微分工具與積分工具之比較

邢秀俠

（北京工業大學理學部，北京100124）

0 引言

眾所周知，高等數學的核心內容是一元函數的微分（求導）和積分，透徹理解這兩個概念，尤其是熟練掌握它們的計算是非常重要的。求微分（求導）和求不定積分有著各自的工具，因為這兩個運算是互為逆運算的關系，所以它們的計算工具之間也存在著密切的聯系。

接下來，本文將詳細梳理求微分（求導）和求不定積分的主要工具的建立過程，并分析這些工具各自的特點以及它們之間的密切聯系和區別。因為求導和求微分的主要工具本質上是一樣的，所以下面我們僅以求導為例來說明求微分（求導）的工具。

1 求導的主要工具

在高等數學教材中，建立常用的求導工具需要以下五步。

1.1 引出導數的定義

教材中通常先由兩個典型例子（切線和瞬時速度）引出導數的定義。這個抽象的定義是通過極限給出的，直接用來求導通常是比較困難的。

1.2 導出部分基本初等函數的求導公式

直接利用導數的定義，可求出常函數、指數函數、對數函數和三角函數中的正（余）弦函數的導數，其余基本初等函數的求導則依賴于后面的求導法則。

1.3 建立求導法則

從導數定義出發，利用極限的抽象理論，建立若干求導法則，可使求導問題系統化。它們分別是四則運算、復合運算和反函數的求導法則。其中復合運算的求導法則是后續建立其它求導法的基礎，因此相對更重要一些。

1.4 導出其它基本初等函數的求導公式

由上面的導數公式和求導法則，剩余幾類基本初等函數的求導公式都可以推導出來，具體過程如圖1所示。

圖1 公式推導過程

1.5 建立其它特殊的求導法

利用復合運算的求導法則，還可以針對隱函數、冪指型函數和參數方程所確定的函數發展特殊的求導法。

在上面這些求導工具中，最重要的工具是基本初等函數的求導公式、四則運算的求導法則和復合函數的求導法則，它們被稱為求導的三大法寶。

2 求不定積分的主要工具

建立求初等函數不定積分的工具通常需要下面四步。

2.1 導出一些較簡單函數的不定積分公式

由不定積分的定義，在每個基本初等函數求導公式的右端添加上積分號，左端去掉求導符號并加上任意常數、就直接寫出了一些函數的不定積分的公式，包括常、冪、指數函數，部分三角函數[正（余）弦、正（余）割的平方、正（余）割與正（余）切函數的乘積]、還有分式和無理式。于是基本積分公式表1就產生了。

2.2 建立不定積分的線性性質

與求導運算類似，不定積分也有線性性質。如果求兩個函數和（差）的不定積分，可以分別求這兩個函數的積分，然后再相加（減）。另外，積分符號里的常數因子可以與積分符號交換次序。

利用前兩步得到的工具，仍然只能求解有限的較簡單函數的不定積分，因此還要利用求導的法則繼續發展一些高等的積分法。

2.3 導出第一、二類換元積分法

與復合函數的求導法則相對應，不定積分有第一、二類換元積分法，利用它們可以推導出一些三角函數[包括正（余）切、正（余）割函數]、分式無理式（其中a為常數）的積分公式，它們組成了不定積分的基本公式表2。

兩類積分法之間也有特殊的聯系。從換元積分法公式的形式上看，把第一類換元積分法的公式從右往左倒過來用，就得到了第二類換元積分法，反之亦然。

第一類換元法適合處理兩個函數的復合與內層函數的導數乘積的不定積分，最關鍵的是把內層函數的導數與自變量微分的乘積湊成內層函數的微分，因此第一類換元法也被稱為湊微分法。

第二類換元法中最典型的變換分別是三角、根式和倒代換，它們可以處理被積函數含有根號、分式（無理式）的分母上次冪較高的情形。第二類換元法的代換有很多種，在求不定積分時，具體的變換依賴于被積函數的形式。

2.4 導出分部積分法

由乘積的求導法則，可以推出分部積分法，用它可以求兩個不同函數乘積的不定積分，特別適用于求反三角、對數、冪、三角和指數函數中的其中兩類函數相乘時的不定積分。

至此，得到了所有的求不定積分的工具，其中不定積分基本公式、兩類換元法和分部積分法被稱為積分的三大法寶。

3 求導的工具與積分的工具之間的聯系

求導的工具與求不定積分的工具之間存在著密切的聯系，可以說正是由求導的三大法寶分別推導出了積分的三大法寶，具體對應關系如圖2所示。

圖2 求導公式對應的積分法

4 求導工具與積分工具的對比

求導有三大法寶，積分也有相應的三大法寶。雖然兩者的工具個數相同，但從適用范圍上來看，求導的工具比積分的工具強大很多。求導對于函數的復合和四則運算都有相應的法則。但不定積分僅對函數的加和減的運算有對應的積分法，對于函數的乘積，僅有第一換元法和分部積分法，且只能處理一些特殊的函數乘積的情形；對于兩個函數的商和復合的運算，都沒有專門的積分法。

5 結語

求不定積分比求導困難很多。利用求導的三大法寶可以求出任意初等函數的導數，但是求解不定積分的方法靈活，技巧性強，常常是一題一解，具有創造性。