“無理數”的由來

文／劉玲玲

早在兩千多年前，以數學家畢達哥拉斯為代表的一批學者組成了畢達哥拉斯學派，他們對古希臘數學發展作出了突出的貢獻。著名的勾股定理就是這個學派成員智慧的結晶，也被稱為畢達哥拉斯定理。

畢達哥拉斯學派在證明了勾股定理后，碰到一個棘手的問題：如果正方形邊長是1，那么它的對角線是多長呢？

發現這個問題的是畢達哥拉斯的一個十分勤奮好學的學生──希帕索斯。他斷言，一個正方形的對角線的長度是不可公度的（若正方形的邊長為1，則對角線的長不是一個有理數，而是一個人們還未認識的新數）。希帕索斯這一驚人的發現與畢氏學派“萬物皆為數”（指有理數）的理論大相徑庭。這一發現使該學派領導人大為恐慌，并認為這將動搖他們在學術界的統治地位，因此立即下令封鎖“發現”。

然而希帕索斯堅信自己的發現是正確的，于是暗地里與伙伴們一起研究這個問題。結果，一傳十，十傳百。畢達哥拉斯知道后立馬下令追查泄露機密的人，希帕索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的懲處。

這次事件后，畢達哥拉斯學派的成員們發現，不僅確實無法準確度量邊長為1 的正方形對角線的長，而且連直徑為1 的圓的周長也無法準確度量。慢慢地，他們開始后悔當初殺死希帕索斯的“無理行為”，同時漸漸明白了直覺并不可靠，有些東西必須依靠科學的證明。除此之外，他們還發現除了有理數之外，還有一些無限不循環小數，這正是希帕索斯發現的新數。所以說，真理是不會被淹沒的，畢氏學派抹殺真理才是“無理”。后來，人們為了紀念希帕索斯這位為真理而獻身的可敬學者，把不可公度的量取名為“無理數”——這便是“無理數”的由來，也正是它引發了第一次數學危機。

這次數學危機，對以后兩千多年數學的發展產生了深遠的影響，促使人們從依靠直覺、經驗轉向依靠證明，推動了公理幾何學與邏輯學的發展，并且孕育了微積分的思想萌芽。