指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)核心考點(diǎn)綜合演練

■劉中亮

一、選擇題

2.已知函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的圖像如圖1所示,則函數(shù)g(x)=ax+b的圖像是( )。

圖1

3.已知x,y∈R,且2-x+3-y>2y+3x,則下列正確的式子是( )。

A.x-y>0 B.x+y<0

C.x-y<0 D.x+y>0

6.若a>1,b<-1,則函數(shù)y=ax+b的圖像必不經(jīng)過( )。

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

7.設(shè)實(shí)數(shù)t滿足2t+log2t=0,則( )。

9.已知函數(shù)f(x)是定義在R 上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0 時,f(x)=2x+2x-a,則f(-1)=( )。

A.3 B.-3

C.-2 D.-1

10.函數(shù)f(x)=x2-ln|x|的圖像大致為( )。

A.1 B.2 C.3 D.4

13.已知奇函數(shù)f(x)在R 上是增函數(shù),g(x)=xf(x),若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),則a,b,c的大小關(guān)系為( )。

A.a

C.b

15.已知f(x)的一個零點(diǎn)x0∈(2,3),用二分法求精確度為0.01 的x0近似值時,判斷各區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值的符號最多需要的次數(shù)為( )。

A.6 B.7 C.8 D.9

16.某宣傳部門網(wǎng)站為弘揚(yáng)社會主義思想文化,開展了以核心價值觀為主題的系列宣傳活動,并以“社會主義核心價值觀”作為關(guān)鍵詞便于網(wǎng)民搜索。此后,該網(wǎng)站的點(diǎn)擊量每月都比上月增長50%,那么第五個月的點(diǎn)擊量和第一個月相比,增長了( )。

A.2倍以上,但不超過3倍

B.3倍以上,但不超過4倍

C.4倍以上,但不超過5倍

D.5倍以上,但不超過6倍

17.已知函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)在區(qū)間[1,2]上的最大值與最小值之和為6,若函數(shù)f(x)=ax+logax+b在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍為( )。

A.(-∞,-5) B.(-5,-2)

C.(2,5) D.(2,+∞)

18.(多選題)已知函數(shù)f(x)=ex-e-x,g(x)=ex+e-x,則以下結(jié)論錯誤的是( )。

二、填空題

三、解答題

(1)求實(shí)數(shù)a,b的值。

(2)判斷f(x)在(-∞,+∞)上的單調(diào)性并證明。

(3)若f(k·3x)+f(3x-9x+2)>0對任意x≥1恒成立,求k的取值范圍。

26.設(shè)函數(shù)f(x)=lg[(m2-3m+2)x2+2(m-1)x+5]。

(1)如果函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

(2)如果函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

27.某公司為了激勵業(yè)務(wù)員的積極性,對業(yè)績在60萬元到200 萬元的業(yè)務(wù)員進(jìn)行獎勵,獎勵方案遵循以下原則:獎金y(單位:萬元)隨著業(yè)績值x(單位:萬元)的增加而增加,且獎金不低于1.5萬元,同時獎金不超過業(yè)績值的5%,不低于業(yè)績值的2%。

(1)若某業(yè)務(wù)員的業(yè)績?yōu)?00萬元,核定可得3萬元獎金,試分析函數(shù)y=lgx+kx+1(k為常數(shù))是否為符合公司要求的獎勵函數(shù)模型,并說明原因。(lg2≈0.3,lg3≈0.48)

(1)證明:函數(shù)在區(qū)間(0,2)內(nèi)有實(shí)數(shù)解。

(2)利用二分法,取中點(diǎn)三次,指出方程f(x)=0(x∈[0,2])的實(shí)數(shù)解x0在哪個較小的區(qū)間內(nèi)。

一、選擇題

2.提示:由函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的圖像可知0

3.提示:若x+y<0,則x<-y,y<-x。因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=2x,y=3x在R 上單調(diào)遞增,所以3x<3-y,2y<2-x。兩式相加得3x+2y<2-x+3-y,適合題意,因此x+y<0滿足條件。應(yīng)選B。

5.提示:當(dāng)x>0時,可得y=ax(a>1),當(dāng)x<0時,可得y=-ax(a>1)。由此可知此函數(shù)的圖像適合選項(xiàng)B。應(yīng)選B。

6.提示:y=ax+b的圖像是由y=ax(a>1)的圖像向下平移|b|個單位得到的。應(yīng)選B。

9.提示:由f(x)是定義在R 上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0 時,f(x)=2x+2x-a,可得f(0)=1-a=0,所以a=1。由此可得f(1)=4-a=3,則f(-1)=-f(1)=-3。應(yīng)選B。

10.提示:此函數(shù)的定義域?yàn)閤≠0。由f(-x)=(-x)2-ln|-x|=x2-ln|x|=f(x),可得f(x)為偶函數(shù),排除A,B。由f(1)=1-ln|1|=1>0,排除D。應(yīng)選C。

17.提示:由題意知a2+a=6,解得a=2或a=-3(舍去),所以f(x)=2x+log2x+b。由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知f(x)為增函數(shù)。要使函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn),則f(1)=2+b<0且f(2)=22+1+b>0,解得-5

二、填空題

三、解答題

27.提示:(1)對于函數(shù)y=lgx+kx+1(k為 常 數(shù)),當(dāng)x=100 時,y=3,代 入 解 得k=0,所以y=lgx+1。當(dāng)x∈[60,200]時,y=lgx+1 是 增 函 數(shù),但 當(dāng)x=200 時,y=lg200+1=lg2+lg100+1≈3.3<200×2%,即獎金不低于業(yè)績的2%不成立,故該模型不符合要求。

要使0.02x≤f(x)≤0.05x對x∈[60,200]恒 成 立,即-0.05x2+9.8x≤a≤-0.02x2+9.92x對x∈[60,200]恒成立,由二次函數(shù)的最值可得480.2≤a≤523.2。

綜上可知,480.2≤a≤504,即滿足條件的最小正整數(shù)a的值為481。