小學生代數思維的特征、表現及培養

劉加霞

北京教育學院初等教育學院院長，教育心理學博士，教授，教育部國培專家庫成員;提出“把握數學本質是一切教學法的根”“實證研究學生是有效教學的根本”“培訓實質是改變與創新”等觀點，以及“CARE伙伴式”校本研修模式;在《課程·教材·教法》《中國教育學刊》《中小學管理》《人民教育》《小學數學教師》《小學教學》等期刊發表論文百余篇，著作有《小學數學有效教學》《小學數學有效學習評價》《小學數學課堂教學設計》等。

小學生的認知特點決定其數學思維主要是算術思維，但教師在算術教學中應該并能夠滲透代數思維已成共識。具體來說，就是讓學生理解數學內容的結構與關系、洞察并把握數學本質，而不僅僅指向算出結果。為實現此目標，首先需要教師認識到算術內容蘊含著代數思想，且代數知識的淺層學習未必能培養代數思維;然后需要教師理解并掌握算術思維與代數思維的本質特征與行為表現，并在日常教學中有意識地滲透代數思維，幫助學生克服算術思維定式。

一、算術與代數思維的本質區別

綜述相關文獻可知，算術思維主要由程序性思維（procedural thinking）來刻畫，體現于按照某種程序或步驟獲得正確答案的過程。代數思維則由關系或結構（relation or structure）來描述，目的是明確內容結構，發現一般化的關系。代數思維主要體現在抽象與概括、歸納與推理、模式化與結構化等活動中，某種程度上不依賴直觀操作。

算術思維的對象主要是具體的數及其運算與靜態分合;代數思維的對象則主要是代數式及其運算與動態變換。值得注意的是，常見的字母符號表達不是代數思維的唯一載體形式，圖表和專門化的語言結構也能表達，如下題。

一根水管不斷地向水箱里注水。下圖表示的是水箱內水的體積和注水時間的關系。

1.從圖中可知注水時間和水的體積成（ ）關系。

2.照這樣計算，50分鐘可注水（ ）升。

這個問題需要整體把握圖象所表示的數量關系，利用比例解決。比例思維是典型的代數思維。

小學階段所學的方程、正反比例等內容具有代數性質，是培養代數思維的重要載體。但這些內容在小學數學中的比重較少且目標要求較低，筆者對此不做重點分析。本文重點研究如何在算術教學中培養學生的代數思維。

基蘭（Kieran）提出，從算術思維向代數思維的過渡需要滿足以下條件：①聚焦關系，而不僅僅是數值運算;②聚焦運算和逆運算，及“設而不求”的思想;③聚焦對問題的表征及解決過程，而不只是答案;④聚焦字母符號，而不只是數字;⑤重新認識等號的意義。根據基蘭的觀點，結合小學數學教學經驗，筆者系統地梳理出算術教學中學生的代數思維表現，并提出培養小學生代數思維的三條路徑。

二、理解“=”的雙重功能是形成代數思維之始

代數知識蘊含著代數思維，但學習代數知識并不等于培養代數思維。例如，計算[5x+3x]等于[8x]時主要是算術計算，還不是嚴格意義上的代數思維，因為學生計算時對“[x]”幾乎“視而不見”。如何在這樣的算術計算中發展學生的代數思維呢？第一步就是對“=”的雙重認識：不僅表示“程序性計算的結果”，更表示“結構性的等量（價）關系”。

如果學生認為“=”表示的是要求計算左邊算式的結果，其思維處于算術思維水平，具有程序性、操作性與過程性特征。處于算術思維水平的學生認為：計算結果總在“=”右邊，是一個具體數值，如果是“算式”，則多數學生不會認可。他們見到算式“7+3”，往往條件反射般地寫上“=10”，等號被理解成執行加法運算的標志，成為算式與具體數的“分隔符”。幾乎不會有學生寫“=8+2”“=9+1”等。算術教學應該打破這種思維定式，讓學生認識到“=”所表示的不只是一個動態的計算過程，還表示左邊算式與右邊算式的“等量關系”，能認可等號右邊的項不是具體數而是算式（含字母的代數式）。

代數思維具有關系性、對象性與概括性特征。無論“=”左右兩邊所出現的表達式如何復雜，具有代數思維的學生都能將等式看成一個整體（對象），甚至能對其進行數學操作，如恒等變形等。

對“=”的理解達不到代數思維水平，會導致學生出現這樣一些錯誤。例如，將“3+4=（? ）+6”錯填為“3+4=（7）+6=13”;將“8=（? ）÷（? ）”錯填為“8=（2）÷（16）”（誤認為“=”要求執行“從右向左”的除法計算）;脫式計算時出現結果正確但“表達過程”錯誤的現象;解決“蘋果有5個，橘子是蘋果的2倍還多4個，橘子有多少個”的問題時，錯誤地表達為“5×2=10+4=14”;錯誤地用“[4x=14+2=16=4]”的形式解方程等。這些現象從數學角度看是錯誤的，但從學生認知角度看卻是“正確的”。教師要理解學生出錯的合理性，有針對性地對比分析，強化學生對“=”表示等量關系的理解。

學生處于算術思維水平時，判斷“=”成立要進行計算;具有代數思維時，則能夠利用運算的性質、定律等解釋等式成立的理由。如解釋78-49+49=78的理由，學生能從算式結構思考，運用“準變量”來陳述。

三、用好“準變量”，培養學生概括歸納與代數推理能力

有研究認為，在算術教學中有效運用“準變量”這一概念能促進學生從代數視角看問題，把握問題結構及其蘊含的規律，培養學生的概括歸納與代數推理能力。

“準變量”是“一個或一組數字語句”，蘊含著一個潛在的數學關系。在這種關系中，不管它所包含的數字是什么，語句都是真的。例如，陳述78-49+49=78[是真語句]的理由。當學生不需要計算，直接通過觀察算式的整體特點做出正確判斷，得出“減去一個數，再加上這個數，不改變計算結果”時，就是在運用準變量進行代數推理。準變量可以是語句，也可以是代數表達式。例如前述語句在高水平代數思維下的表達為[a-b+b=a]。小學低年級不要求達到該水平，但要求用準變量進行計算或做算理解釋。

準變量思維的對象可以是非字母符號的語句或關系式，它超越算術計算，利用算術中隱含的數量關系與運算性質識別并提取關鍵數字和關系性元素，對潛在的結構進行表達和轉換。運用準變量算得結果或推理時的數學思維已經遠離算術計算，其目的不是通過計算算出答案，而是將“等式”作為思考的對象。因此，有研究者稱之為“無過程的對象化”。

例如，一年級學生計算9+6=？一般有數數法、拆分湊十法等。如果這些方法只是算出結果，有明確、具體的計算步驟和程序，那么這一過程主要是算術思維。如果教師引導學生繼續思考“6有多種拆分，為什么只選擇1和5”，整體觀察多種拆分得出的算式特征，進而得出“第一個加數與‘幾能湊出‘十，就把第二個加數拆出‘幾”的規律，那就是在培養代數思維。教學中，有的學生用“平衡抵消湊十法”思考，即9+6=9+1+6-1=15，如其理由為“加上一個數再減去這個數，大小不改變”等，就是基于準變量的思考，有利于培養代數思維。如果學生口算71-24的過程是70-20-（4-1）=50-3=47，就發現了算式蘊含的結構和規律。基于此，口算的重要性顯著地高于筆算。

澳大利亞學者提出的“有壞鍵的計算器”問題也非常有價值：一個計算器上的“5”鍵壞了，不用“5”鍵，如何用這個計算器計算525-257？有的學生用424+101-247-10=268，有的學生用636-368=268等。此外，探索并運用商不變性質、分數或比的性質以及其他規律解決問題時，以準變量作為橋梁，能促使學生從算術思維轉向代數思維。

前述例子的共同特點是學生都將“算式”作為思維對象而不是數字運算。對算術問題進行“代數思考”，其所蘊含的等價、抵消與恒等變形等思想是重要的代數思想，為正式學習代數內容、形成代數思維搭建了腳手架。教師應該有意識地讓學生直覺地、隱性地利用運算的性質與定律，即用好準變量求得算式結果或進行代數推理，引導學生關注算式或等式的結構與規律，為學生提供豐富的學習材料和解釋、交流的機會。

四、列而不算，引導學生關注問題的結構與規律

不承認算式（代數式）表示結果，可以說是培養學生代數思維的最大阻礙。例如，蘋果每千克8元，買a千克需要多少元？學生順利列出8[×]a，但有很大一部分學生會無意識地繼續寫上“=”并試圖算出結果，即使寫出“8a”仍疑惑地問教師“到底花了多少元”，即使教師告之“就是8a元”，仍有很多學生表現出疑惑的表情。

其實不止小學生這樣，很多成年人也不接受含有字母的算式能表示結果。教師應該讓學生感受“8a”既體現出“單價[×]數量=總價”的數量關系，更是所花錢數的一般化表達。

要想突破該思維難點，教師在算術教學中就要重視列而不算、不急于算出具體答案、研究算式特點與規律等代數活動。例如，用“列而不算”法解決“握手問題”無須歸納得到公式[n（n-1）2]，更能培養學生的代數思維。先從簡單數據開始，學生通過模擬握手、畫圖等方式得到算式。如，5個人握手次數是4+3+2+1，只列算式不計算結果，再來一人，因為其他人之間已經握過手，只需要在5人握手次數基礎上再加5，即列式為5+4+3+2+1，依此類推，就可以得到握手次數的算式。也可以反過來提出問題：如果握手次數是10+9+8+7+6+5+4+3+2+1時，一共有多少人握手呢？通過算式結構而不是具體次數的更容易發現握手過程的“規律”，凸顯列而不算的代數價值。

需要注意的是，思維對象中是否有字母符號并不是代數思維的本質特征。柯利斯（Colis）將字母在數學中的用法分為6類：①給字母賦值。如：若a+4=6，則[a=]（?? ）。②忽略字母。字母被忽略或被視為無意義，如：當[a+b=6]時，求[a+b+2]的值。③把字母當成物體。如：5a+3a=（?? ）a。④特定未知數。如：小明[a]歲，媽媽比小明大30歲，則媽媽[（a+30）]歲。⑤廣義的數。字母是一種表示法，不只是代表一個數，如：若[a+b=6]，且[a

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