，如圖10所示。可以看到對于全進入角優(yōu)化后彈道的等末速下飛行距離都大于原始彈道的飛行距離。

圖10 優(yōu)化前后飛行距離圖

對比2個條件下的不同進入角彈道的速度曲線如圖11所示，在迎頭攻擊時(進入角180°、150°、120°)，盡量延后Ⅱ脈沖發(fā)動機點火，可以得到最大的飛行末速；在尾后攻擊時(60°，30°，0°)，點火間隔不宜過長，否則會拉長攻擊時間，加大飛行距離，減小飛行末速。在90°進入角時，點火間隔的選擇方式與彈道條件有關，條件①選擇了在前期點火，條件②選擇了盡可能延后的點火方式。

假設目標在被導彈攻擊時采取逃逸機動。優(yōu)化結果與不機動時的結果如圖 12所示。

圖11 不同進入角彈道速度曲線

圖 12 目標做逃逸機動下優(yōu)化結果曲線

由圖12中結果可以看到當目標做逃逸機動時，優(yōu)化的Ⅱ脈沖點火時刻相比不機動提前了16s,可知目標的機動方式也會對優(yōu)化參數產生影響。

6 結論

1) 在目標不機動時，迎頭條件下，考慮到Ⅱ脈沖發(fā)動機工作完全，盡可能地延遲點火可以增加末速；在尾后條件下，最佳點火間隔出現在Ⅰ脈沖發(fā)動機工作后的某一中間時刻；在側向條件下，點火間隔的選擇方式與彈道有關；

2) 當考慮到目標做逃逸機動時，最佳點火間隔相比不機動將會縮短。

3) 與原始爬高彈道相比，通過本文優(yōu)化設計后的彈道可以在相同距離下取得更高的末速，或在相同末速下飛行更遠的距離，達到增程效果。