真空光阱中微球參數(shù)反饋控制的數(shù)值仿真研究

高立夫,胡展銘,韓 翔,肖光宗,羅 暉

(1.海軍裝備部駐湘潭地區(qū)軍事代表室, 湖南 湘潭 411100； 2.西安衛(wèi)星測(cè)控中心, 西安 710000； 3.國(guó)防科技大學(xué)前沿交叉學(xué)科學(xué)院, 長(zhǎng)沙 410073)

1 引言

精密測(cè)量技術(shù)是先進(jìn)制造發(fā)展的重要基礎(chǔ)和前提，是自主、完整掌握發(fā)展重大裝備的關(guān)鍵之一[1]。進(jìn)入21世紀(jì)后，先進(jìn)裝備制造已逐漸向精密化、集成化、智能化發(fā)展，對(duì)物理量精密測(cè)量的需求越來越高。以激光技術(shù)為代表的光學(xué)檢測(cè)技術(shù)具有非接觸性、高精度、三維性和實(shí)時(shí)性等優(yōu)勢(shì)，為物理量的精密測(cè)量提供了新的解決途徑[2-3]。真空光阱是在可控壓強(qiáng)的氣體環(huán)境中利用光的力學(xué)效應(yīng)操控微小粒子的一種技術(shù)，由于真空光阱可以隔絕捕獲微粒與外部環(huán)境之間的機(jī)械接觸和熱量交換，可近似視為理想狀態(tài)的簡(jiǎn)諧振子，被認(rèn)為是物理量精密測(cè)量的理想平臺(tái)，并可在室溫環(huán)境實(shí)現(xiàn)量子基態(tài)，因而在極弱力測(cè)量、精密慣性傳感、極弱力矩檢測(cè)、分?jǐn)?shù)元電荷量搜尋等方向具有很大的應(yīng)用潛力[4-7]。近年來，真空光阱技術(shù)快速興起并受到人們的廣泛關(guān)注[8-12]。

在真空光阱中，捕獲微粒所受環(huán)境阻尼大幅降低，慣性力占據(jù)主要作用，微粒呈現(xiàn)出高速運(yùn)動(dòng)，容易從光阱中逃逸。通常需要施加反饋控制措施來實(shí)現(xiàn)微粒的穩(wěn)定捕獲，并可降低微粒質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的等效溫度，因此也被稱為反饋冷卻。其中，參數(shù)反饋控制是常用的反饋冷卻方法，所采用的冷卻光束與捕獲光束為同一激光束，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單和實(shí)現(xiàn)便利等優(yōu)勢(shì)[13-14]。盡管真空光阱中的機(jī)械振子在室溫下便可達(dá)到μK～mK級(jí)等效溫度狀態(tài)，無需復(fù)雜的液氦冷卻系統(tǒng)，但實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)仍包含光阱光路、位移測(cè)量光路、真空系統(tǒng)和反饋控制電路等模塊，需要較長(zhǎng)時(shí)間調(diào)試實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)。建立合適的物理模型開展數(shù)值仿真研究將可測(cè)試反饋控制機(jī)理的冷卻效果，提高容錯(cuò)能力，加快系統(tǒng)調(diào)試過程，為器件工程化提供參考。本文首先將建立光阱中微球在參數(shù)反饋控制下的動(dòng)力學(xué)模型，然后選取合適的參數(shù)仿真微球的動(dòng)力學(xué)過程，觀察微球質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的冷卻效果，并詳細(xì)分析主要參數(shù)對(duì)冷卻效果的影響。

2 理論模型

2.1 參數(shù)反饋冷卻方法概述

參數(shù)反饋冷卻方法[13]是通過被捕獲微粒的位移狀態(tài)反饋控制捕獲光束的功率來冷卻微粒質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的等效溫度，其基本原理為：當(dāng)被捕獲微粒遠(yuǎn)離平衡位置時(shí)增大捕獲激光功率，當(dāng)被捕獲微粒向平衡位置移動(dòng)時(shí)降低捕獲激光功率。目前參數(shù)反饋冷卻方法主要被用于單光束光阱，其實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 參數(shù)反饋實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)示意圖

如圖1所示，探測(cè)器測(cè)量得到微粒的三維位移(x,y,z)信息，通常3個(gè)方向相互正交，各方向上的位移之間可近似為相互獨(dú)立狀態(tài)。以一維位移x為例，設(shè)其諧振頻率為Ω0，將位移信號(hào)二倍頻(2Ω0)，并相位匹配(Δφ=0)后作為位移x的反饋信號(hào)，其中φ為反饋信號(hào)與位移信號(hào)之間的相位差異。該反饋信號(hào)通過控制聲光調(diào)制器(AOM)的電壓來調(diào)控捕獲激光束的功率。在開展三維位移反饋時(shí)，將三維位移分別對(duì)應(yīng)的反饋信號(hào)進(jìn)行加和(Σ)后，作為三維位移的整體調(diào)控信號(hào)。該過程可簡(jiǎn)化為如圖2所示。

圖2 參數(shù)反饋控制流程框圖

由于3個(gè)方向上的位移通過同一光束反饋控制，容易出現(xiàn)某方向位移得到冷卻但另一方向位移被加熱的現(xiàn)象，但三軸加和后仍可以實(shí)現(xiàn)總體冷卻狀態(tài)[13]。或者也可以采用“少數(shù)服從多數(shù)”的方案，即至少冷卻2個(gè)方向上的位移，進(jìn)而總體上實(shí)現(xiàn)冷卻[14]。由于三維位移冷卻是在一維情形基礎(chǔ)上從數(shù)學(xué)角度出發(fā)的應(yīng)對(duì)方案，且三維位移相互獨(dú)立，因而仿真中只關(guān)注一維位移的參數(shù)反饋控制。按照控制信號(hào)波形的不同，可分為正弦波信號(hào)和方波信號(hào)，其中方波信號(hào)被證實(shí)具有更高的調(diào)控效率[14]，因而仿真中使用方波調(diào)控。

2.2 光阱中微粒的動(dòng)力學(xué)模型

在環(huán)境氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的撞擊下，真空光阱中被捕獲微粒相對(duì)于平衡位置會(huì)有位置波動(dòng)。以一維運(yùn)動(dòng)為例，微粒位移q可以用朗之萬方程來表示[15]：

(1)

式(1)中：t為時(shí)刻；m為微粒質(zhì)量； Г0為流體阻尼項(xiàng)；Ω0=(κ/m)1/2為諧振角頻率；κ是光阱剛度；Ffluct為隨機(jī)布朗力；ακ為功率調(diào)制深度。ακ滿足如下關(guān)系：

(2)

式(2)中，Pmax和Pmin分別是功率調(diào)制時(shí)捕獲光束最大和最小光功率。

設(shè)p為微粒動(dòng)量，即

(3)

將時(shí)間均分為n步，單步步長(zhǎng)為Δt，通過蒙特卡洛法和有限差分法，可得到第i·Δt時(shí)刻位移q和動(dòng)量p的表達(dá)式為：

(4)

(5)

式(5)中：kB為玻爾茲曼常數(shù)；T為環(huán)境開爾文溫度；W是白噪聲。W滿足：

〈W(t)〉=0

(6)

〈W(t)W(t′)〉=δ(t-t′)

(7)

2.3 環(huán)境阻尼與氣體壓強(qiáng)之間的關(guān)系

環(huán)境阻尼可以表示為：[13]

(8)

(9)

式(9)中，d是氣體分子平均間距。參數(shù)ck可表示為：

(10)

2.4 激光加熱效應(yīng)

在真空光阱中，捕獲光束的光子與微粒會(huì)發(fā)生動(dòng)量交換，并產(chǎn)生激光加熱效應(yīng)。在光傳播方向上，激光加熱導(dǎo)致的阻尼為[16]：

(11)

式(11)中，Pscatt=σscattI0為散射激光功率，σscatt為散射光等效面積，I0為等效光強(qiáng)，可分別表示為：

(12)

(13)

式(13)中：P0為捕獲光功率；NA為捕獲透鏡數(shù)值孔徑；ε0為真空介電常數(shù)；k為真空波數(shù)，其與捕獲光束波長(zhǎng)λ的關(guān)系為k=2π/λ。系數(shù)α可表示為：

(14)

2.5 微球質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的等效冷卻溫度

在被捕獲微球的單個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)，參數(shù)反饋控制所抽走的機(jī)械能等于額外阻尼所做的功，可以得到參數(shù)反饋控制所帶來的等效阻尼為[14]：

(15)

因而，可得到反饋控制后微球質(zhì)心運(yùn)動(dòng)等效溫度Teff為：

(16)

3 動(dòng)力學(xué)仿真

3.1 仿真參數(shù)設(shè)置

因在真空環(huán)境中，若捕獲光束為1 064 nm，單光束光阱可捕獲的SiO2微球半徑為35～120 nm[13-14]。為了避免被捕獲微粒因運(yùn)動(dòng)幅度過大而出現(xiàn)非線性效應(yīng)，所選的光阱剛度不宜過小，因而，設(shè)置仿真條件如下：半徑為70 nm的SiO2微球，密度為2.2×103kg/m3，微球折射率為1.46，光阱剛度為2 pN/μm，環(huán)境溫度為298 K(約25 ℃)，標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下空氣粘滯系數(shù)取為18 μPa·s，介質(zhì)折射率為1。設(shè)置捕獲光束功率為100 mW，物鏡數(shù)值孔徑NA=1.25。不難得到，所設(shè)置微粒的諧振頻率f0約為126 kHz。設(shè)定仿真時(shí)間步長(zhǎng)為0.2 μs，步數(shù)為4×106。

在仿真中，為方便對(duì)比無反饋時(shí)和有反饋時(shí)微球的位移量，假設(shè)無反饋時(shí)真空光阱中微球沒有逃逸，并用于對(duì)比和計(jì)算微球質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的等效溫度。

3.2 參數(shù)反饋控制下微球的動(dòng)力學(xué)仿真

設(shè)置環(huán)境氣壓為1 mPa，調(diào)制深度ακ為1%，分別仿真無反饋和有反饋時(shí)被捕獲微球的位移。由于二者位移差距較大，為了展示區(qū)別，繪制了前20 μs時(shí)段(約2個(gè)周期)內(nèi)的微球位移曲線，如圖3所示。從圖3中可以看出，無反饋控制時(shí)微球呈現(xiàn)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其位移時(shí)序?yàn)檎也ㄇ€；有反饋控制時(shí)其位移量被逐漸壓縮，在第1個(gè)和第2個(gè)周期內(nèi)分別被壓縮了約1.1 nm和0.9 nm。

由于關(guān)注的是位移量的大小而非符號(hào)，因此取位移絕對(duì)值后，將仿真時(shí)段內(nèi)的位移曲線以雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)的方式展示，如圖4所示。

圖3 初始20 μs時(shí)段內(nèi)微球位移量曲線

圖4 有反饋控制時(shí)微球位移量曲線

從圖4中可以看出，有反饋控制時(shí)微球位移量被快速壓縮，在約2 ms后逐漸趨向平穩(wěn)。無反饋控制時(shí)，如圖3所示，微球位移為正弦波曲線，其振幅約為45 nm；當(dāng)施加反饋控制后，如圖4所示，微球位移量的最大振幅從約45 nm逐漸降低到約0.2 nm，降低了約225倍。

對(duì)被捕獲微球的一維運(yùn)動(dòng)來說，其在熱平衡狀態(tài)下的平均動(dòng)能和平均勢(shì)能均為kBT0/2，即：

(17)

(18)

式(18)中，v1為添加反饋后微粒速率。

由仿真數(shù)據(jù)和式(18)計(jì)算可得，微球質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的等效溫度為6.1 mK。按照所設(shè)置參數(shù)，激光加熱導(dǎo)致的阻尼率為55 μHz，遠(yuǎn)小于此時(shí)環(huán)境阻尼率43 mHz，代入原理公式(16)中，可得理論計(jì)算的等效溫度極限為5.1 mK。因而仿真數(shù)據(jù)所得的冷卻溫度與理論計(jì)算值非常相近。

4 參數(shù)影響分析

如圖4所示，在微球質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的冷卻過程中，微球位移量逐漸趨向平穩(wěn)，因而可使用冷卻時(shí)間和冷卻溫度來評(píng)估冷卻效果。下面將分析調(diào)制深度、環(huán)境氣壓、微球半徑等主要參數(shù)對(duì)冷卻效果的影響。

4.1 調(diào)制深度的影響

分別設(shè)置調(diào)制深度為0.125%、0.25%、0.5%、1%、2%，環(huán)境氣壓為1 mPa，其余參數(shù)與3.1節(jié)相同。仿真得到不同調(diào)制深度下冷卻溫度和冷卻時(shí)間如圖5所示。因仿真數(shù)據(jù)中夾雜有熱運(yùn)動(dòng)所帶來的白噪聲，所展示的冷卻溫度是30次運(yùn)行后的結(jié)果，將其均值和標(biāo)準(zhǔn)差用于繪制圖5中的誤差條。

圖5 不同調(diào)制深度下的冷卻溫度和冷卻時(shí)間圖

從圖5中可以看出，在1 mPa氣壓環(huán)境下，隨著功率調(diào)制深度的增大，冷卻溫度和冷卻時(shí)間均逐漸降低，且趨勢(shì)逐漸放緩，這與實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)的結(jié)果一致[14]。

4.2 環(huán)境氣壓的影響

分別設(shè)置環(huán)境氣壓為1 kPa、10 Pa、0.1 Pa、1 mPa、10 μPa、0.1 μPa，調(diào)制深度為1%，其余參數(shù)與3.1節(jié)相同。仿真得到不同環(huán)境氣壓下冷卻溫度和冷卻時(shí)間如圖6所示。與圖5類似，所得冷卻溫度采用30次仿真結(jié)果的均值和標(biāo)準(zhǔn)差來繪制誤差條。由于1 kPa氣壓時(shí)微球位移并沒有得到反饋冷卻，因而圖6中沒有展示該氣壓下的數(shù)值。

圖6 不同環(huán)境氣壓下的冷卻溫度和冷卻時(shí)間曲線

從圖6中可以看出，隨著環(huán)境氣壓的降低，冷卻溫度逐漸降低，冷卻時(shí)間逐漸增長(zhǎng)。若要取得明顯的冷卻效果，如1 K以下的等效冷卻溫度，環(huán)境氣壓應(yīng)低于10 Pa。同時(shí)，冷卻溫度隨環(huán)境氣壓的變化趨勢(shì)在對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中呈現(xiàn)出近似線性關(guān)系，這與真空環(huán)境中微球所受環(huán)境阻尼與氣壓之間近似線性關(guān)系的規(guī)律一致。

以0.1 μPa的高真空環(huán)境為例，環(huán)境阻尼率為4.31 μHz，而此時(shí)激光加熱效應(yīng)帶來的影響約為55 μHz，已遠(yuǎn)大于環(huán)境阻尼率，激光加熱效應(yīng)將逐漸發(fā)揮顯著作用，進(jìn)而干擾反饋冷卻。

4.3 微球半徑的影響

分別設(shè)置微球半徑為60 nm、70 nm、80 nm、90 nm和100 nm，調(diào)制深度為1%，環(huán)境氣壓為1 mPa，其余參數(shù)與3.1節(jié)相同。仿真得到不同微球半徑下冷卻溫度和冷卻時(shí)間如圖7所示。同理，所得冷卻溫度采用30次仿真結(jié)果的均值和標(biāo)準(zhǔn)差來繪制誤差條。

圖7 不同微球半徑下冷卻溫度和冷卻時(shí)間圖

從圖7中不難看出，微球半徑r對(duì)冷卻溫度和冷卻時(shí)間影響較小。在本節(jié)的參數(shù)設(shè)置中，不同半徑微球使用了相同的光阱剛度κ和調(diào)制深度α，在式(16)中，阻尼率Г0大致與r2成反比，Ω0大致與r3/2成反比，此時(shí)激光加熱效應(yīng)所致的阻尼率Гrecoil很小。由于Г0<<αΩ0/π，因此等效冷卻溫度極限大致與r1/2成正比。在所設(shè)置的半徑范圍中，最大值僅是最小值的1.67倍，所導(dǎo)致的冷卻溫度值變化可能還不足以超過仿真結(jié)果的誤差值，因而導(dǎo)致出現(xiàn)了如圖7所示的情形。

綜上所述，對(duì)于冷卻溫度和冷卻時(shí)間影響程度由強(qiáng)到弱的順序大致為：環(huán)境氣壓>調(diào)制深度>微球半徑。一般而言，冷卻溫度越低，所需的冷卻時(shí)間越長(zhǎng)。

在0.1 μPa至10 Pa的環(huán)境氣壓范圍內(nèi)，冷卻溫度隨著環(huán)境氣壓的降低而呈現(xiàn)近似線性降低的趨勢(shì)。在高于10 Pa的氣壓環(huán)境中，幾乎無顯著的冷卻效果(等效冷卻溫度<1 K)；在低至0.1 μPa環(huán)境氣壓量級(jí)時(shí)，激光加熱效應(yīng)將逐漸發(fā)揮作用，進(jìn)而影響冷卻效果。

在所分析的0.125%～2%的調(diào)制深度范圍內(nèi)，冷卻溫度隨著調(diào)制深度的增大而降低，但趨勢(shì)逐漸變緩，這符合實(shí)驗(yàn)中調(diào)制深度增大到一定程度后冷卻溫度很難再降低的現(xiàn)象。

5 結(jié)論

建立了真空光阱中微球在參數(shù)反饋控制下的動(dòng)力學(xué)理論模型，使用蒙特卡洛法和有限差分法仿真了光阱中被捕獲微球的動(dòng)力學(xué)過程，在設(shè)定的光阱參數(shù)下微球質(zhì)心運(yùn)動(dòng)可在ms時(shí)段內(nèi)被冷卻到μK量級(jí)；主要參數(shù)對(duì)冷卻效果的影響程度大致為：環(huán)境氣壓>調(diào)制深度>微球半徑。仿真結(jié)果有助于真空光阱系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，可為真空環(huán)境雙光束光阱中微球的參數(shù)反饋冷卻提供重要的參考。