一種半球諧振子固有剛性軸方位的標定方法

袁立山，解偉男，奚伯齊，王澤宇，伊國興，曾慶雙

（1.哈爾濱工業大學 航天學院，空間控制與慣性技術研究中心，哈爾濱 150080；2.哈爾濱工業大學（鞍山）工業技術研究院，鞍山 114000）

半球諧振陀螺儀（Hemispherical Resonator Gyro,HRG）是一種基于科里奧利效應的全固態振動陀螺儀，具有體積小、精度高、功耗低、可靠性高、機械結構簡單等優點[1-5]。諧振子的質量分布不均勻將造成頻率裂解，而頻率裂解會導致駐波的周期性振蕩，從而嚴重影響陀螺儀的輸出精度[6-10]。因此，諧振子的質量平衡對提高振動陀螺的精度具有重要意義[11]，而諧振子質量平衡的關鍵在于固有剛性軸方位辨識，它將為后續離子束調平系統提供諧振子的坐標參數。席翔等人提出并驗證了一種基于聲學激勵的非理想諧振子頻率裂解、阻尼時間常數和模態偏移角的測試方法[12]。李紹良等人提出了基于幅頻響應特性的半球諧振子頻率裂解及固有剛性軸方位角測定方法[13]。陶溢等人提出了一種基于壓電電極輸出信號檢測的杯形諧振子模態偏移角的辨識方法[14]。霍炎等人分析了包含質量缺陷的前三次諧波的半球諧振子在基座劇烈振動情況下的駐波綁定問題[15]，此外，還從理論上證明了質量缺陷的第四次諧波將導致頻率裂解，且二者基本為線性關系，同時從數學上說明了低頻軸即是“重”軸的位置，為后續諧振子的質量平衡提供了理論依據[16]。以上文獻從理論上分析了頻率裂解和固有剛性軸的成因，并給出了固有剛性軸方位的標定方案，即通過觀測諧振子的兩個諧振頻率的幅頻響應曲線，如果其中僅有一個幅頻響應的諧振峰出現，則證明激勵和檢測位置與固有剛性軸方位一致。但是這種測試方法的精度嚴重依賴于角度搜索步長，且效率較低，需要多次測量逼近固有剛性軸的位置。

針對目前測試方法所存在的問題，本文采用矩陣逼近理論[17]，將諧振子的徑向振動分解為主駐波和輔駐波，并證明了它們在圓周角和振動相位上的正交性，從而明確了諧振子節點振動即可表示輔駐波這一重要結論，進而提出了固有剛性軸方位的標定方法，該方法僅需要測量兩次節點振幅就可以標定出固有剛性軸的位置，極大提高了測量精度和測試效率。

1 質量缺陷半球諧振子的振動分解

質量缺陷的存在會導致諧振子中出現互相成為45 °的雙固有軸系，如圖1所示，諧振子沿其中每個軸的固有頻率都可達到極大值和極小值。固有振動頻率較小的本征軸稱為“重軸”（剛度較小軸）；固有頻率較大的本征軸稱為“輕”軸（剛度較大軸）[17]。

圖1 振動本征軸的“重”軸和“輕”軸Fig.1 "Heavy" axis and "light" axis of vibration eigen axis

1.1 質量缺陷半球諧振子的振動模型

質量缺陷諧振子的徑向振動可以表示為[17]：

其中，θ為諧振子的圓周角，A為諧振子的初始等效振幅，ω1和ω2分別為諧振子的低頻和高頻，β4為諧振子的固有剛性軸角。

1.2 矩陣逼近理論

假設矩陣E和F滿足下列條件：

其中，E和F是2×2個非零矩陣。

矩陣D表示為：

矩陣D滿足下列條件：

其中，

其中，ac，bc，cc和dc是矩陣D的元素。

根據矩陣的運算規則，可表示為：

假設

其中，矩陣E是矩陣D的最佳線性逼近。

假設

如果

則式(8)可以滿足。

將式(8)代入式(3)，可得：

以上是文獻[17]提出的矩陣逼近理論的核心內容。

1.3 質量缺陷半球諧振子的主駐波和輔駐波

設兩個偏置頻率為：

其中，ω為基準頻率。

將式(11)代入式(1)，可得：

方程(12)的系數矩陣定義為：

將式(13)代入式(4)，可得：

頻率裂解定義為：

駐波必須滿足下列條件：

質量缺陷諧振子的駐波只存在于以下兩種情況：

（1）諧振子的初始振動方向與固有剛性軸重合。

（2）分析諧振子振動的時間t滿足Δωt?1。

除上述兩種情況外，detD≠ 0。因此，采用矩陣逼近法對諧振子徑向振動進行分解。

將式(13)帶入式(8)，則輔駐波系數矩陣表示為：

輔助波表示為：

將式(13)帶入式(4)，可表示為：

將式(18)代入式(20)，輔駐波表示為：

令

將式(11)帶入式(22)中，可得：

由式（23）可以計算出：

將式(24)代入式(21)，輔駐波最終表示為：

同理可得，主駐波的表達式：

質量缺陷諧振子的徑向振動最終表示為：

由式(27)可知質量缺陷諧振子的主駐波和輔駐波在圓周角和振動相位上相互正交，這是諧振子固有剛性軸方位標定方法的理論依據。

2 固有剛性軸方位的標定

2.1 標定方案

基于式(27)所得到的結論，設計了固有剛性軸方位的標定方案。

采用兩個對徑分布的離散電極激勵半球諧振子進入二階諧振模式，而后斷開電極激勵，使諧振子處于自由振動狀態，同時，檢測電極測量諧振子節點的振動。φ為檢測位置2與固有剛性軸的夾角，測試系統如圖2所示。

圖2 固有剛性軸標定系統示意圖Fig.2 Schematic diagram of inherent rigid shaft calibration system

首先，將激勵位置1對準電極，電極激勵諧振子進入二階諧振狀態，然后停止激勵。諧振子節點的徑向振幅（檢測位置1）可表示為：

其中，t為從切斷電源時經過的時間。

將諧振子旋轉22.5 °，此時激勵位置2與兩個離散電極對齊，諧振子節點的徑向振幅（檢測位置2）可以表示為：

最后，固有剛性軸方位角表示為：

2.2 仿真分析

基于誤差缺陷半球諧振子運動方程[4]，建立數值仿真系統。仿真參數如下：fp= (0.05+0.05cos2πft) N，f1=4500 Hz，f2=4500.005 Hz，f=4500.0025，τ1=1000 s，τ2=800 s，φ=12.3 °，電極激勵時間為20 s。特別明確指出的是該數值仿真模型僅驗證固有剛性軸的標定算法在理論上的正確性，不考慮激勵電極和諧振子之間的安裝誤差、檢測電極和諧振子之間的安裝誤差，激勵及檢測電路的增益誤差以及電容的測量噪聲。

如圖3所示，為檢測位置1的等效振動信號及其包絡。同理，如圖4所示，為檢測位置2的等效振動信號及其包絡。通過兩個檢測位置振動包絡的比值就可以確定半球諧振子固有剛性軸的位置。在標定過程中且僅需要10 s的測試數據就可以準確標定固有剛性軸的位置，測試效率較高。

圖3 檢測位置1的等效振動信號及其包絡Fig.3 Equivalent vibration signal of detection position 1 and its envelope

圖4 檢測位置2的等效振動信號及其包絡Fig.4 Equivalent vibration signal of detection position 2 and its envelope

如圖5所示，該標定方法在理論上能夠準確的標定出固有剛性軸的位置。

圖5 固有剛性軸方位的理論標定結果Fig.5 Theoretical calibration results of inherent rigid axis orientation

如圖6所示，該標定算法在理論上具有極高的標定精度，誤差在10-12度以內。

圖6 固有剛性軸方位的理論標定誤差Fig.6 Theoretical calibration error of inherent rigid axis orientation

仿真結果表明本文所提出的固有剛性軸標定方案從效率和精度兩個方面都能達到很好的效果。

3 固有剛性軸標定方案對比

3.1 基于幅頻特性的固有剛性軸標定

通過觀測半球諧振子的兩個諧振頻率的幅頻響應曲線，如果其中僅有一個幅頻響應的諧振峰出現，則證明激勵和檢測位置與固有剛性軸方位一致。但是這種測試方法存在2個方面的問題：1.針對頻率裂解小的諧振子，FFT的分辨率嚴重依賴于測試時間，例如，諧振子的頻率裂解為0.005 Hz，那么FFT的分辨率需要達到0.0005 Hz，那么測試時間將長達2000 s，測試效率較低。2.測試方法的精度嚴重依賴于角度搜索步長，需要多次測量逼近固有剛性軸的位置。圖7展示了固有剛性軸的搜索過程，隨著半球諧振子轉動，檢測位置與固有剛性軸位置越來越接近，諧振子一個振動模態的信號峰幅度逐漸下降，同時另外一個振動模態的信號峰幅值逐漸上升，當檢測位置和固有剛性軸重合的時候，FFT只表現出一個振動模態信號峰。

圖7 基于幅頻響應的固有剛性軸方位辨識Fig.7 azimuth identification of inherently rigid shaft based on amplitude frequency response

3.2 基于振動包絡的固有剛性軸標定

振動位移信號包絡的上下波動程度反映出了激勵檢測位置和固有剛性軸角的位置關系，因此通過擬合振動位移信號的包絡可以有效進行固有剛性軸角的辨識。但是這種方法對于超低頻率裂解半球諧振子固有剛性軸的測試并不適用。例如，半球諧振子的頻率裂解為0.005 Hz，一個包絡起伏的周期為200 s，為了準確辨識剛性軸角的位置，至少要采集一個半包絡起伏的時間，即300 s的測試數據。如圖8所示，當激勵檢測位置和固有剛性軸角未對準時，諧振子的兩個振動模態被同時激勵出來，通過擬合振動位移信號的包絡辨識出激勵及檢測位置與固有剛性軸位置的方位，當固有剛性軸的位置對準激勵檢測位置，振動包絡將不再有起伏，而是一條單調衰減曲線，此時諧振子僅有一個振動模態被激勵。

圖8 基于振動包絡的固有剛性軸方位辨識Fig.8 Orientation identification of inherently rigid shaft based on vibration envelope

4 結 論

本文研究了質量缺陷半球諧振子的固有剛性軸方位的標定方法，基于矩陣逼近理論，將諧振子的徑向振動分解為主駐波和輔駐波，驗證了主駐波和輔駐波在圓周角和振動相位相互的正交性。在此基礎之上設計了固有剛性軸方位的標定方案，即通過兩個不同激勵位置下諧振子節點振幅比值確定固有剛性軸的位置，其中兩個激勵位置在諧振子的周向相距22.5 °。最終通過數值仿真的方法驗證了該標定方法在理論上的辨識精度可達10-12度，測試時長控制在100秒之內，在測試效率和辨識精度上有著明顯優勢。