小學數學教學與高階思維的培養

馬云鵬

如何在小學數學教學中培養學生的數學思維是數學教學研究領域普遍關注的問題，但高階思維的培養似乎是一個涉及不多也不太容易說清楚的問題。這是一個既熟悉又陌生的話題，一個非常重要又容易被忽視的話題，一個大家都在做又總覺得沒有做好的話題，一個有許多理論支撐和研究成果又很難給出明確答案的話題。下文，筆者嘗試對這個話題提出幾點想法。

一、怎樣理解高階思維

思維能力是人類由原始人進化成智人的最重要的標志。思維是“人腦對客觀事物的本質和事物內在的規律性關系的概括與間接的反映”。思維不是對現象的直接反映，思維過程具有概括性和間接性。人類借助思維更深刻地認識自然，認識社會，認識自我。

1.認知心理學視角下的高階思維。

20世紀以來，心理學領域有影響的理論出自桑代克、斯金納、加涅、皮亞杰、布魯納、維果斯基等的研究。進入21世紀，隨著腦科學和人工智能的發展，思維研究不斷有新的發現和進展。這些研究幫助我們理解思維的本質，特別是思維的層次和水平。

桑代克的“刺激反應”和斯金納的“嘗試錯誤”，更多是對現象的直接反映，重點是對知識的記憶和理解。加涅把人的學習分成不同層次的八類：信號學習、刺激-反應學習、連鎖學習、言語聯結學習、辨別學習、概念學習、規則或原理學習、解決問題學習。前三類是人類和動物共有的，后五類是人所特有的，在后五類學習中包含人類特有的思維。這五類學習從言語開始到概念的建立、規則的理解和問題的解決，可以看作是包括了不同層次的思維。如果再細分的話，語言表達和對現象的辨別學習屬于較低層次的思維，后三者與概念、原理和問題解決相關的屬于高層次的思維。

皮亞杰的發生認識論將兒童心理發展分為感知動作階段、前運算階段、具體運算階段、形式運算階段。每一個階段都體現出主要的心理活動特征，感知運動階段是在語言發展以前，主要通過感覺動作實現的；前運算階段有了語言的參與；具體運算階段出現守恒和可逆，體現事物的聯系性和概括性，但仍然離不開具體事物的支持；形式運算階段是命題運算思維，可以進行邏輯推演。這種由低到高的思維發展的水平，以兒童語言的參與和抽象的命題推演為標志。

維果斯基提出的“最近發展區”的概念，與兒童思維發展的不同水平有密切關系。維果斯基區分出低級心理機能和高級心理機能。低級心理機能包括感覺、知覺、不隨意注意、形象記憶、情緒、沖動性意志、直觀的動作思維。高級心理機能是指觀察力、隨意注意、詞的邏輯記憶、抽象思維、高級情感、預見性意志等。高級心理機能具有一系列根本不同于低級心理機能的共同特征，包括主動性、概括的抽象的反映水平、以符號或詞為中介等。

從認知心理學有關思維的層次或水平的研究可以總結這樣幾點認識：第一，思維是人類所特有，人與其他動物共有的一些特征不屬于思維。第二，思維的基本特征是概括性和間接性，概括性主要表現為不是對具體的事物和現象的直接的反映，而是對事物的本質的抽象與概括；間接性是通過一定的中介，主要是語言對概括化了的事物建立聯系，這種聯系以語言為媒介，以邏輯為依據，就是對事物建立符合邏輯規范的聯系。第三，思維有不同的水平，觀察力、詞的記憶、語言表達、辯論力等屬于較低層次的；抽象思維、規則與原理的建立、問題解決等屬于較高層次的。

2.教育學視角下的高階思維。

從教育學視角研究學生的學習和思維水平，有影響的是布盧姆的教育目標分類理論和比格斯的SOLO模型。布盧姆將學生的學習分為六種水平，即知識、理解、應用、分析、綜合、評價。一般認為前三類屬于低階思維，后三類屬于高階思維。比格斯的SOLO模型也反映了思維的低階與高階。模型中包含前結構、單一結構、多元結構、關聯、拓展抽象五個水平，描述了學生對某個對象理解的層層遞進和復雜化。其中，前結構水平表示學生完全不理解對象。單一結構表示學生關注到了對象的一個方面，多元結構表示學生關注到了對象的多個方面，但沒有建立起這些方面的聯系。因此，這三種水平屬于低階思維水平。關聯水平表示學生不僅關注到了對象的多個方面，而且建立起了這些方面的聯系。拓展抽象水平表示學生對對象的理解達到了概念化和抽象的水平，因此，這兩種水平屬于高階思維能力。

近年來，一些有關學生發展和教學改革的研究都與學生高階思維的培養有關。主要包括深度學習和有關核心素養的研究。

“深度學習”（Deep Learning）最早由瑞典學者馬頓（Marton）等在20世紀70年代，從認識心理學的視角，針對單純的記憶和一般性的接受知識的淺層學習（Surface Learning）提出。從2011年開始，美國研究學會（America Institutes for Research，AIR）發起由19所學校參加的“深度學習”研究項目，將深度學習闡釋為重點關注學生核心學業內容知識的掌握、批判性思維與問題解決、有效溝通、協作能力、學會學習、學術心志這六項能力的發展。從思維的角度理解，深度學習更強調批判性思維與解決問題能力的培養。教育部基礎教育課程教材研究中心主持的“深度學習”教學改進項目提出，深度學習是“在教師引領下，學生圍繞著具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程。在這個過程中，學生掌握學科的核心知識，理解學習的過程，把握學科的本質及思想方法，形成積極的內在學習動機、高級的社會性情感、積極的態度、正確的價值觀，成為既有獨立性、批判性、創造性，又有合作精神、基礎扎實的優秀學習者，成為未來社會歷史實踐的主人”。核心的目標指向學生的核心素養發展。深度學習強調的重點在于培養學生的高階思維和問題解決能力，都可以理解為高階思維。

核心素養是近年來受到普遍關注的話題，許多國際組織和國家提出核心素養是面向21世紀公民應當具備的綜合能力。如歐盟和OECD等國際組織都有對核心素養的明確表述。這些表述都將創新創業素養、批判性思維、解決問題能力、學習能力、社會與公民素養、交流與合作能力（包括跨文化、跨國界交流與合作能力）、自我發展與自我管理、信息素養等作為重要的要素。“只有具備了這些核心素養，個體才能夠具有足夠的靈活性、適應性和競爭力，才能夠更好地應對21世紀的挑戰。”2016年9月公布的《中國學生發展核心素養》確定了3個方面6個要素18個基本點的核心素養框架，為核心素養的研究提供了很好的參照。在這些核心素養的論述中，與思維發展相關的要素存在許多共同之處，主要包括理性思維、批判性思維、解決問題能力等，這些都與高階思維密切相關。可見，核心素養的相關要素與高階思維的一致性很高。

從認知心理的基本學習原理出發，結合教育學有關學生學習層次和學習水平的觀點，借助核心素養和深度學習等有關學生思維發展的框架，可以嘗試對高階思維做這樣的描述：高階思維是以語言為工具，對事物的本質進行抽象和概括，以及建立合乎邏輯的關系、規則和原理的過程。主要包括抽象概括、邏輯推理、批判性思維、創造性思維和問題解決等。

3.數學教育視角下的高階思維。

許多有關高階思維能力培養的研究，都把教育學和心理學關于高階思維的分類用于學科教學之中，這固然是一種研究的思路，但對于不同的學科來說，高階思維的培養可能有其特殊的含義。我們有理由相信，除了適用于一般的教學應當培養的上述諸如批判性思維、創造性思維、邏輯思維、解決問題能力等之外，對于某一個具體的學科應當考慮這個學科對學生發展的特殊性，包括培養學生高階思維的特殊意義。就數學學科而言，應當考慮除了具有普遍意義的諸如問題解決、批判性思維、創造性思維等這些一般意義的高階思維外，對反映數學學科特點的高階思維是什么，也應當給出回答。

高階思維與核心素養的相關要素具有很強的一致性，不妨從與數學學科相關的核心素養的研究入手來分析。在OECD教育2030的學習框架中，能力的概念不僅僅意味著獲得知識和技能，它包括調動知識、技能、態度和價值觀來滿足復雜的需求。學生將需要在未知的和不斷變化的環境中應用他們的知識。為此，他們需要廣泛的技能，包括認知和元認知技能（如批判性思維、創造性思維、學會學習和自我調節），社交和情感技能（如同理心、自我效能感和協作能力），實用和物理的技能（如使用新的信息和通信技術設備）。基于OECD教育2030設計的PISA2021對數學素養的理解是，“數學素養是指個體在真實世界的不同情境下進行數學推理并表達、應用和闡釋數學以解決問題的能力。它包括使用數學概念、過程、事實和工具來描述、解釋和預測現象的能力。它有助于個體作為一個關心社會、善于思考的21世紀建設性公民，了解數學在世界中所起的作用以及做出有根據的數學判斷和決定”。在這個框架中特別提出了“21世紀技能”，這包括“辯證性思維、創造性、研究與探索、自我引導、發起與堅持、信息使用、系統性思維、交流、反思等技能”。

OECD教育2030和PISA2021中與思維相關的一般能力包括：批判性思維、創造性思維、系統性思維等；與數學學科直接相關的包括：數學推理、表達、應用和闡釋數學以解決問題的能力等。

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中提出6大核心素養，史寧中教授認為：“最為重要的有三個，是抽象、推理和模型……這三個要素是構成數學三個基本特征的思維基礎。”所以，數學抽象、數學推理與數學建模可以理解為數學的高階思維。《義務教育數學課程標準（2011年版）》中的10個核心概念（用關鍵能力可能更好），與高中數學的核心素養具有一致性。其中數感、符號意識和空間觀念與數學抽象密切相關，推理能力主要是邏輯推理，模型思想就是初步的數學建模。

綜合認知心理學、教育學和數學教育有關思維的論述，我們對數學學科應關注的高階思維有了一個基本的認識。可以從兩條線索來梳理，一是與數學學科相關的具有共性的高階思維，包括：批判性思維、創造性思維、抽象思維、邏輯思維和問題解決。二是數學學科本身特有的高階思維，包括：抽象思維、邏輯思維和數學建模（或問題解決）。顯然，兩者之間有一定的交叉，一方面說明數學學科對于學生核心素養和高階思維的培養有重要的作用，另一方面也表明數學學科的核心素養或高階思維對共同的核心素養和高階思維的貢獻度很大。

取上述二者的并集，數學學科教學應關注的高階思維包括：批判性思維、創造性思維、抽象思維、邏輯思維、數學建模和問題解決。其中，批判性思維和創造性思維是共同的，數學建模是數學特有，而抽象思維、邏輯思維和問題解決是二者共有，但在數學學科中有特殊的意義和價值。小學階段的高階思維是這些思維能力的初步形成，教學中應當觀照兩條線索，結合具體內容的特征設計和組織指向學生高階思維發展的教學活動。

二、怎樣在數學教學中培養學生的高階思維

在數學教學中培養學生的高階思維需要處理好以下四個方面的問題。下面以“11～20各數的認識”和“平行四邊形的面積”為例，具體闡述這四個方面的問題。

1.確定學習內容蘊含的高階思維。

課堂教學總是以某一個具體的學習內容為載體，這些內容大多是以數學的知識技能的形式出現，其中所涉及的思維方法，特別是高階思維一般是隱含的，需要通過分析具體的學習內容的本質來挖掘特定內容蘊含的高階思維。“11～20各數的認識”是學生最早接觸數的進位制，是學生理解數的符號表達體系的開始。學生在知道從1到9這九個符號所表達的數量后，還要知道同樣的1、2放在不同的位置上所表達數量是不同的。這個過程需要學生抽象思維的參與，通過這個內容的學習有助于學生抽象思維的發展。“平行四邊形的面積”要解決的問題是確定一種圖形的大小。確定一個圖形的面積是多少，有效的思路就是說明這個圖形包含多少個面積單位，可以用數面積單位的方法，也可以用平行四邊形和長方形之間的關系來說明。這里用“說明”而不是證明，是小學階段學習的特點所限。證明是嚴謹的邏輯推理，這里的“說明”會用到歸納的方法，也是一種推理的過程。因此，求平行四邊形面積的過程體現的高階思維主要是推理，或者具體地說是歸納推理。當然這兩個內容所蘊含的高階思維可能不只是抽象和推理，在具體的教學過程中還會有其他的諸如批判性思維、創造性思維、問題解決等的參與，這里僅是從特定內容的分析中尋找與其直接相關的高階思維。

2.尋找高階思維與學生先在經驗的關聯。

無論是學習心理學理論還是課堂教學改革模式，一個共同的要點就是使教學適合學生的發展。皮亞杰提出的同化與順應，維果斯基的“最近發展區”，教學過程中“腳手架”等都是主張把學習的目標與學生的現有水平建立起聯系。學生現有水平的確定叫作學情分析。為實現高階思維培養，學情分析的重點應當關注學生現有學習基礎，特別是與特定的高階思維相關的思維水平的狀況。由此確定學生學習新內容的“前概念”，找到學生的最近發展區。這不僅需要分析學生的知識技能的準備，更要分析學生的思維與方法的準備，這樣才有可能在教學中進行有針對性的引導和探索。“11～20各數的認識”的學習，學生在此之前認識了1～9，用這9個數字分別表示1～9個物體的個數（數量）。學生初步感受數是數量的抽象，但只是用一個數字代表一個數量，是單一的對應關系。而對于11～20，同樣一個數字，在不同的位置上代表不同的數量，這種抽象的數的表示發生的變化，這對于學生來說是更高一點的抽象。所以，在學習這個內容時的“前概念”就是“1”表示1個物體的個數，“2”表示2個物體的個數……這對于學習新內容是有幫助的，同時也會產生一定的障礙。學生要進一步理解“1”不僅可以表示1個物體的個數，還可以用來代表10個物體的個數，把1放在不同的位置上，代表的數量會不同。這對于學生來說，思維方式要有一個提高才可以。對于“平行四邊形面積”，重點是解決“這個圖形包含多少個面積單位”或“這個圖形的面積與已知的長方形的面積有什么關系”。前一個是最基本的，是從平面圖形面積這個初始的概念出發說明面積。后一個是間接的，是用已知圖形的面積推導新的圖形面積。每一種方法都需要學生用到“先在經驗”，即圖形的面積、面積單位及長方形面積公式。

3.設計組織發展高階思維的路徑與方法。

有效的設計和組織旨在培養高階思維的課堂教學，基本的思路是基于特定內容所蘊含的高階思維，利用學生相關的先在經驗，設計有針對性的策略與方法。常用的教學策略包括問題情境的設計、關鍵問題的提出、圍繞具體內容展開的指向高階思維的探究活動以及課堂的充分參與交流和評價等。重要的是把問題情境中各種不同的觀點展示出來，學生在討論甚至是爭論這些觀點的過程中理解概念和方法，相關的高階思維也獲得發展。以下就“11～20各數的認識”和“平行四邊形的面積”兩個主題的教學，借鑒相關的經典案例闡述教學中核心的策略與方法。

在北京倪芳老師“11～20各數的認識”的教學中，有幾個核心環節對我們有啟發，特別是“辨11”的環節。教師向學生展示古人記錄物體數量的方法，請學生用自己的方法很快地表示12根小棒。學生在理解可以用一捆小棒表示10，用一根小棒表示1的基礎上，引出“辨11”的環節。就是讓學生思考“能不能用同樣的兩個珠子表示11”時，學生出現的兩種觀點：一種認為不能，因為一樣的兩個珠子要么表示2，要么表示20，不能表示11；另一種認為能，可以用一個表示1，另一個表示10。兩種觀點爭持不下。最后說能的一方說：“可以在一個珠子上寫上十位，另一個珠子上寫個位，就可以了。”這個過程持續了6分多鐘，顯然在該過程中，無論是參與辯論的學生，還是聽他們辯論的學生都會對數的抽象表達，特別是十進位的“數位”和“位值”這兩個抽象的概念有了新的理解。這個環節直接指向該內容所蘊含的抽象這一高階思維，學生的思維水平得到提升。

在上海潘小明老師的“平行四邊形的面積”教學案例中，老師出示了一個平行四邊形，直接提問：“知道這個平行四邊形的面積是多少嗎？”學生量出這個平行四邊形相鄰兩個邊的長度是5厘米和7厘米，很快出現了兩種不同的答案：35平方厘米和28平方厘米。顯然其中只有一個是正確的。第一種答案是參照長方形面積是“長×寬”這個“先在經驗”，后一個又是用什么方法呢？接下來的過程就是驗證或者說明哪一個答案是正確的。具體的方法會有把平行四邊形壓扁，說明用長方形面積的計算方法（鄰邊相乘）是不對的。驗證第二種答案的正確性可以通過操作、割補等方法實現。所用的方法和過程都需要推理，學生在這個過程中發展了這一內容的學習蘊含的“推理能力”這一高階思維。

4.及時反思教學過程與結果。

一節課或一個單元的教學不是教學的終結，是教學的階段性的完成。及時反思和回顧是必須的。教師經常提出這樣的問題：“我們的任務完成了嗎？”“還有什么新的問題嗎？”“對于今天學的內容還有什么思考嗎？”這一方面促使學生回顧與反思學習的歷程，更重要的是監控和調試學習的過程和結果，這是元認知的過程，也是發展學生批判性思維的需要。提出需要反思的問題，既是針對一節課或一個單元涉及的與學科本質有關的高階思維，也是發展學生諸如批判性思維等共同性的高階思維的需要。

我們弄清什么是數學學習中的高階思維，怎樣的教學才有助于培養學生的高階思維，就會在數學教學的實踐中不斷探索和發現培養學生高階思維的路徑，以及從典型的案例中提煉和尋找有效的方法。