小學數學高階思維的思考

喻 平

“高階思維”與“深度學習”一樣，是近年來教育領域具有同樣熱度的關鍵詞，引起學術界和中小學一線教師的普遍關注，并投入極大的研究熱情。事實上，在教育界，一個觀點的冒生、一種思潮的涌動并非空穴來風，它必然有自身存在的合理性和生長的必然性。深度學習、高階思維的出現也是如此，是全球化課程改革中為解決教學問題而產生的學術性概念。

一、高階思維的內涵解讀

對高階思維（higher-order thinking）的界定，許多學者從揭示高階思維的內涵、外延或特征的角度切入。1987年，Resnick首次提出高階思維概念，他認為高階思維的特征主要表現為：非算法的、復雜的、有多重解、需要應用多種標準和學習者的自我調節，通常涉及不確定性。Stanley把高階思維的本質概括為三點：能使用抽象的結構進行思維；能將信息組織成一個完整的體系；應用合理的邏輯和判斷準則。在Barak所撰文章中，美國科學素養協會（AAAS）和美國國家科學教育標準（NRC）指出，在探究型科學教育中，高階思維模式的例子主要包括：制定研究問題、計劃實驗、控制變量、推斷、提出和證明論點、識別隱藏的假設并確定可靠的信息來源。另一種研究思路是從思維水平來定義高階思維。學術界比較認可的一致性傾向是將高階思維與布盧姆的認知目標分類建立對應關系，由此確定高階思維的內涵。布盧姆按照認知的復雜程度，將思維過程具體化為六種水平，也是指學生在學習中的六種行為表現，由低到高包括記憶、理解、應用、分析、綜合、評價。記憶、理解和應用，通常被稱為低階思維；分析、綜合和評價，通常被稱為高階思維。高階思維是建立在低階思維基礎上的。后來有學者對此作了適當改造，將分析、綜合和評價三個階段修訂為分析、評價和創造，這三個類目分別包含若干不同的子類目。當代美國教育最注重培養的三大能力是批判性思維（Critical Thinking）、創造力（Creativity）和解決問題能力（Problemsolving）。彭敬慈認為這三種能力與布盧姆認知思考層次架構是分別對應的，其中，批判性思維是指用自己厘定的準則做批判，對應“評價”；創造力是指有意義地把不同但相關的概念或事物轉化并結合成新的概念或事物，對應“綜合”“評價”；解決問題能力對應“分析”“綜合”“評價”。分析、綜合和評價統稱為高階思維。國內的許多文獻都是持這種觀點，把高階思維界定為發生在較高認知水平層次上的心智活動或認知能力，它在教學目標分類中表現為分析、綜合、評價和創造。

梳理上述觀點，高階思維的基本成分主要有邏輯推理、解決問題特別是解決結構不良問題、概括知識體系、批判性思維、創造性思維。下面對高階思維作進一步分析。

首先，高階思維屬于認知范疇。簡單地說，高階思維就是高層次的思維形式，思維當然屬于認知范疇，因而，把非認知因素混入高階思維的因素中是不合適的。研究思維，一般可以從兩個方面切入，即思維的質量和思維的水平。思維的質量用思維品質來刻畫，思維品質包括思維靈活性、思維敏捷性、思維深刻性、思維批判性和思維獨創性。因此，研究高階思維的質量可以用高階思維的這些品質來描述。對于思維的水平，用布盧姆的認知領域目標分類是合適的。布盧姆目標分類的后面三種水平具體含義如下，分析：指將交流內容分解成各種組成要素或部分，以使有關概念層次清楚，或使概念間的聯系表達清楚。綜合：把各種要素和組成部分組合成一個整體。評價：為了特定目的對材料和方法的價值作出判斷。顯然，這三者都是思維的高級表現，與高階思維的立意殊途同歸。

其次，高階思維不能脫離低階思維而獨立存在。涓涓小溪匯聚方能成江河，我們可以把低階思維視為小溪，高階思維視為江河，這大概是一種恰當的隱喻，無小溪之水何來江河之源。高階思維的材料是知識，知識的積淀依托于低階思維，這是一條事實性因果邏輯鏈，離開低階思維的高階思維只是空中樓閣。例如，衡量高階思維水平高低的一個重要指標是解決結構不良問題的能力，如果學生連結構良好的問題都解決不了，那么怎么可能解決結構不良問題？這個基本的道理告訴我們，不能脫離根基而一味拔高，為追求所謂的高階思維而放棄對學生基礎知識的教學和基本技能的培養顯然是海市蜃樓。

再次，問題情境是高階思維發生的必要而非充分條件。情境認知理論有一個經典的觀點：思維不能脫離情境，離開情境，人是不能思維的，情境當然指包含著問題的情境。也就是說，思維的發生必然依附情境，情境的創設是思維發生的必要條件，當然也就是高階思維發生的必要條件。但反之不一定成立，有情境不一定有思維產生，或者即使有低階思維產生也不一定有高階思維產生。事實上，這與情境中問題設置的諸多因素有關，如問題本身的難度，對學習者而言，問題的熟悉程度，問題的結構良好性程度，問題對學習者的吸引力程度，問題的設計方式，教師的誘導啟發策略等，這些因素直接牽制高階思維的產生。換言之，高階思維的產生依賴于高質量的問題情境設計。

二、小學數學高階思維的基本成分

在分析小學數學高階思維的基本成分之前，需要認識下面兩個問題。

對教學內容的正確認識。小學數學內容分為數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐四個板塊。其中數與代數主要涉及數（整數、小數、分數）的運算和解決簡單方程；圖形與幾何涉及對圖形的認識和簡單幾何圖形及幾何體的相關度量計算；統計與概率涉及對統計圖、集中數量、隨機性等概念的初步認識；綜合與實踐是應用知識解決數學問題和現實問題?？梢钥吹?，小學數學的內容主線是運算，運算貫穿于四個內容板塊，而運算的依據是五條運算律（加法交換律、加法結合律、乘法交換律、乘法結合律、乘法對加法的分配律），教材中所有的運算都是運算律的特例。因此，小學數學內容的核心是五條運算律。

對數學抽象的精準把握。小學數學內容的發展經歷了三次幅度較大的數學抽象。從物到數的抽象，剝離事物的物理特征抽象出數量關系，這是第一次數學抽象。從普通語言到數學語言的抽象，隨著教材中數學符號、圖形、圖表等數學語言的逐步出現，產生了第二次數學抽象。從數到式的抽象、運算律和字母表示數的內容展現，體現出第三次數學抽象。認識清楚這三次數學抽象，對把握高階思維的內涵至關重要。

結合上述分析，我們提出小學數學高階思維的基本成分，由關系性理解、概括性思維、批判性思維和創新性思維等四個要素組成。

1.關系性理解。

Skemp把數學理解分為兩個水平：工具性理解和關系性理解。工具性理解指語義性或程序性理解，即符號A代表什么事物或規則R怎么操作；關系性理解則需對符號的意義、獲得符號指代物意義的途徑、規則的邏輯依據等有深刻的認識。小學數學內容的主線是運算，運算由算法和算理兩個部分組成。算法是指按照一定規則制定的運算程序或步驟；算理是指算法的原理，即為什么有這樣的運算程序。顯然，只掌握了算法而不理解算理，這是工具性理解水平，只有明晰了算理才能達到關系性理解水平。雖然運用算法的過程有一定的邏輯推理因素，例如，運用公式解決具體問題就是一個簡單的三段論推理，但是這種低水平的推理不能視為有高階思維介入，因為這種推理的大前提和小前提都是十分清楚的。理解算理就是理解算法的原理，這個過程包括了較高層面的邏輯推理，需要高階思維的介入。簡言之，高階思維只能發生在關系性理解的過程中。需要指出的是，雖然課程標準沒有對小學階段有邏輯推理的要求，但大量的研究表明，小學生存在邏輯思維發展的關鍵期，我們應該而且必須在小學三年級之后進行適當的邏輯推理訓練。

2.概括性思維。

概括性思維指概括知識體系、知識結構和概括數學思想方法的思維方式。概括的本意有歸納、提煉、抽象的含義，屬于布盧姆目標體系中的“綜合”層面，因而是一種高階思維形態。從知識層面看，對一個數學概念、命題的理解，不僅要理解它的內涵，明晰它的外延，更重要的是要將其置于一個體系中，厘清它與其他概念之間的關系，形成概念或命題體系，這是概括性思維的一種表現。小學數學知識結構的最高概括形式就是五條運算律，教師在教學中要時時抓住這個核心，綱舉目張。從思想方法層面看，思想方法不具有個性特征，它可以對一類事物作共性的解釋和描述，具有普適性要義。顯然，對數學思想方法領悟需要概括性思維介入。如前所述，小學數學要經歷三次數學抽象，其實，這三次抽象都是概括性思維的體現，從物到數的抽象，是對事物數量關系的概括；從普通語言到數學語言的抽象，是對一類數學對象共性的概括；從數到式的抽象，是從個別現象到一般規律的概括，因此，學生能否完成這三次抽象，很大程度上由他們的概括性思維水平決定。

3.批判性思維。

批判性思維是一種基于充分的理性和客觀事實而進行理論評估與客觀評價的思維方式。批判性思維并非僅僅是一種否定性思維，它還具有對一件事情給出更多可選擇解釋和進一步思考的意義。批判性思維屬于布盧姆認知目標體系中的“評價”層面，因而是一種高階思維形態。數學教科書的一個顯著特點就是整個內容都是真理的再現，從頭到尾沒有一個錯誤，學生的任務是相信這些真理，接受這些真理，個人的想法和觀點無法進入教學環節。顯然，完美無缺的教材體系無疑為批判性思維介入教學構筑了一道封閉的圍欄，這大概也是造成當下的小學數學教學過多地沉溺于低階思維訓練的原因之一。突破這個圍欄的一條有效途徑是為學生提供解決非常規性問題的機會，例如，解決開放性問題，即條件可能不充分、結論可能不唯一、條件可能冗余的問題。解決這類問題，需要學生突破有章可循的解題思路，通過試誤、猜想、證偽、證實的探究方式獲得問題解決方案，其間，批判性思維必然扮演重要角色。

4.創新性思維。

創新性思維是指打破固有的思維模式，從新的角度、新的方式去思考，得出不一樣的并且具有創造性結論的思維方式。對中小學生而言，創新是相對的，只要突破固有模式得到與既成事實不同的結果或想法，甚至對一個事實作出不同的解釋等都可視為創新性思維。創新性思維對應布盧姆認知目標體系中的“綜合”與“評價”，屬于高階思維范疇。顯然，創新性思維與批判性思維是相互關聯的，許多創新往往建立在批判之上。與批判性思維一樣，創新性思維的培養也必須突破教材的束縛，從單純接受真理的學習樣態轉向討論真理的學習樣態，學生要從教學的“旁觀者”變為教學的“參與者”，讓創新性思維真正在課堂教學中占有一席之地。

三、對發展小學生高階思維的思考

1.從低階思維轉向高階思維是教學理念與方法的革新。

新一輪基礎教育課程改革把核心素養的培養作為明確的目標，這是與以知識傳授為主要目標的傳統教育理念相背離的變革。以知識的理解和掌握為目標的教學，很容易陷入低階思維的洼地，具體表現就是大量的、重復性的解題訓練。設想一下，一道兩位數乘兩位數的乘法題目，普通的學生可能做10道題目就完全掌握了運算方法，那么有必要讓他們去做20甚至50道相同類型的題目嗎？這種訓練毫無高階思維可言。如果在一定題目數量訓練的基礎上，讓學生去探究兩位數乘三位數的算法，那么教學的目標就發生了變化，高階思維也自然地進入了教學情境，因為有了學生自主探索的情境。在這一次課程的重大改革面前，教師們要思考：如何從已經積累了豐富經驗的知識教學目標定位思維走出來，轉向撲面而來、毫無經驗的核心素養目標定位新思維？如何在熟練駕馭、得心應手的教學方式中滲入核心素養培養的教學元素，甚至揚棄傳統教學模式重構新型教學模式？有一條必須強調：弱化低階思維的解題訓練是教學改革的必由之路。

2.一味強調題目的難度并不能涵蓋高階思維的全野。

需要辨析一下，對學生進行高難度題目的訓練是否就是在訓練高階思維。所謂難題，是指可能需要用到多種知識、可能用到高超技巧來解決的問題。這類問題的解答有兩個明顯的特征：其一，在解答過程中，邏輯推理會進入一種較高的層面，推理步驟會增多，邏輯鏈會加長；其二，解決難題也是一個探究過程，探究解決問題的方案和方法。從這兩個特征看，解決難題的確有高階思維的成分。但是也必須清楚地認識到，解答難題的前提是必須運用已有的知識、規則和算法，不是在創新知識或創設算法，因而不會含有批判性和創新性元素，因此，單純的難題訓練不能涵蓋高階思維的概念外延。而且，過度強調難題訓練會走入與數學教育價值追求相背離之路。高階思維與“難度”有關，但與探究、批判、創新更有直接的相關性。

3.充分發揮非認知因素對發展學生高階思維的作用。

高階思維屬于認知范疇，如果把高階思維與三維目標對照，它應該歸入“過程與方法”目標，與“情感態度價值觀”的聯系不大；如果將其與數學學科核心素養對照，它應當歸入“關鍵能力”目標，與“必備品格”“正確價值觀”聯系不大。于是可能會出現過度推崇高階思維而導致教學目標失重現象，即單純追求發展學生的高階思維勢必窄化教學目標，造成非認知因素和價值信念的目標弱化。其實，發展學生的高階思維與情感、態度、品格、價值觀的培養是有聯系的。認知領域研究的問題是“能不能做事”，非認知領域研究的問題是“愿不愿做事”，愿不愿做事當然直接影響到能不能做事，可以說，良好的非認知因素是高階思維生成的必要條件。因此，在對學生進行高階思維的訓練中，必須調動學生的學習動機、興趣，消除學習焦慮，培養他們克服困難的意志和堅韌不拔的品格。只有溝通了高階思維訓練與非認知因素培養之間的關系，方能實現學生在真正意義上的高階思維發展。

4.學生高階思維水平的測評應當納入學習評價體系。

長期以來，學習評價主要以考試方式來完成，而考試又偏重知識的理解和技能的掌握，于是就會出現為了應付考試，學生不得不記憶大量的知識和技能，通過數量龐大的練習使習得的基礎知識和基本技能得以鞏固下來的學習狀況，形成做題是主要的學習方式、“題海”訓練是常規任務的局面。從知識導向到能力為重的評價轉型，可以淡化學生對知識點的死記硬背，強化對知識的綜合運用；可以減少學生大量的機械練習，著重提升反思意識和創新能力。因此，在考試命題方面應當著力改革，適當增加探究性問題、開放性問題，削減低階思維的題目，讓高階思維進入學習評價體系，只有對高階思維的測評，才能反映出學生數學關鍵能力的高階水平。